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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mi 25.03.2015 | | Autor: | EGF |
| Aufgabe | | ggt(a,b) = 1 --> (a+b, a-b) [mm] \in \{1,2\} [/mm] |
Guten Abend,
ich habe folgendes Problem. Ich soll die obige Aussage zeigen.
Ich habe mich zunächst mit der Additivität an die Sache geran gewagt.
Nach drei Stunden haben wir nun zu Zweit folgendes gelöst, glauben aber, dass es der Sache nicht sonderlich nahe kommt.
ggT(a,b) = 1
ggT (a+b, a-b) = 1 für a gerade und b ungerade
ggT(a+b,a-b) = 2 für a und b ungerade
ggT(a,b) = 1
= ggT( a, r) wobei a+r=b und r= b-a
=ggT(a, b-a)
ggT (a, a-b)
und
ggT(a+b,b) = ggT ( a,b) nach Satz (Skript)
also auch andersherum ggT(a,b) = ggT( a+b, b)
aus beiden ergibt sich:
ggT(a,b) = ggT(a+b, a-b)
und für den Fall a und b ungerade
ggT = 2
Mathematisch sicher nicht sehr sauber, aber geht es wenigstens in die richtige Richtung?
Vielen Dank im voraus schon mal =)
Liebe Grüße EGF
Die Frage ist in keinem anderen Forum eingestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Mi 25.03.2015 | | Autor: | rmix22 |
Wäre ist nicht einfacher, den Beweis indirekt zu führen?
zB für den Fall a und b beide ungerade.
Summe und Differenz sind dann trivialerweise durch 2 teilbar.
Nehmen wir an, es gäbe einen Teiler >2 von a-b und a+b.
Dieser müsste sich dann als 2*t schreiben lassen, wobei das ganzzahlige t>1 ist.
Es müsste dann ganzzahlige k1 und k2 geben mit
2t*k1=a+b
und
2t*k2=a-b
Addition und Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergeben dann
t*(k1+k2)=a
und
t*(k1-k2)=b
Mit t>1 ist das ein Widerspruch zu ggT(a,b)=1
Für den Fall dass a oder b gerade ist und der andere Wert ungerade ist der Teiler natürlich nicht 2t sondern t und man kann verwenden, dass k1 und k2 dann ungerade sein müssen (weil a+b und a-b beide ungerade sind). (k1+k2)/2=k3 und damit t*k3=a und analog t*k4=b und wieder ein Widerspruch.
Gruß RMix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Mi 25.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ggt(a,b) = 1 --> (a+b, a-b) [mm]\in \{1,2\}[/mm]
es gilt für ganze Zahlen $a,b,c$
[mm] $\ggT(a,b)=\ggT(a,\,b+c\,a)$.
[/mm]
Daher ist
[mm] $\ggT(a+b,\,a-b)=\ggT(a+b,\,(a+b)-(a-b))=\ggT(a+b, [/mm] 2a)$
schonmal klar.
Nun gilt auch
[mm] $\ggT(a,b) \mid \ggT(a,b\,c)\,,$
[/mm]
bzw.
[mm] $\ggT(a,b) \mid \ggT(c\,a,\,b)\,.$
[/mm]
Also folgt
(*) [mm] $\ggT(a+b,2a) \mid \ggT(2(a+b),\,2a)=2\ggT(a+b,\,b)\,,$
[/mm]
wobei hier [mm] $\ggT(ca,\,cb)=c\,\ggT(a,b)$ [/mm] benutzt wurde.
Wegen
[mm] $\ggT(a+b,\,b)=\ggT(a,b)$ [/mm] (warum?)
folgt dann die Behauptung aus (*), denn so sehen wir
[mm] $\ggT(a+b,\,a-b) \mid [/mm] 2$.
P.S. Vielleicht wäre es auch mal interessant, die Aufgabe mit Hilfe von
Primfaktorzerlegungen zu bearbeiten!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Mi 25.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > ggt(a,b) = 1 --> (a+b, a-b) [mm]\in \{1,2\}[/mm]
einfach, weil das mein erster Gedanke war: Hat jemand eine Idee, wie man
diese Aufgabe mit
[mm] $d=\ggT(a,b) \iff a*\IZ+b*\IZ=d*\IZ$
[/mm]
lösen könnte? Wäre sicher auch interessant, ob bzw. ggf. wie das funktioniert.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:12 Do 26.03.2015 | | Autor: | EGF |
Ganz herzlichen Dank für eure Antworten!
Jetzt kann eigentlich nichts mehr schief gehen :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:32 Do 26.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ggt(a,b) = 1 --> (a+b, a-b) [mm]\in \{1,2\}[/mm]
> Guten Abend,
>
> ich habe folgendes Problem. Ich soll die obige Aussage
> zeigen.
> Ich habe mich zunächst mit der Additivität an die Sache
> geran gewagt.
> Nach drei Stunden haben wir nun zu Zweit folgendes gelöst,
> glauben aber, dass es der Sache nicht sonderlich nahe
> kommt.
>
> ggT(a,b) = 1
> ggT (a+b, a-b) = 1 für a gerade und b ungerade
Die zweite Gleichheit soll aus der ersten folgen, oder wie ist das zu lesen?
Zeichen oder Worte helfen dabei, also:
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ oder
"Wir wissen A, daraus folgt (wegen ...) dann B"
schreiben. Es steht aber nirgends, wieso diese Folgerung gilt.
> ggT(a+b,a-b) = 2 für a und b ungerade
>
> ggT(a,b) = 1
> = ggT( a, r) wobei a+r=b und r= b-a
> =ggT(a, b-a)
> ggT (a, a-b)
>
> und
>
> ggT(a+b,b) = ggT ( a,b) nach Satz (Skript)
> also auch andersherum ggT(a,b) = ggT( a+b, b)
>
> aus beiden ergibt sich:
>
> ggT(a,b) = ggT(a+b, a-b)
Mal 'ne Rückfrage: Wie kamst Du auf diese Gleichheit? I.A. ist sie Unsinn,
denn dann wäre
[mm] $4=\ggT(4,12)=\ggT(16,-8)=8$
[/mm]
Du willst also irgendwo [mm] $\ggT(a,b)=1$ [/mm] benutzen wollen.
Aber sowas wie [mm] $\ggT(a,a+b)=\ggT(a,b)=\ggT(a,a-b)$ [/mm] ist klar; sowas ist eine Grundlage
des euklidischen Algorithmus, bzw.
[mm] $\ggT(a,b)=\ggT(a,b+c\,a)\,.$
[/mm]
(Nicht unerwähnt will ich dabei lassen, dass [mm] $\ggT(a,b)=\ggT(|a|,\,|b|)$ [/mm] für alle $a,b [mm] \in \IZ$
[/mm]
gilt. Und zwar im Sinne von "Gleichheit bis auf eine multiplikative Einheit".
Der ggT ist in [mm] $\IZ$ [/mm] nicht (mehr) eindeutig; aber immer noch *eindeutig genug*!
Bzw. wenn man dort etwa fordert, dass der ggT zudem auch nichtnegativ
sein soll, *macht* man ihn damit eindeutig.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:36 Do 26.03.2015 | | Autor: | EGF |
Hallo,
das war nicht als Folgerung gemeint. Eher als Fallunterscheidung. Einmal dass der ggT der beiden Zahlen 1 und einmal 2 ist. Hätte ich wirklich deutlicher machen können. Danke für den Hinweis!
Wir hatten gehofft, dass wir die Aussage
ggT (a,b) = ggT (a, a+b) verallgemeinern können.
Aber ehrlich gesagt waren wir ziemlich ratlos und verzweifelt.
Es handelt sich um eine ehemalige Klausuraufgabe, die ich gerne für die morgige nachvollziehen wollte.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 Do 26.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> das war nicht als Folgerung gemeint. Eher als
> Fallunterscheidung. Einmal dass der ggT der beiden Zahlen 1
> und einmal 2 ist. Hätte ich wirklich deutlicher machen
> können. Danke für den Hinweis!
naja, nur, weil es mir nicht klar war, heißt es nicht, dass es anderen nicht
klar war. Aber geh' immer davon aus: Wenn einer es schon nicht versteht,
dann schreibe lieber zu viel als zu wenig dazu. Im Gegensatz zur Schule
geht es eher darum, jeden Gedanken nachvollziehbar darzustellen, als
dass man auch mal Gedankensprünge macht, die einem leicht erscheinen,
um das Ganze kompakter darzustellen. In höheren Semestern darfst Du
dann auch alles etwas kompakter hinschreiben, wobei ich immer empfehle,
dass man wenigstens für sich selbst irgendwo alles ganz vollständig
oder halt Stichworte zur Vervollständigung notiert. Sonst passiert so etwas
wie
hier
(Das ist keine Kritik an hanspeter.schmid, sondern durch seine Frage
demonstriert er genau das, warum ich immer empfehle: Lieber (und sei
es nur für sich selbst) etwas zu viel denn zu wenig aufschreiben!)
> Wir hatten gehofft, dass wir die Aussage
> ggT (a,b) = ggT (a, a+b) verallgemeinern können.
> Aber ehrlich gesagt waren wir ziemlich ratlos und
> verzweifelt.
> Es handelt sich um eine ehemalige Klausuraufgabe, die ich
> gerne für die morgige nachvollziehen wollte.
Viel Glück für die morgige Klausur. Ich mag' übrigens das Buch
Elementare und algebraische Zahlentheorie (Müller-Stach, Piontkowski).
Kannst ggf. ja mal (wohl erst nach der Klausur) reingucken.
Gruß,
Marcel
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