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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 So 16.07.2006 | | Autor: | nina13 |
| Aufgabe | Führe eine Funktionsuntersuchung durch:
[mm] f(x)=1/48(x^4-24x^2+80)
[/mm]
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ich habe angefangen diese Aufgabe zu bearbeiten, komme aber an einigen Stellen nicht weiter:
1. Ableitungen:
[mm] f'(x)=1/12x^3-x
[/mm]
[mm] f''(x)=1/4x^2-1
[/mm]
f'''(x)=1/2x
2. Symmetrie des Schaubilds:
Höchste Hochzahl ist 4 --> gerade --> achsensymmetrisch
3. Nullstellen:
[mm] 0=1/48x^4-1/2x^2+5/3
[/mm]
Muss ich hier substituieren??
--> [mm] x^2=u
[/mm]
--> [mm] 1/48u^2-1/2u+5/3
[/mm]
--> Wenn ich jetzt aber die Mitternachtsformel benutze, bekomme ich nur sehr komische zahlen raus...
5. Extremstellen:
1. Notwendige Bedingung: f'(x)=0
[mm] 0=1/12x^3-1x
[/mm]
[mm] 0=x(1/12x^2-1) [/mm] --> [mm] x_{1}=0
[/mm]
[mm] 0=1/12x^2-1
[/mm]
[mm] 1=1/12x^2
[/mm]
[mm] x^2=12
[/mm]
x= [mm] \wurzel{12} [/mm] --> [mm] x_{2}=\wurzel{12}
[/mm]
2. Hinreichende Bedingung:
[mm] f''(0)=1/4*0^2-1=-1<0 [/mm] , also Maximum
[mm] f''(\wurzel{12})=1/4(\wurzel{12})^2-1=2 [/mm] , also Minimum
Hochpunkt ist also bei (0/5/3)
Tiefpunkt ist also bei (2/0)
6. Wendestellen:
1. Notwendige Bedingung: f''(x)=0
[mm] 0=1/4x^2-1
[/mm]
[mm] 1=1/4x^2
[/mm]
[mm] x^2=4
[/mm]
x=2
2. Hinreichende Bedingung: f'''(x) [mm] \not=0
[/mm]
f'''(2)=1/2*2=1
1 [mm] \not=0
[/mm]
-->Bedingung ist also erfüllt, Wendepunkt also bei (2/0)
Könnte jemand schauen, ob meine Rechnungen stimmen und mir sagen, wie ich an den Stellen, die mir unklar sind, weiterkomme?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 So 16.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Hi nina.
Mus dich enttäuschen, deine 1. Ableitung ist schon falsch und damit fast auch der ganze Rest der Aufgabe.
Und bei den Nullstellen ist es ok, wenn du komische Zahlen rausbekommst. Mach einfach weiter.
Mach nochmal die 1. Ableitung!
Und bei 2. wäre es etwas genauer, wenn du nicht nur sagst, dass es achsensymmetrisch zur y-Achse ist, weil der höchste Exponent 4 ist, sondern weil alle Exponenten gerade sind. Wären alle ungerade, wäre der Graf Punktsymmetrisch zum Koordinaten Ursprung und wenn ein Mix aus beidem vorliegt ist es nichts von den beiden Sachen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 So 16.07.2006 | | Autor: | nina13 |
Aber wie ist denn dann die erste Ableitung?
Was hab ich denn falsch gemacht? Steh jetzt irgendwie auf dem Schlauch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 So 16.07.2006 | | Autor: | Teufel |
[mm] f(x)=\bruch{1}{48}(x^{4}-23x^{2}+80)
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{1}{48}x^{4}-\bruch{1}{48}23x^{2}+\bruch{1}{48}\*80
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{4}{48}x³-\bruch{46}{48}x
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{12}x³-\bruch{23}{24}x
[/mm]
Wahrscheinlich hast du aus [mm] \bruch{46}{48} [/mm] einfach [mm] \bruch{48}{48} [/mm] gemacht :)
Ah ja und außerdem: Es muss 2 Wendestellen geben, wenn die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist! Das liegt daran, dass du bei x²=a
2 Werte für x rauskriegst. Einmal [mm] \wurzel{a} [/mm] und einmal [mm] -\wurzel{a}.
[/mm]
Das selbe gilt auch bei deinen Extremstellen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 So 16.07.2006 | | Autor: | nina13 |
Ups, ich habe wohl die Aufgabe hierdrin falsch abgeschrieben...habe sie jetzt verbessert...Wahrscheinlich dachtest du deswegen, dass meine Ableitungen falsch sind...ich hoffe dass sie jetzt stimmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 So 16.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Achso :) na dann bleiben noch die Sachen mit den 2 Wendepunkten und den 3 Extrema :) wie ich in meinem Post dafür noch hinzugefügt habe.
Ansonsten stimmen die anderen Extremstellen und der eine von den 2 Wendepunkten.
2 Nullstellen sollten gerade sein und bei 2 anderen sind Wurzeln mit bei ;) Wenn du das so hats, dann hast du es sicher richtig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 So 16.07.2006 | | Autor: | nina13 |
Ich habe jetzt versucht die Nullstellen jetzt mittels Substitution und Mitternachtsformel zu bestimmen:
[mm] 0=1/48x^4-1/2x^2+5/3
[/mm]
[mm] x^2=u
[/mm]
--> [mm] 1/48u^2-1/2u+5/3
[/mm]
Mitternachtsformel:
x1,2=1/2 [mm] \pm \wurzel{1/4+5/36}
[/mm]
-----------------------------------
1/24
Irgendwie kann ich das jetzt aber nicht gescheit ausrechnen:
x1=1/2+ [mm] \wurzel{7/18}
[/mm]
-------------------------
1/24
x2=1/2- [mm] \wurzel{7/18}
[/mm]
-------------------------
1/24
Weiter komm ich nicht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 So 16.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Erstmal würde ich die ganze Gleichung [mm] \*48 [/mm] rechnen, damit vor dem u² nichts mehr steht.
Und die allgemeine Formel ist ja:
[mm] x_{1,2}=-\bruch{p}{2} \pm \wurzel{\bruch{p²}{4}-q}.
[/mm]
Bei dir sieht das etwas anders aus!
Da du substituierst, muss es bei dir auch [mm] u_{1,2} [/mm] heißen :) und nicht mit x.
Dann rechnest du ganz normal [mm] u_{1} [/mm] und [mm] u_{2} [/mm] aus und ziehst von den beiden noch die Wurzel um deine x-Werte zu kriegen. Und nicht vergessen, dass wenn du z.B. die Wurzel von 4 ziehst 2 und -2 rauskommt! Also positive und negative zahl.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 So 16.07.2006 | | Autor: | nina13 |
Ich habe jetzt nochmal neu die Nullstellen berechnet...ich hatte einfach nur einen Rechenfehler:
Nochmal neu:
[mm] f(x)=1/48(x^4-24x^2+80)
[/mm]
[mm] =1/48x^4-1/2x^2+5/3
[/mm]
Substitution: [mm] x^2=u
[/mm]
[mm] 1/48u^2-1/2u+5/3
[/mm]
u1,2=1/2 [mm] \pm \wurzel{1/4-5/36}
[/mm]
-----------------------------------
1/24
u1=20
-->resubstituiert: [mm] x^2=20
[/mm]
x1= [mm] \wurzel{20}
[/mm]
x2=- [mm] \wurzel{20}
[/mm]
u2=4
-->resubstituiert: [mm] x^2=4
[/mm]
x1=2
x2=-2
Die Nullstellen sind also -2, - [mm] \wurzel{20}, \wurzel{20} [/mm] und 2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 So 16.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Genau so stimmt das :) fehlen nur noch ein Extrempunkt und ein Wendepunkt!
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