Galoische Erweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Do 23.02.2012 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Sei L= [mm] \IQ(i, \sqrt3, \wurzel[3]{3}) [/mm] eine Erweiterung über [mm] \IQ
[/mm]
Begründen sie warum f galoissch ist. |
Hallo zusammen,
ich beginne mal mit der Lösung...
Alsooo ich habe schon herausgefunden, dass die Erweiterung endlich ist, da sie Grad 12 hat.
Sie ist galoissch, weil L Zerfällungskörper eines separablen Polynoms aus [mm] \IQ [/mm] ist.
Mein Problem: Ich finde das Polynom nicht....Hier müsste mir wer helfen.
Das Polynom hat wohl die Nullstellen i, [mm] \sqrt3 [/mm] und [mm] \wurzel[3]{3} [/mm] oder Kombinationen daraus. Aber ich komm einfach net drauf -.-
Danke schomal
Gruß
Tina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Do 23.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Sei L= [mm]\IQ(i, \sqrt3, \wurzel[3]{3})[/mm] eine Erweiterung über
> [mm]\IQ[/mm]
hab grad keine Zeit, aber evtl. macht's das einfacher: $L = [mm] \IQ(i, \sqrt[6]{3})$.
[/mm]
Falls das galoissch über [mm] $\IQ$ [/mm] ist, muss also eine primitive sechste Einheitswurzel in $L$ enthalten sein. Schreib so eine mal explizit hin, in der Form $x + i y$ mit $x, y [mm] \in \IR$. [/mm] Kannst du $x$ und $y$ moeglichst schoen schreiben?
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Fr 24.02.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, das Minimalpolynom von [mm] \wurzel[3]{3} [/mm] ist [mm] x^{3}-3. [/mm] Und hat die Nullstellen [mm] \wurzel[3]{3} \zeta, \wurzel[3]{3} [/mm] und [mm] \zeta^{2} \wurzel[3]{3}, [/mm] wobei [mm] \zeta [/mm] die dritte Einheitswurzel ist. Also hast du bei der Aufgabenstellung zu zeigen, dass [mm] \IQ(i,\wurzel{3},\wurzel[3]{3}) [/mm] = [mm] \IQ(\zeta,\wurzel{3},\wurzel[3]{3}) [/mm] ist. Naja ganz einfach [mm] \bruch{2}{3}\pi [/mm] entsprechen 120° und cos(120°) + isin(120°) = -0,5 + 0,5 i [mm] \wurzel{3}. [/mm] Und damit hast dus schon (naja etwas ausführlicher sollte man es schon schreiben)... Denn dann ist [mm] \IQ(i,\wurzel{3},\wurzel[3]{3}) [/mm] = [mm] \IQ(\zeta,\wurzel{3},\wurzel[3]{3}) [/mm] der Zerfällungskörper von f = [mm] (x^2 [/mm] + x + [mm] 1)(x^3-3)(x^2-3) [/mm] in [mm] \IQ[x] [/mm] und da die Nullstellen alle verschieden sind (oder weil die irreduziblen Teiler von f seperabel sind), ist f auch noch separabel also ist die Körpererweiterung galoissch.
Gruß
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