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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 So 08.02.2015 | | Autor: | Hias |
| Aufgabe | Hallo, leider muss ich schon wieder eine Frage stellen.
Ich beschäftige mich mit der Galoistheore und betrachte folgendes Beispiel
(Das Beispiel habe ich mir selbst zusammengebaut, also keine Garantie, dass alles nötige vorhanden ist :) )
Sei L/K eine Galoische Körpererweiterung und G = Gal(L/K) und seinen [mm] H_1, H_2 [/mm] und [mm] H_3 [/mm] Untergrupen von G. Das ganze soll wie folgt aussehen
{1} [mm] \subset H_1 \subset H_2 \subset H_3 \subset [/mm] G
und die korrespondierenden Zwischenkörper (invers und bijektiv zueinander )
[mm] L\supseteq L^{H_3} \supseteq L^{H_2} \supseteq L^{H_1} \supseteq [/mm] K |
Meine Frage ist nun, wie genau stehen Index und Grad der Körpererweiterung in Beziehung?
Z.B. suche ich mir [mm] H_2 [/mm] und seinen Zwischenkörper [mm] L^{H_2} [/mm] heraus.
gilt nun ord(G)/ord(H) = [mm] (G:H_2) [/mm] = [mm] [L,L^{H_2}] [/mm]
oder [mm] (G:H_2)=[L^{H_2},K] [/mm] oder eventuell doch komplett anders? Ich kann es mit der Theorie aus unserer Vorlesung gerade nicht erkennen, wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:44 Mo 09.02.2015 | | Autor: | statler |
Moinsen!
> Das ganze
> soll wie folgt aussehen
>
> {1} [mm]\subset H_1 \subset H_2 \subset H_3 \subset[/mm] G
> und die korrespondierenden Zwischenkörper (invers und
> bijektiv zueinander )
> [mm]L\supseteq L^{H_3} \supseteq L^{H_2} \supseteq L^{H_1} \supseteq[/mm]
> K
So sieht es glaub ich nicht aus, du schreibst ja selbst 'invers'.
> Meine Frage ist nun, wie genau stehen Index und Grad der
> Körpererweiterung in Beziehung?
Das kannst du fast raten, zur größeren Untergruppe gehört der kleinere Fixkörper.
Gruß
Dieter
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:05 Mo 09.02.2015 | | Autor: | Hias |
Hallo und danke für deine Antwort
> Moinsen!
>
> > Das ganze
> > soll wie folgt aussehen
> >
> > {1} [mm]\subset H_1 \subset H_2 \subset H_3 \subset[/mm] G
> > und die korrespondierenden Zwischenkörper (invers und
> > bijektiv zueinander )
> > [mm]L\supseteq L^{H_3} \supseteq L^{H_2} \supseteq L^{H_1} \supseteq[/mm] K
> So sieht es glaub ich nicht aus, du schreibst ja selbst
> 'invers'.
>
Ich habe mir folgendes dabei überlegt: Der Körper der unter der Identität fix bleibt , also [mm] L^{id} [/mm] ist ganz L und nach Definition ist der Körper der unter G fix bleibt, also [mm] L^G, [/mm] nur K, da in G K-Homomorphismen sind. Deshalb sollten die Inlklusionen ivers zu obigen sein. D.h: die größere Untergruppe besitzt einen kleineren Fixkörper.
> > Meine Frage ist nun, wie genau stehen Index und Grad der
> > Körpererweiterung in Beziehung?
> Das kannst du fast raten, zur größeren Untergruppe
> gehört der kleinere Fixkörper.
Ja das habe ich mir auch überlegt, dennoch kann ich ja entweder die große Erweiterung über den Fixkörper betrachten [mm] [L,L^H] [/mm] oder den Fixkörper über den Grundkörper [mm] [L^H, [/mm] K]
Intuitiv hätte ich gesagt, dass folgende Gleichheit gilt [mm] (G:L^H)=[L^H,K] [/mm] aber ich könnte es nicht begründen warum
> Gruß
> Dieter
M.f.G Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:14 Mo 09.02.2015 | | Autor: | Hias |
Ok hab es doch noch herausfinden können.
Es ist natürlich genau andersherum es gilt [mm] (G:H)=[L,L^H]
[/mm]
Sollte das doch nicht stimmen bitte ich um Info :D
schönen Tag noch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 Mo 09.02.2015 | | Autor: | Hias |
Ok scheinbar ist auch das falsch. Scheinbar gilt doch [mm] (G:H)=[L^H,K]
[/mm]
Weiß das jemand und könnte es bestätigen oder korregieren?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Mo 09.02.2015 | | Autor: | statler |
> Ok hab es doch noch herausfinden können.
> Es ist natürlich genau andersherum es gilt [mm](G:H)=[L,L^H][/mm]
>
> Sollte das doch nicht stimmen bitte ich um Info :D
> schönen Tag noch
Wenn es so wäre, würde doch, wenn H größer würde, die linke Seite kleiner und die rechte Seite größer werden 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Mo 09.02.2015 | | Autor: | Hias |
Ja das kam mir auch vor ich glaube in der nächsten Mitteilung habe ich dann geschrieben, dass ich denke, dass [mm] [L^H,K]=(G:H) [/mm] gelten sollte das würde zumindest von den Größenverhältnissen passen ^^
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