Gâteaux- und Fréchetableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Di 12.02.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Gâteaux- und die Fréchetableitung von
[mm] $f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, z=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}\sin x\cosh y\\\cos x\sinh y\end{pmatrix}$. [/mm] |
Hallo, bei der Gâteauxableitung habe ich für [mm] $h=(h_1,h_2)$:
[/mm]
[mm] $\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(z+th)-f(z)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{1}{t}\begin{pmatrix}\sin(x+th_1)\cosh(y+th_2)-\sin(x)\cosh(y)\\\cos(x+th_1)\sinh(y+th_2)-\cos(x)\sin(y)\end{pmatrix}$
[/mm]
Wie berechne ich nun diesen Grenzwert?
Ich habe diese Frage auch hier gestellt:
http://matheplanet.com/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Mi 13.02.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie die Gâteaux- und die Fréchetableitung von
>
> [mm]f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, z=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}\sin x\cosh y\\\cos x\sinh y\end{pmatrix}[/mm].
>
>
> Hallo, bei der Gâteauxableitung habe ich für
> [mm]h=(h_1,h_2)[/mm]:
>
> [mm]\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(z+th)-f(z)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{1}{t}\begin{pmatrix}\sin(x+th_1)\cosh(y+th_2)-\sin(x)\cosh(y)\\\cos(x+th_1)\sinh(y+th_2)-\cos(x)\sin(y)\end{pmatrix}[/mm]
>
> Wie berechne ich nun diesen Grenzwert?
Erstmal Additionstheoreme benutzen und dann wie üblich z.B. mit l'Hospital.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Mi 13.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die Gâteaux- und die Fréchetableitung von
>
> [mm]f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, z=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}\sin x\cosh y\\\cos x\sinh y\end{pmatrix}[/mm].
>
>
> Hallo, bei der Gâteauxableitung habe ich für
> [mm]h=(h_1,h_2)[/mm]:
>
> [mm]\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(z+th)-f(z)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{1}{t}\begin{pmatrix}\sin(x+th_1)\cosh(y+th_2)-\sin(x)\cosh(y)\\\cos(x+th_1)\sinh(y+th_2)-\cos(x)\sin(y)\end{pmatrix}[/mm]
>
> Wie berechne ich nun diesen Grenzwert?
Es geht einfacher:
Mit festen x,y und h setze
g(t):=f((x,y)+th).
Zu berechnen ist g'(0). Das kannst Du mit der Kettenregel erledigen.
FRED
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> Ich habe diese Frage auch hier gestellt:
> http://matheplanet.com/
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