Funktionsgleichung einer Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Di 24.07.2007 | | Autor: | Diodon |
| Aufgabe | Gegeben ist die Tabelle:
n [mm] a_n
[/mm]
1 24
2 120
3 360
4 840
5 1680
6 3024
7 5040
a) Man finde die zu [mm] a_n [/mm] zugehörige Funktionsgleichung in faktorisierter Form.
b) Wie lautet der Ausdruck für [mm] a_{n+1} [/mm] ?
c) Man berechne die Summe der ersten n Summanden und zeige mittels Rechner, dass man dafür den Ausdruck:
[mm] s_n [/mm] =1/5*n(1+n)*(2+n)*(3+n)*(4+n) erhält.
d) Man beweise diese Formel mittels vollständiger Induktion. |
Ich scheitere leider bereits bei der ersten Teilaufgabe. Wie kann man aus dieser Tabelle eine Funktionsgleichung herauslesen? Ich konnte keine bemerkenswerte Gesetzmässigkeit herauslesen, ausser dass alles durch 24 teilbar ist, doch dann komme ich nicht mehr weiter.
Mit den anderen Teilaufgaben habe ich mich noch nicht befasst, doch eventuell werde ich auch da noch Hilfe gebrauchen können!
Kann mir jemand evtl. mit der Funktionsgleichung weiterhelfen? Wäre sehr nett!
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Di 24.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Diodon,
> Ich scheitere leider bereits bei der ersten Teilaufgabe.
> Wie kann man aus dieser Tabelle eine Funktionsgleichung
> herauslesen?
Man kann häufig durch Bildung der Differenzenfolge weiterkommen, also der Folge [mm]d_n=a_{n+1}-a_n[/mm]. Erkennt man noch keine Regel, bildet man die Differenzenfolge zu [mm]d_n[/mm], und so weiter. Erkennt man eine Funktionsgleichung, kann man diese rückwärts einsetzen und sich bis zur ursprünglichen Folge durchhangeln.
In deiner Aufgabe wäre
[mm]\begin{matrix}
n & d_n \\
1 & 96 \\
2 & 240\\
3 & 480\\
4 & 840\\
5 & 1344\\
6 & 2016
\end{matrix}[/mm]
Da sehe ich noch keine einfache Regel, also würde ich wieder die Differenzenfolge bilden.
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Di 24.07.2007 | | Autor: | Diodon |
Was genau verstehst du unter "rückwärts einsetzen"? Bzw wie muss man das bewerkstelligen?
Die Differenzenfolge habe ich bereits einige Male gebildet, nach insgesamt 3 Mal unterscheiden sich die Terme noch um je +24. Doch wie komme ich nun weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Di 24.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Diodon,
> Was genau verstehst du unter "rückwärts einsetzen"? Bzw wie
> muss man das bewerkstelligen?
Angenommen, du hast eine Funktionsgleichung für die Differenzenfolge gefunden, sagen wir [mm]d_n = f(n)[/mm]. Dann folgt aus [mm]a_{n+1} = a_n + d_n [/mm]:
[mm] a_{n+1} = a_1 + \summe_{i=1}^n f(i)[/mm].
> Die Differenzenfolge habe ich bereits einige Male gebildet,
> nach insgesamt 3 Mal unterscheiden sich die Terme noch um
> je +24. Doch wie komme ich nun weiter?
Du hast also eine Folge [mm]x_n = C + 24n[/mm], die Konstante C kannst du ja ausrechnen. Das ist dein f(n). Mit der oben angegebenen Summenformel kannst du eine Funktionsgleichung für die vorhergehende Folge ableiten. Da kommt ein Ausdruck raus, der [mm]n^2[/mm] und n enthält. Das machst du weiter, bis du bei der ursprünglichen Folge [mm]a_n[/mm] angekommen bist. In jeden Schritt wird die höchste Potenz von n um 1 größer.
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Di 24.07.2007 | | Autor: | Diodon |
Sorry, ich verstehs immer noch nicht ganz. Ich hab nun eine Funktionsgleichung für die 2. Differenzenfolge:
[mm] a_{n+1} =a_n [/mm] +24n+72, wobei die Folge [mm] x_n [/mm] = 72 + 24n ist.
Wie kann ich das nun ableiten, dass ich einen Ausdruck mit [mm] n^2 [/mm] erhalte?
Vielen Dank für deine bisherige Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Mi 25.07.2007 | | Autor: | wauwau |
Also wenn du hintereinander 5 mal die Differenzenfolge bildet und diese dann konstant ist, dann
spricht man von einer arithmetischen Folge5. Ordnung.
Die erster Ordnung ist die normal bekannte arithm. Folge...
Das Bildungsgesetz hiefür ist ein Polynom 5. Grades
als [mm]a_n = an^5+bn^4+cn^3+dn^2+en+f [/mm]
nun kannst du die ersten 6 Folgenglieder einsetzen um die Koeffizienten a bis f zu erhalten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:02 Mi 25.07.2007 | | Autor: | Sax |
Hi,
versuche es doch bei der vorliegenden Folge statt mit Differenzen auch mal mit Quotienten :
[mm] a_2 [/mm] / [mm] a_1 [/mm] = 5 = 5/1
[mm] a_3 [/mm] / [mm] a_2 [/mm] = 3 = 6/2
[mm] a_4 [/mm] / [mm] a_3 [/mm] = . = 7/3
...
Da fällt einem doch was auf.
Wenn Du diese Idee weiter ausführst, bekommst du schnell einen sehr einfachen Term für [mm] a_n.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Mi 25.07.2007 | | Autor: | Diodon |
Danke Sax (und natürlich auch den anderen!)!
Ich bin nun wirklich auf eine einfache Gleichung gekommen. Vielen Dank für den Tipp.
(Die Lösung ist: [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n [/mm] * [mm] \frac{n+4}{n}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Do 26.07.2007 | | Autor: | Diodon |
Sorry dass ich schon wieder nerv, aber ich hab irgendwie grad ein totales blackout.
Ich hab nun ja den Ausdruck für [mm] a_{n+1}, [/mm] doch ich sollte noch die zu [mm] a_n [/mm] zugehörige Funktionsgleichung haben, und auf die komm ich einfach nicht!
Es handelt sich ja um eine geometrische Folge, also müsste sich [mm] a_n [/mm] wie folgt zu berechnen sein: [mm] a_n [/mm] = a*q^(n-1)
Doch was nehm ich als a? 24, den Startwert? Dann stimmt aber mein q nicht mehr.
Oder stimmt bereits mein Ausdruck für [mm] a_{n+1} [/mm] nicht? Demnach wäre ja [mm] q=\bruch{n+4}{n}.
[/mm]
Sieht jemand, wo der Fehler steckt, oder was ich nicht beachtet habe? Wäre sehr froh um eure Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 Do 26.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> Ich hab nun ja den Ausdruck für [mm]a_{n+1},[/mm] doch ich sollte
> noch die zu [mm]a_n[/mm] zugehörige Funktionsgleichung haben, und
> auf die komm ich einfach nicht!
> Es handelt sich ja um eine geometrische Folge,
Nein, denn das Verhältnis [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n} = \bruch{n+4}{n} = 1+ \bruch{4}{n}[/mm] ist nicht dasselbe für alle n, sondern hängt von n ab.
Du kannst trotzdem [mm]a_n[/mm] hinschreiben, du musst nur für jedes Folgenglied den entsprechenden Faktor mitnehmen, also [mm]a_n=\left(1+\bruch{4}{n-1}\right)a_{n-1}[/mm], dann [mm]a_{n-1}=\left(1+\bruch{4}{n-2}\right) a_{n-2}[/mm], und so weiter, bis du bei [mm]a_1=24[/mm] angekommen bist.
Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Do 26.07.2007 | | Autor: | Sax |
Hi,
aus $ [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n*\bruch{4+n}{n} [/mm] $ folgt doch folgendes :
$ [mm] a_2 [/mm] = [mm] a_1*\bruch{5}{1} [/mm] $
$ [mm] a_3 [/mm] = [mm] a_2*\bruch{6}{2} [/mm] = [mm] a_1*\bruch{5}{1}*\bruch{6}{2} [/mm] $
$ [mm] a_4 [/mm] = [mm] a_3*\bruch{7}{3} [/mm] = [mm] a_1*\bruch{5}{1}*\bruch{6}{2}*\bruch{7}{3} [/mm] $
...
$ [mm] a_n [/mm] = [mm] a_1*\bruch{5}{1}*\bruch{6}{2}*\bruch{7}{3}* [/mm] ... * [mm] \bruch{n+3}{n-1} [/mm] $
$ [mm] a_n [/mm] = [mm] \underbrace{1*2*3*4}_{=a_1}*\bruch{5}{1}*\bruch{6}{2}*\bruch{7}{3}* [/mm] ... * ... [mm] *\bruch{n-1}{n-5}*\bruch{n}{n-4}* [/mm] ... [mm] *\bruch{n+3}{n-1} [/mm] $
$ [mm] a_n [/mm] = n*(n+1)*(n+2)*(n+3) $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Do 26.07.2007 | | Autor: | Diodon |
Langsam wirds wieder heller in meinem Kopf..:)
Doch ich hab nochmal ne Frage!>
> [mm]a_n = \underbrace{1*2*3*4}_{=a_1}*\bruch{5}{1}*\bruch{6}{2}*\bruch{7}{3}* ... * ... *\bruch{n-1}{n-5}*\bruch{n}{n-4}* ... *\bruch{n+3}{n-1}[/mm]
>
> [mm]a_n = n*(n+1)*(n+2)*(n+3)[/mm]
Wie kommst du auf diesen letzten Schritt? Folgt das einfach aus [mm] a_1=24? [/mm] Irgendwie sind dann ja auf einmal die Nenner weg..
Danke an alle, ihr habt mir schon sehr geholfen!
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Do 26.07.2007 | | Autor: | ThaddyW |
> Langsam wirds wieder heller in meinem Kopf..:)
>
> Doch ich hab nochmal ne Frage!>
>
> > [mm]a_n = \underbrace{1*2*3*4}_{=a_1}*\bruch{5}{1}*\bruch{6}{2}*\bruch{7}{3}* ... * ... *\bruch{n-1}{n-5}*\bruch{n}{n-4}* ... *\bruch{n+3}{n-1}[/mm]
>
> >
> > [mm]a_n = n*(n+1)*(n+2)*(n+3)[/mm]
>
> Wie kommst du auf diesen letzten Schritt? Folgt das einfach
> aus [mm]a_1=24?[/mm] Irgendwie sind dann ja auf einmal die Nenner
> weg..
>
> Danke an alle, ihr habt mir schon sehr geholfen!
> >
Wenn du dir oben die Terme oberhalb des Bruchstriches ansiehst, dann siehst du, dass diese bis (n-1)*n*(n+1)*(n+2)*(n+3) gehen
und wenn du dir die Terme unterm Bruchstich ansiehst, dann siehst du dass diese nur bis (n-1) gehen.
Nun steht oben bis (n-1) und unten bis (n-1) hier kannste alles wegkürzen, alles was übrig bleibt ist oben auf dem Bruchstrich n*(n+1)*(n+2)*(n+3) weil sich alle andern Terme wegkürzen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Do 26.07.2007 | | Autor: | Diodon |
Juhuu danke, ich habs gecheckt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Do 26.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
das gleiche Ergebnis bekommst du übrigens, wenn du mit den Differenzen statt der Quotienten arbeitest, aber die Quotienten sind in diesem Beispiel doch einfacher 
Welche Methode am schnellsten zum Ziel führt, ist leider nicht vorherzusagen.
Grüße
Rainer
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