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| Aufgabe | Man berechne den größten gemeinsamen Teiler der folgenden Polynome
P:= [mm] x^{3} [/mm] -7x-6 und Q:= [mm] x^{4}-5x^{3}+6x²+4x-8 \in \IQ[x] [/mm] |
Ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt.
Also ich weiß das ich hier mit Polynomdivision arbeiten muss, aber es haut einfach nicht hin bei mir! :D
Und wenn ich dann theoretisch das ergebnis der Teilung der beiden Polynome hab, wie muss ich denn dann weitermachen, weil das ist doch dann noch nicht der Größte gemeinsame Teiler oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Sa 26.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Man berechne den größten gemeinsamen Teiler der folgenden
> Polynome
>
> P:= [mm]x^{3}[/mm] -7x-6 und Q:= [mm]x^{4}-5x^{3}+6x²+4x-8 \in \IQ[x][/mm]
>
> Ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt.
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> Also ich weiß das ich hier mit Polynomdivision arbeiten
> muss, aber es haut einfach nicht hin bei mir! :D
>
> Und wenn ich dann theoretisch das ergebnis der Teilung der
> beiden Polynome hab, wie muss ich denn dann weitermachen,
> weil das ist doch dann noch nicht der Größte gemeinsame
> Teiler oder?
Meistens nicht. Du musst so wie immer den euklidischen Algorithmus anwenden. Wie das geht sollte bei euch in der Vorlesung vorgekommen sein. Schau doch sonst mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
LG Felix
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Ja den weg kenne ich auch vom hören... aber ich komm mit der zerlegung nicht zurecht. Ich weiß nicht wie ich die Polynome so zerlegen kann und wir haben das in der VL auch noch nciht gemacht, weil unser Prof immer noch im stoff vom letzten jahr rumwühlt! :(
Gibts da nen bestimmten weg für die zerlegung oder muss man einfach schauen wies hinhaut?
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Mache es wie bei ganzen Zahlen, z.B. ggT(255|75):
255 : 75 = 3 Rest 30
75 : 30 = 2 Rest 15
30 : 15 = 2 Rest 0 ggT = 15
Also:
Teile P. höheren (Beispiel oben: 255) durch P. niedrigen (Beispiel oben: 75)Grades.
Das Ergebnis (3) ist unwichtig, wohl aber der Rest (30).
Teile nun den letzten Divisor (75) durch den letzten Rest (30).
Teile nun den letzten Divisor (30) durch den letzten Rest (15)....
Irgendwann ist der Rest 0. Dann ist der Divisor, der zum ersten Mal diese 0 hervorgebracht hat, der ggT.
Dies wendest du nun auf die Polynome an.
Das Ergebnis ist x+1.
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Genau das war ja mein Problem in der ersten Frage!! Bei mir haut die Division nicht hin!
Ich machs wahrscheinlich falsch! Aber auch der Computer kommt da nicht weiter!
Das erste Ergebnis bekomme ich ja noch raus:
[mm] x^{4}-5x^{3}+6x^{2}+4x-8 [/mm] : [mm] (x^{3}-7x-6) [/mm] = (x-5) Rest [mm] \bruch{13x^{2}-25x-38}{x^3-7x-6}
[/mm]
Aber dann kann ich nicht mehr weierrechnen, wie soll denn das gehen?
Selbst ein rechenprogramm streikt wenn ich das eingebe!! :(
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Hi Schneckal,
> Genau das war ja mein Problem in der ersten Frage!! Bei mir
> haut die Division nicht hin!
>
> Ich machs wahrscheinlich falsch! Aber auch der Computer
> kommt da nicht weiter!
> Das erste Ergebnis bekomme ich ja noch raus:
>
> [mm] \red{(}x^{4}-5x^{3}+6x^{2}+4x-8\red{)} [/mm] : [mm] (x^{3}-7x-6) [/mm] = (x-5) Rest
[mm] \bruch{13x^{2}-25x-38}{x^3-7x-6} [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das kannst du schreiben als: (multipliziere auf beiden Seiten mit $P(x)$)
[mm] $Q(x)=K_1(x)\cdot{}P(x)+R_1(x)$
[/mm]
[mm] $\underbrace{x^4-5x^3+6x^2+4x-8}_{=Q(x)}=\underbrace{(x-5)}_{=K_1(x)}\cdot{}\underbrace{(x^3-7x-6)}_{=P(x)}+\underbrace{13x^2-25x-38}_{=R_1(x)}$
[/mm]
Nun weiter nach Schema:
Berechne [mm] $P(x):R_1(x)=...$
[/mm]
Dann kannst du wieder $P(x)$ darstellen als [mm] $P(x)=K_2(x)\cdot{}R_1(x)+R_2(x)$ [/mm] usw...
Gruß
schachuzipus
>
> Aber dann kann ich nicht mehr weierrechnen, wie soll denn
> das gehen?
> Selbst ein rechenprogramm streikt wenn ich das eingebe!!
> :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Sa 26.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Das erste Ergebnis bekomme ich ja noch raus:
>
> [mm]x^{4}-5x^{3}+6x^{2}+4x-8[/mm] : [mm](x^{3}-7x-6)[/mm] = (x-5) Rest
> [mm]\bruch{13x^{2}-25x-38}{x^3-7x-6}[/mm]
Der Bruch da hinten ist nicht der Rest. Der Rest ist $13 [mm] x^2 [/mm] - 25 x - 38$, wenn schon. (Hab das nicht nachgerechnet.)
Wenn du $5$ durch $3$ teilst mit Division durch Rest, bekommst du auch 1 mit Rest 2 raus und nicht 1 mit Rest [mm] $\frac{2}{3}$.
[/mm]
LG Felix
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Hallo,
ich habe mich einmal an dem euklidischen Algorithmus probiert und eine Frage zum Ergebnis.
[mm] (x^4-5x^3+6x^2+4x-8) [/mm] : [mm] (x^3-7x-6) [/mm] = (x-5) Rest [mm] 13x^2-25x-38
[/mm]
[mm] (x^3-7x-6) [/mm] : [mm] (13x^2-25x-38) [/mm] = [mm] \bruch{x}{13}+\bruch{25}{169} [/mm] Rest [mm] -\bruch{64}{169}x-\bruch{64}{169}
[/mm]
[mm] (13x^2-25x-38) :\left(-\bruch{64}{169}x-\bruch{64}{169}\right) [/mm] = [mm] -\bruch{2197}{64}x+\bruch{6422}{64} [/mm] Rest (0)
Also müsste der ggT [mm] -\bruch{64}{169}(x+1) [/mm] sein.
Wenn man die Polynome aber in Linearfaktoren zerlegt
[mm] x^4-5x^3+6x^2+4x-8 [/mm] = [mm] (x+1)*(x-2)^3
[/mm]
[mm] $x^3-7x-6 [/mm] = (x+2)*(x+1)*(x-3)$
sieht man, dass x+1 der ggT ist.
Habe ich mich verrechnet?
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also ich hab genauso gerechnet wie du beim ersten mal und bei mir kommt auch das ergebnis mit den [mm] -\bruch{64}{169} [/mm] davor raus...
wenn man es aber bei der seite eingibt, kürzen die die beiden Polynome schon vor dem rechnen und dann fällt bei dem ersten restergebnis des -25x raus...
liegt vielleicht da das Problem?
ich würd nämlich auch gern wissen welches ergebnis richtig is!:D
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Wenn du bei ganzen Zahlen als ggT z.B. 12 herausbekommst, ist nur diese eine Mgl. vorhanden.
Wenn du bei Polynomen x+1 herausbekommst, kannst du genau so gut [mm] -\bruch{64}{169}(x+1) [/mm] nehmen. Ein Polynom als ggT kann noch mit einer beliebigen konstanten Zahl multipliziert werden.
Warum?
Das Polynom [mm] 3x^2-6x [/mm] kann durch x-2 dividiert werden (=3x).
Das Polynom [mm] 9x^3-18x^2 [/mm] kann durch x-2 dividiert werden [mm] (=9x^2).
[/mm]
Also ist x-2 ein gemeinsamer Teiler beider Polynome.
Das Polynom [mm] 3x^2-6x [/mm] kann durch 3x-6 dividiert werden (=x).
Das Polynom [mm] 9x^3-18x^2 [/mm] kann durch 3x-6 dividiert werden [mm] (=3x^2).
[/mm]
Also ist 3x-6 ein gemeinsamer Teiler beider Polynome.
Das Polynom [mm] 3x^2-6x [/mm] kann durch 9x-18 dividiert werden (=x/3).
Das Polynom [mm] 9x^3-18x^2 [/mm] kann durch 9x-18 dividiert werden [mm] (=x^2).
[/mm]
Also ist 9x-18 ein gemeinsamer Teiler beider Polynome.
Welcher der Teiler ist nun größer? Zunächst mal 9x - 18, aber:
Das Polynom [mm] 3x^2-6x [/mm] kann durch [mm] 3x^2-6x [/mm] dividiert werden (=1).
Das Polynom [mm] 9x^3-18x^2 [/mm] kann durch [mm] 3x^2-6 [/mm] dividiert werden (=3x).
Also ist [mm] 3x^2-6 [/mm] ein gemeinsamer Teiler beider Polynome.
Ist nun [mm] 3x^2-6 [/mm] oder 9x - 18 ein größerer Teiler? Es ist der mit dem höchsten Grad, also [mm] 3x^2-6.
[/mm]
Aber:
Das Polynom [mm] 3x^2-6x [/mm] kann durch [mm] 27x^2-54x [/mm] dividiert werden (=1/9).
Das Polynom [mm] 9x^3-18x^2 [/mm] kann durch [mm] 27x^2-54x [/mm] dividiert werden (=x/3).
Also ist [mm] 27x^2-54x [/mm] ein gemeinsamer Teiler beider Polynome.
Ist [mm] 27x^2-54x [/mm] größer? Dann gibt es keinen ggT, denn du kannst den Teiler mit jeder beliebigen Zahl multiplizieren, um die Koeffizienten zu vergrößern.
Also gilt: Der ggT von Polynomen ist nur bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt.
Hinweis: ein P. heißt teilbar durch ein anderes P., wenn das Divisionsergebnis ein P. ist. Dieses darf also im Nenner eine Zahl haben, nicht aber ein x, [mm] x^2 [/mm] ...
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