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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
weiss nicht wie ich folgende funktionen untersuchen kann....
f(x)=1/3 [mm] x^3 [/mm] - x
f(x)=1/2 [mm] x^3 [/mm] -4x²+8x
[mm] f(x)=3x^4+4x^3
[/mm]
f(x)=1/2 x + 3x²-8
muss Nullstellen bestimmen, Extrempunkte ausrechnen Wendepunkt ausrechnen und Graph zeichen (aber das ist ja kein Problem wenn ich die werte hab)...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo Michael,
Was ist eine Nullstelle? Eine Nullstelle ist ein Punkt im Koordinatensystem, bei dem (bildlich gesprochen) der Graph die X-Achse schneidet. Der Punkt ist also von der Form
$(x,0)$. Oder anders ausgedrückt: Wenn in die Funktionsgleichung $x$ eingesetzt wird, kommt $0$ raus.
Gucken wir mal auf die erste Funktion:
[mm] $f(x)=\bruch{1}{3}x^3-x$
[/mm]
Für welche $x$ gilt $f(x)=0$? Scharfes Hinsehen .... und ja, richtig, setze [mm] $x_0=0$. [/mm] Dann gilt nämlich:
[mm] $f(0)=\bruch{1}{3}0^3-0=0$
[/mm]
Bleibt die Frage, ob noch andere Punkte in Frage kommen. Dazu stelle ich die Gleichung um (Äquivalenzumformung/ Zerlegen in Faktoren):
[mm] $\bruch{1}{3}x^3-x=0 \gdw \bruch{1}{3}x(x^2-3)=0$
[/mm]
Dass dies richtig ist, kannst Du prüfen, in dem Du wieder die Klammer auflöst. Jetzt haben wir also ein Produkt darstehen: [mm] $\bruch{1}{3}x(x^2-3)$. [/mm] Und wann ist ein Produkt gleich Null?
Ja, wieder richtig: Wenn einer der Faktoren gleich Null ist...
Der erste Faktor ist [mm] $\bruch{1}{3}x$. [/mm] dieser ist genau dann null, wenn $x=0$. Das ist die Lösung, die wir mit der Methode "scharfes Hinsehen" erhalten haben.
Der zweite Faktor ist [mm] $(x^2-3)$. [/mm] Wann ist dieser gleich Null? Wenn man es nicht gleich sieht, bastelt man sich eine "Hilfsgleichung" und stellt diese um:
[mm] $x^2-3=0 \gdw x^2=3 \Rightarrow [/mm] x = [mm] \pm \sqrt{3} \$
[/mm]
Also für die Nullstellen haben wir damit drei Lösungen: [mm] $x_0=0$, $x_1=- \sqrt{3} \$, $x_3= \sqrt{3} [/mm] $.
Zur Sicherheit noch eine Probe machen [mm] ($x_0$ [/mm] lass ich mal weg, dass haben wir oben schon):
[mm] $f(\sqrt{3})=\bruch{1}{3}(\sqrt{3})^3-\sqrt{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \underbrace{\sqrt{3}*\sqrt{3}}_{=3}*\sqrt{3}-\sqrt{3}=\underbrace{ \bruch{1}{3} *3}_{=1}*\sqrt{3}-\sqrt{3}$
[/mm]
[mm] $=\sqrt{3}-\sqrt{3} [/mm] =0$
[mm] $f(-\sqrt{3})=\bruch{1}{3}(-\sqrt{3})^3-(-\sqrt{3}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \underbrace{(-\sqrt{3})*(-\sqrt{3})}_{=3}*(-\sqrt{3})-(-\sqrt{3})=\underbrace{ \bruch{1}{3} *3}_{=1}*(-\sqrt{3})-(-\sqrt{3})$
[/mm]
[mm] $=-\sqrt{3}+\sqrt{3} [/mm] =0$
Ok, scheint zu stimmen, oder?
Was muß man tun, um Extrempunkte zu berechnen? Man bildet die erste Ableitung $f'(x)$ und sucht hier die Nullstellen. Anschließend bildet man die zweite Ableitung $f''(x)$ und prüft, ob diese ebenfalls für die gefundenen x-Werte gleich Null ist.
Angenommen, Du hast eine Nullstelle [mm] $x_e$ [/mm] von $f'(x)$, also [mm] $f'(x_e)=0$. [/mm] Ist [mm] $f''(x_e) [/mm] < 0$, dann liegt ein Maximum vor. Ist [mm] $f''(x_e)>0$, [/mm] liegt ein Minimum vor. Ist [mm] $f''(x_e) [/mm] = 0$, dann mußt Du leider die dritte Ableitung $f'''(x)$ bilden und gucken, ob diese ungleich null ist. Wenn ja, dann hast Du einen Wendepunkt gefunden.
Ok, das Rechnen überlaß ich nun Dir.
Melde Dich doch, wie es klappt und setze Deine Ergebnisse rein. Dann können wir gucken, ob die richtig sind. Nutz aber den Formeleditor, sonst wird es unübersichtlich!
Liebe Grüße,
Stefan
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ja danke.....nullstellen sind jetzt klar hab A (0/0) ( [mm] \wurzel{3}/0) [/mm] (- [mm] \wurzel{3}/0)
[/mm]
B (0/0) (4/0) C (0/0) (- [mm] \bruch{4}{3}/0) [/mm] D (-2/0) (1,464/0) (-5,464/0)
aber ich hab vergessen wie ich die extremstellen und wendepunkte ausrechne nachdem ich die ableitung gemacht hab.....?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Mo 04.10.2004 | | Autor: | drummy |
Du musst einfach um die Extremstellen rauszukriegen die erste Ableitung gleich nullsetzen. Dann bekommst du x und durch einsetzen y. Für Wendestellen machst du das ganze mit der 2. Ableitung.
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was für ergebnisse kommt denn für die gleichungen raus ?
f(x)=1/3 - x
f(x)=1/2 -4x²+8x
f(x)=1/2 x + 3x²-8
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Disap |
> was für ergebnisse kommt denn für die gleichungen raus ?
> f(x)=1/3 - x
> f(x)=1/2 -4x²+8x
>
> f(x)=1/2 x + 3x²-8
>
Sind das 3 verschiedene Funktionsgleichungen? Ansosnten:
f(x)=1/2 x + 3x²-8
f(x)=3x²+0,5x-8 (selbe funktionsgleichung, nur umgeändert)
f'(x)= 2*3x + 1*0,5
=6x+0,5 |-0,5
0,5=6x | geteilt durch 6
x=0,083
D.h. der Extrempunkt liegt bei x=0,083
in die normale Funktionsgleichung einsetzen
1/2 *0,083 + 3*0,083²-8
wäre y=-7,9485
(vermutlich ein paar rundungsfehler)
Da es sich um eine Parabel handelt, kann man den sogenannten Scheitelpunkt/Extremum berechnen, indem man (Nullstelle 1+Nullstelle2)/2
[mm] \bruch {x_{1}+ x_{2}}{2}
[/mm]
Nun muss man noch beweisen, ob es ein Tiefpunkt oder Hochpunkt ist, bei der PArabel erkennt man das an der Öffnung -> nach oben geöffnet =hat einen Tiefpunkt
ansonsten halt f'' [mm] (x_{E}) [/mm] = 0 setzen
[mm] x_{E} [/mm] > 0 = Tiefpunkt
[mm] x_{E} [/mm] < 0 = Hochpunkt
[mm] x_{E} [/mm] = 0 = Nichts
Eine Gerade hat keine Extrema...
Oder was wolltest du wissen?
Die Ergebnisse kontrollieren wir dir gerne
Aber ALLES vorrechnen können wir leider nicht machen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mo 04.10.2004 | | Autor: | karo |
Hallo,
EXTREMPUNNKTE:
Nachdem du die x-werte ausgerechnet hast, musst du die hin. Bedingung prüfen.
I) F'(x)=0 ^f''(x) ><0
F''(x)=FUNKTION ausrechnen
F''(x)=0
F''(x)=ax-/+bx+/-cx
F''(x)=>0
[mm] F'(x)=0\wedgeF''(x)>0 [/mm] ( HP )
II) Dann den Y-Wert ausrechnen:
X in die ausgangsfunktion einsetzen, dass hast du Y raus ( TP(x/y))
III) Wendepunkte:
not. bed.: F''(x)=0
0=FUNKTION
ausrechnen; dann die hin. Bed.:
F''(x)=0 [mm] \wedgeF'''(x)\not=0
[/mm]
je nachdem wieviele Lösungen du für X hast, dann sezt du alle in F'''(x) ein, alle sind [mm] \not=0
[/mm]
z.B.: F'''(X1)
F'''(x2)
F'''(x3)
IV) dann das X(erg.) in Ausgangsfunktion einsetzen und ausrechnen.
FERTIG
Hoffe das hilf dir weiter.
LG karo
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