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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Mo 20.03.2006 | | Autor: | ilse |
hallo,
ich habe hier einen beweis den ich nicht wirklich verstehe, wäre schön wenn mir jemand auf die sprünge helfen könnte.
w=f(z) holomorph in G, [mm] w_{0} [/mm] = [mm] f(z_{0}); f'(z_{0}) \not=0
[/mm]
Beh: f(z) lokal umkehrbar in einer Umgebung um [mm] z_{0}, [/mm] wobei die umkehrfunktion dort holomorph ist.
Beweis: f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
Die Abbildung u=u(x,y), v=v(x,y) ist lokal in [mm] (x_{0}, y_{0}) [/mm] auflösbar, da [mm] \bruch{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} \not=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x=x(u,v); y=y(u,v) und [mm] x_{u}= \bruch{v_{y}}{D}; y_{u}= \bruch{-v_{x}}{D}; x_{v}= \bruch{-u_{y}}{D}; y_{v}= \bruch{u_{x}}{D}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (Cauchy-Riemann) z=x(u,v
)+iy(u,v)
was ich jetzt nicht verstehe, warum kann man draus, das die jacobideterminante 0 ist schließen, dass man die funktionen auflösen kann, und wie kommt man auf die partiellen ableitungen?
hoffentlich kann mir jemand helfen,
gruß christine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Mo 20.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Christine!
> ich habe hier einen beweis den ich nicht wirklich verstehe,
> wäre schön wenn mir jemand auf die sprünge helfen könnte.
>
> w=f(z) holomorph in G, [mm]w_{0}[/mm] = [mm]f(z_{0}); f'(z_{0}) \not=0[/mm]
>
> Beh: f(z) lokal umkehrbar in einer Umgebung um [mm]z_{0},[/mm] wobei
> die umkehrfunktion dort holomorph ist.
>
> Beweis: f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
>
> Die Abbildung u=u(x,y), v=v(x,y) ist lokal in [mm](x_{0}, y_{0})[/mm]
> auflösbar, da [mm]\bruch{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} \not=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=x(u,v); y=y(u,v) und [mm]x_{u}= \bruch{v_{y}}{D}; y_{u}= \bruch{-v_{x}}{D}; x_{v}= \bruch{-u_{y}}{D}; y_{v}= \bruch{u_{x}}{D}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (Cauchy-Riemann) z=x(u,v
> )+iy(u,v)
> was ich jetzt nicht verstehe, warum kann man draus, das
> die jacobideterminante 0 ist schließen, dass man die
> funktionen auflösen kann, und wie kommt man auf die
> partiellen ableitungen?
Kennst du den Satz von der Lokalen Umkehrbarkeit? Mmeistens kommt der in der (reellen!) Analysis II oder III vor. Der beantwortet dir beide Fragen 
(Anschaulich ist die Situation wie im Eindimensionalen, also $f : [mm] \IR \to \IR$: [/mm] ist $f'(x) [mm] \neq [/mm] 0$, so ist $f$ um $x$ herum lokal umkehrbar, da $f$ in einer Umgebung um $x$ streng monoton ist, und die Formel fuer die Ableitung der Umkehrfunktion kennst du ja sicher auch. Im Mehrdimensionalen tritt anstelle der Ableitung halt die Jacobimatrix...)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:24 Di 21.03.2006 | | Autor: | ilse |
ok, danke, ich glaube ich verstehs jetzt einigermaßen.
gruß christine
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