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| Aufgabe | a) Bestimme alle relativen Extrempunkte und Wendepunkte
b) Berechne [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x) [/mm] und den rechtsseitigen Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0+0}f(x)
[/mm]
c) Gib den Wertebereich an
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x}{ln(ax)}, & \mbox{für } x \mbox{ >0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \end{cases} [/mm] |
Hallo.
Ich hab hier so meine Probleme. Zuerst einmal kann ich nicht wirklich viel mit der Art von Funktion anfangen weil ich die Schreibweise noch nicht wirklich kenne. Was bedeutet das? Sind das jetz 2 Funktionen?
zu a)
Ich müsste doch die erste Ableitung bilden, dies 0-setzen und in die 2. Ableitung einsetzen. Dann kucken ob < o. > 0.
Wie mach ich das? Von beiden, oder einzeln oder wie? Für Wendepunkte ergibt sich für mich die selbe Frage. Die Lösung soll sein:
Min [mm] (\bruch{e}{a}|\bruch{e}{a})
[/mm]
Max (0|0)
WP [mm] (\bruch{e^2}{a}|\bruch{e^2}{2a})
[/mm]
Was hat das alles mit e zu tun? Hab keinen Schimmer.... :o[
zu b)
Für Grenzwert nehm ich l´Hospital. Da kommt für das erste [mm] \infty [/mm] raus und das zweite ist ja null. Lass ich das zweite da außer acht?
Für den rechtsseitigen Grenzwert soll laut Lösung 0 rauskommen. Aber ich versteh nicht wie die drauf gekommen sind. Da müsst ich ja für x=0 einsetzen und in der Funktion steht aber das x>0 ist (?!)
für c)
Als Lösung steht da: [mm] W_f:y\inR [/mm] \ [mm] (0;\bruch{e}{a}) [/mm] Das ist sozusagen nur der Bereich zwischen Min und Max oder?
So, viele Fragen auf einmal....ich hoffe mir kann jemand helfen.
Danke
Esperanza
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Hallo!
> a) Bestimme alle relativen Extrempunkte und Wendepunkte
> b) Berechne [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x)[/mm] und den
> rechtsseitigen Grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0+0}f(x)[/mm]
>
> c) Gib den Wertebereich an
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{x}{ln(ax)}, & \mbox{für } x \mbox{ >0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \end{cases}[/mm]
>
> Hallo.
>
> Ich hab hier so meine Probleme. Zuerst einmal kann ich
> nicht wirklich viel mit der Art von Funktion anfangen weil
> ich die Schreibweise noch nicht wirklich kenne. Was
> bedeutet das? Sind das jetz 2 Funktionen?
Nein, das ist eine Funktion. Auf der Schule nannten wir das: "abschnittsweise definierte Funktion". Wenn du diese "Fallunterscheidung" nicht machen würdest, wäre die Funktion an der Stelle x=0 nicht definiert, da [mm] \ln(0) [/mm] nicht definiert ist. Deswegen macht man das hier so.
Du kannst das aber auch einfach aus Jux und Dollerei (schreibt man das so?  ) machen, eine Funktion abschnittsweise definieren. Wenn du von mir aus eine Treppenfunktion haben willst, kannst du sagen, sie soll =1 sein für [mm] x\in[0;1), [/mm] =2 für [mm] x\in[1;2) [/mm] usw. 
> zu a)
> Ich müsste doch die erste Ableitung bilden, dies 0-setzen
> und in die 2. Ableitung einsetzen. Dann kucken ob < o. >
> 0.
> Wie mach ich das? Von beiden, oder einzeln oder wie? Für
> Wendepunkte ergibt sich für mich die selbe Frage. Die
Mmh - ich würde sagen, für x=0 ist das witzlos, weil da alle Ableitungen =0 sind. Im anderen Fall müsstest du halt mal die Ableitungen berechnen. Wie da jetzt direkt e mit ins Spiel kommt, kann ich dir auf Anhieb auch nicht sagen. Hast du mal die Ableitungen berechnet?
> Lösung soll sein:
>
> Min [mm](\bruch{e}{a}|\bruch{e}{a})[/mm]
> Max (0|0)
> WP [mm](\bruch{e^2}{a}|\bruch{e^2}{2a})[/mm]
>
> Was hat das alles mit e zu tun? Hab keinen Schimmer....
> :o[
>
> zu b)
> Für Grenzwert nehm ich l´Hospital. Da kommt für das erste
> [mm]\infty[/mm] raus und das zweite ist ja null. Lass ich das zweite
> da außer acht?
Also, das was du geschrieben hast, macht nicht einmal Sinn. Es kommt überhaupt kein n in der Funktion vor, deswegen sollte wohl im ersten Fall [mm] x\to\infty [/mm] stehen. Und was soll das im zweiten Fall heißen? Vielleicht einfach nur [mm] $x\to [/mm] 0$? Oder wieso schreibst du 0+0?
> Für den rechtsseitigen Grenzwert soll laut Lösung 0
> rauskommen. Aber ich versteh nicht wie die drauf gekommen
> sind. Da müsst ich ja für x=0 einsetzen und in der Funktion
> steht aber das x>0 ist (?!)
Nein! In der Funktion steht nur, dass sie für x>0 so definiert ist, wie du aufgeschrieben hast. Für x=0 ist sie anders definiert! Nämlich als konstant Null.
> für c)
> Als Lösung steht da: [mm]W_f:y\inR[/mm] \ [mm](0;\bruch{e}{a})[/mm] Das ist
> sozusagen nur der Bereich zwischen Min und Max oder?
Mmh - nicht unbedingt. Es kann ja sein, dass die Funktion bis in die Unendlichkeit immer größer wird, dann hat sie dort aber kein Maximum mehr, wird also quasi größer als das Maximum.
> So, viele Fragen auf einmal....ich hoffe mir kann jemand
> helfen.
Naja, für's erste sollte das ein bisschen helfen, vielleicht kann jemand anders noch mehr helfen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> > zu a)
>Wie da jetzt direkt e mit
> ins Spiel kommt, kann ich dir auf Anhieb auch nicht sagen.
> Hast du mal die Ableitungen berechnet?
Naja ich hab es versucht:
u=x u'=1
v=ln(xa) v'=lnx+lna [mm] =\bruch{1}{x}+\bruch{1}{a} [/mm] = [mm] \bruch{a+x}{xa}
[/mm]
[mm] \bruch{ln(xa)-x*\bruch{a+x}{xa}}{(ln(xa))^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{ln(xa)-\bruch{ax+x^2}{xa}}{(ln(xa))^2}
[/mm]
Das müsst ich dann Null setzen
[mm] ln(xa)-x*\bruch{a+x}{xa}=0
[/mm]
Irgendwie glaub ich das es schon wieder falsch ist.....
> > zu b)
> Also, das was du geschrieben hast, macht nicht einmal Sinn.
> Es kommt überhaupt kein n in der Funktion vor, deswegen
> sollte wohl im ersten Fall [mm]x\to\infty[/mm] stehen. Und was soll
> das im zweiten Fall heißen? Vielleicht einfach nur [mm]x\to 0[/mm]?
> Oder wieso schreibst du 0+0?
Hast Recht, ist ein Verschreiber...is natürlich für x gegen unendlich....aber das mit der 0+0 steht hier in der Aufgabe wirklich so da....ich kann damit auch nix anfangen und würde das als x gegen 0 sehen....
Aber wie komme ich jetzt auf den Grenzwert 0 in diesem Fall? Gibts da nicht noch so ne Formel mit h?
> > für c)
> > Als Lösung steht da: [mm]W_f:y\inR[/mm] \ [mm](0;\bruch{e}{a})[/mm] Das
> ist
> > sozusagen nur der Bereich zwischen Min und Max oder?
>
> Mmh - nicht unbedingt. Es kann ja sein, dass die Funktion
> bis in die Unendlichkeit immer größer wird, dann hat sie
> dort aber kein Maximum mehr, wird also quasi größer als das
> Maximum.
Naja zumindest in dieser Lösung sieht es so aus als wäre es so gemacht worden. Welchen Weg empfiehlst du denn generell?
Auf jeden Fall danke schonmal für die Antworten!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Barncle |
hmmm... also ich weiß nciht, ob ich das so seh wie du! warum ist der ln von 0 nciht definiert?
Meiner meinung nach ist der [mm] -\infty
[/mm]
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Hallo!
> hmmm... also ich weiß nciht, ob ich das so seh wie du!
> warum ist der ln von 0 nciht definiert?
> Meiner meinung nach ist der [mm]-\infty[/mm]
Also, entweder habe ich jetzt gerade einen Denkfehler, oder du hast zu wenig Ahnung von Mathematik... Wieso sollte der ln von 0 definiert sein? Probier's doch mal mit dem Taschenrechner. Der sollte dir immer error angeben. Oder zeichne die Funktion mal. Da ist die y-Achse zwar dann die Asymptote, aber die Funktion berührt sie nie. Und außerdem ist doch der [mm] \ln [/mm] die Umkehrfunktion von [mm] e^x, [/mm] und wenn [mm] \ln(0) [/mm] definiert wäre, dann müsste genau diese Zahl, die [mm] =\ln(0) [/mm] ist, die e-Funktion zu 0 machen. Und [mm] e^x=0 [/mm] hat bekanntermaßen keine Lösung. Außerdem ist [mm] e^{\infty} [/mm] nicht definiert, und mit [mm] \infty [/mm] kann man sowieso nicht normal rechnen. Das kommt höchstens bei Grenzwertbetrachtungen vor.
Viele Grüße
Bastiane
P.S.: Warum ist denn deiner Meinung nach die Funktion abschnittsweise definiert und ausgerechnet für 0 anders definiert? Wenn der [mm] \ln [/mm] dort definiert wäre, würde es doch Sinn machen, wenn man dann dort wenigstens den Funktionswert hindefiniert und nicht die Funktion einfach abändert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Barncle |
Nunja.. Es geht aber in dem Beispiel doch genau um das Thema Grenzwertbetrachtung, schließlich soll man den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion finden.....
Aba wahrscheinlich ahst du mit dem Rest recht! :) Bin halt ein Physiker und wir rechnen auch schonmal gern mit dem unendlich als wärs keins! ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Barncle |
Hey! :)
Also die Schreibweise definiert dir einfach deine Funktion. Für alle x-Werte > 0 ist deine Funktion [mm] \bruch{x}{ln{(ax)}} [/mm] nur für den Funktionswert 0, ist deine Funktion auch plötzlich 0. Ist halt so! :)
zu a ) Gut die Stationären Punkte hast du eh richtig gesagt, wie man sie ausrechnet. und du nimmst natürlich nur die obere Funktion. Mit der 0 kannst ja nicht viel ableiten! :)
Aba du musst ein bisschen aufpassen. Schließlich könnte es ja sein, dass du ein Maximum oder so bei 0 hättest, es aber jetzt nciht da ist, weil du die Funktion an dieser Stelle ja mit 0 definiert hast.
Also musst du einmal ableiten, dann den Limes x --> +0 bilden und schaun ob das auch was ist. Ich hoff du kannst das nachvollziehen.
was das mit e zu tun hat sollte eigentlich beim rechnen rauskommen. Schließlich hat der ln viel mit e zu tun!
zu b) Also du musst die das so vorstellen deine Funktion verläuft wie immer, aber genau im Nullpunkt fällt sie auf einmal auf die 0. Weil sie eben so definiert ist. Und mit dem rechtsseitigen Grenzwert willst du dir jetzt eigentlich anschaun, was passiert, wenn du´der Funktion "normal" folgst richtung Nullpunkt. und in diesem Fall kommt da eben auch 0 raus. weshalb die definition eigentlich unnötig ist! ;)
bei c) tu ich mir auch schwer.... versteh aber auch die Notation die du da hingeschrieben hast nicht wircklich. Soll das in Worten heißen, Wertebereich ist gleich y ohne 0 und [mm] \bruch{e}{a}??
[/mm]
hoff ich habs dir bissi leichter gemacht, wenn du was nciht verstehst.. frag nochmal! ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Esperanza |
Heyho Barncle!
> Hey! :)
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> Also die Schreibweise definiert dir einfach deine Funktion.
> Für alle x-Werte > 0 ist deine Funktion [mm]\bruch{x}{ln{(ax)}}[/mm]
> nur für den Funktionswert 0, ist deine Funktion auch
> plötzlich 0. Ist halt so! :)
Ok das klingt einleuchtend.
>
> zu a ) Gut die Stationären Punkte hast du eh richtig
> gesagt, wie man sie ausrechnet. und du nimmst natürlich nur
> die obere Funktion. Mit der 0 kannst ja nicht viel
> ableiten! :)
> Aba du musst ein bisschen aufpassen. Schließlich könnte es
> ja sein, dass du ein Maximum oder so bei 0 hättest, es aber
> jetzt nciht da ist, weil du die Funktion an dieser Stelle
> ja mit 0 definiert hast.
> Also musst du einmal ableiten, dann den Limes x --> +0
> bilden und schaun ob das auch was ist. Ich hoff du kannst
> das nachvollziehen.
Okay....da muss ich erstmal die Ableitung zu stande bekommen ;o)
> was das mit e zu tun hat sollte eigentlich beim rechnen
> rauskommen. Schließlich hat der ln viel mit e zu tun!
Na die e-fkt ist doch die umkehrfunktion der ln-fkt? Warum ich das an der Stelle dann anwende bleibt mir ein Rätsel....da bin ich nicht so versiert...
>
> zu b) Also du musst die das so vorstellen deine Funktion
> verläuft wie immer, aber genau im Nullpunkt fällt sie auf
> einmal auf die 0. Weil sie eben so definiert ist. Und mit
> dem rechtsseitigen Grenzwert willst du dir jetzt eigentlich
> anschaun, was passiert, wenn du´der Funktion "normal"
> folgst richtung Nullpunkt. und in diesem Fall kommt da eben
> auch 0 raus. weshalb die definition eigentlich unnötig ist!
> ;)
Naja es ist nur weil da immer steht: Berechne den rechtsseitigen Grenzwert! Und da will ich dann rechnen.... Rechne ich dann einfach für x gegen null?
> bei c) tu ich mir auch schwer.... versteh aber auch die
> Notation die du da hingeschrieben hast nicht wircklich.
> Soll das in Worten heißen, Wertebereich ist gleich y ohne 0
> und [mm]\bruch{e}{a}??[/mm]
Stimmt das könnte es auch heißen...der Schrägstrich heißt doch "außer" oder? Also ich hab keine Ahnung wie das zustande kommt...leider....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Barncle |
Also die Ableitung ist echt knifflig.. aba ich versuchs weiter.. vielleicht eine ahnung was passiert, wenn man 2 logarithmen multipliziert?
Auf jeden Fall hab ich schon was mit e! :D
Tja beim rechtsseitigen Grenzwert heißt das im Prinzip, dass du dich dem Nullpunkt von rechts näherst.. aba ich tät auch einfach null setzten.. aba da bräucht ich den de L'hospital.. und ich schaff nichtmal die ableitung von ln(ax).. hmmm....
tja.. und mit dem Wertebereich... ich denk auch dass das außer heißt, aber ich versteh nicht, warum [mm] \bruch{e}{a} [/mm] ein Problem für den Werebereich sein sollte....
Kann dir nur anbieten, dass heute abend mal im mapel zu versuchen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Esperanza |
> Also die Ableitung ist echt knifflig.. aba ich versuchs
> weiter.. vielleicht eine ahnung was passiert, wenn man 2
> logarithmen multipliziert?
> Auf jeden Fall hab ich schon was mit e! :D
Gute Frage....ich weiß auch nur das ln(ax) sowas wie lna+lnx ist...
> Tja beim rechtsseitigen Grenzwert heißt das im Prinzip,
> dass du dich dem Nullpunkt von rechts näherst.. aba ich tät
> auch einfach null setzten.. aba da bräucht ich den de
> L'hospital.. und ich schaff nichtmal die ableitung von
> ln(ax).. hmmm....
Jo ich auch net....
>
> tja.. und mit dem Wertebereich... ich denk auch dass das
> außer heißt, aber ich versteh nicht, warum [mm]\bruch{e}{a}[/mm] ein
> Problem für den Werebereich sein sollte....
Ich och ni :-D
> Kann dir nur anbieten, dass heute abend mal im mapel zu
> versuchen!
Kannst es ja mal probieren....Diese blöde Aufgabe ist ne Klausuraufgabe...und wenn nächste Woche wieder sowas dran kommt....dann gute Nacht...
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Barncle |
Also zumindest was den Grenwert angeht mach ich fortschritte! :)
Also ln(ax) = lnx + lna das stimmt auf jeden Fall.. nunja und wen ich jetzt nach x Ableite fällt mir der lna einfach weg und übrig bleibt [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Stimmt auch mit den Ergebnissen überein (also wenn grenzwert und dann de l'hospital..)
was die Ableitung der Funktion betrifft werd ich wie gesagt am abend mal schaun! grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Esperanza |
> Also zumindest was den Grenwert angeht mach ich
> fortschritte! :)
>
> Also ln(ax) = lnx + lna das stimmt auf jeden Fall.. nunja
> und wen ich jetzt nach x Ableite fällt mir der lna einfach
> weg und übrig bleibt [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
Wie fällt der weg? Die Ableitung von ln(xa) ist doch sowas wie lnx+lna und das abgeleitet ist doch [mm] \bruch{1}{x}+\bruch{1}{a} =\bruch{a+x}{xa} [/mm]
Oder was meinst du grad?
> Stimmt auch mit den Ergebnissen überein (also wenn
> grenzwert und dann de l'hospital..)
8-] muddu mir ma zeigen....
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> was die Ableitung der Funktion betrifft werd ich wie gesagt
> am abend mal schaun! grüße
grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Esperanza |
Joa...so hab ich das noch gar nicht betrachtet....aber danke für den Tip
Gott...hoffentlich bekomm ich den Lösungsweg zu meiner Aufgabe aus dem ganzen "Geschreibe" überhaupt noch raus :-D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Barncle |
ja.. der kollege unten hat natürlich vollkommen recht mit der erten ableitung.. du bekommst sie übrigens ganz leicht mit der quotientenregel! bin wohl am nachmittag etwas auf der leitung gestanden! ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Barncle |
hmmm... kettenregel.... tja.. muss doch gestehen dass ich die nie leiden konnte! :D aba so wärs natürlich auch gegeangen... bin doch schon wieder eingerostet, nach nem Monat ferien! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Mi 26.07.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Esperanza
Ich versuch mal Ordnung in das bisherige zu kriegen:
1. Das mit dem stueckweise oder punktweise definiert hast du hoffentlich verstanden.
2. es gibt 2 kritische Punkte: a) x=0 Nenner [mm] -\infty, [/mm] Zaehler 0 im GW unf f(0)=0
Deshalb den GW ausrechnen, L'Hopital ist richtig, du findest den GW 0. also ist die fkt. in 0 stetig.
b) Nur Nenner 0, d.h. x=1/a lnax=0 hier ist die fkt nicht definiert! (Sie hat einen Pol mit Zeichenwechsel.
3. Ableitung: [mm] $f'=\bruch{lnax-1}{(lnax)^2}$
[/mm]
f'=0 fuer lnax=1 ax=e, x=e/a hier kommt das e rein wegen lne=1!
x=0 wieder einzeln untersuchen, 0<x<1/a f ist negativ, x=0 f=0 also Maximum. 4. WP: da bilde erstmal die 2. Ableitung mitQuotienten und Kettenregel!
4. Definitionsbereich: alle x [mm] \ge [/mm] 0 ausser x=1/a daraus
5. Wertevorrat: Welche Werte kommen vor? lass dir die fkt mal von nem Funktionsplotter zeichnen, dann ueberleg, wie du das, was du siehst begruendest!
Ich hoffe, jetzt machst du Fortschritte.
Gruss leduart
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Kettenregel