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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Fr 04.12.2009 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Für jede Menge N ist [mm] \{\} [/mm] x N leer. Es gibt einfach keine geordneten Paare, da [mm] \{\} [/mm] leer ist. Also ist [mm] \{\} [/mm] die einzige Teilmenge von [mm] \{\} [/mm] x N.
(i) Zeigen Sie zunächst, dass die leere Menge eine Abbildung ist.
(ii) Seien [mm] m,n\in\IN [/mm] und K ein Körper. Eine Abbildung m x [mm] n^{+} \to [/mm] K beschreibt ein Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten. Wenn m=0 ist, so hat das Gleichungssystem keine Gleichungen. Welche Elemente aus [mm] K^{n} [/mm] lösen das leere Gleichungssystem? |
Zu (i):
Ich finde es ja irgendwie komisch, dass die leere Menge eine Abbildung sein soll. Aber nun gut, versuche ich es mal zu beweisen, auch wenn mir das mit den Angaben in der Aufgabe etwas trivial vorkommt. Ich bin mir unsicher, ob man das tatsächlich wie folgt machen kann.
Jede Abbildung f:M [mm] \to [/mm] N kann ja auch dargestellt werden als Teilmenge (1) von M x N, sodass zu allen [mm] m\in [/mm] M genau ein (2) [mm] n\in [/mm] N existiert, sodass [mm] (m,n)\in [/mm] f.
Wenn M die leere Menge ist, dann ist (1) die leere Menge die einzige Teilmenge. (2) Zu jedem Element in der leeren Menge [mm] M=\{\} [/mm] existiert genau ein Element (nämlich zu keinem Element existiert genau keines) sodass es in der leeren Menge [mm] \{\} [/mm] x N ist.
=> Die leere Menge ist eine Abbildung.
Zu (ii): Da habe ich schon heftig drüber diskutiert. Ich bin der Meinung, dass Gleichungen als Bedingungen für die Lösungsmenge die Ausgangsmenge einschränken und nicht erschaffen. Da es keine Gleichungen gibt, gibt es keine Bedingungen, also lösen alle Elemente aus [mm] K^{n} [/mm] das Gleichungssystem. So sicher bin ich mir damit aber nicht und andere sind auch der Meinung, dass ein leeres Gleichungssystem keinerlei Lösungen besitzt.
Irgendwie ist die ganze Aufgabe ein bisschen suspekt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Sa 05.12.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Für jede Menge N ist [mm]\{\}[/mm] x N leer. Es gibt einfach keine
> geordneten Paare, da [mm]\{\}[/mm] leer ist. Also ist [mm]\{\}[/mm] die
> einzige Teilmenge von [mm]\{\}[/mm] x N.
> (i) Zeigen Sie zunächst, dass die leere Menge eine
> Abbildung ist.
> (ii) Seien [mm]m,n\in\IN[/mm] und K ein Körper. Eine Abbildung m x
> [mm]n^{+} \to[/mm] K beschreibt ein Gleichungssystem mit m
> Gleichungen und n Unbekannten. Wenn m=0 ist, so hat das
> Gleichungssystem keine Gleichungen. Welche Elemente aus
> [mm]K^{n}[/mm] lösen das leere Gleichungssystem?
> Zu (i):
> Ich finde es ja irgendwie komisch, dass die leere Menge
> eine Abbildung sein soll. Aber nun gut, versuche ich es mal
> zu beweisen, auch wenn mir das mit den Angaben in der
> Aufgabe etwas trivial vorkommt. Ich bin mir unsicher, ob
> man das tatsächlich wie folgt machen kann.
> Jede Abbildung f:M [mm]\to[/mm] N kann ja auch dargestellt werden
> als Teilmenge (1) von M x N, sodass zu allen [mm]m\in[/mm] M genau
> ein (2) [mm]n\in[/mm] N existiert, sodass [mm](m,n)\in[/mm] f.
> Wenn M die leere Menge ist, dann ist (1) die leere Menge
> die einzige Teilmenge. (2) Zu jedem Element in der leeren
> Menge [mm]M=\{\}[/mm] existiert genau ein Element sodass es in der
> leeren Menge [mm]\{\}[/mm] x N ist.
ja. Ergänzend wäre anzumerken, dass die leere Menge in dieser Darstellung alle Funktionen mit leerer Definitionsmenge repräsentiert.
> => Die leere Menge ist eine Abbildung.
> Zu (ii): Da habe ich schon heftig drüber diskutiert. Ich
> bin der Meinung, dass Gleichungen als Bedingungen für die
> Lösungsmenge die Ausgangsmenge einschränken und nicht
> erschaffen. Da es keine Gleichungen gibt, gibt es keine
> Bedingungen, also lösen alle Elemente aus [mm]K^{n}[/mm] das
> Gleichungssystem.
genau so ist das auch.
LG
Will
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