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| Aufgabe | Aufgabe Es Sei K [mm] \subseteq [/mm] L ein Galoische Körpererweiterung mit
[mm] Gal(L|K)\cong \IZ/\IZ_{4} [/mm] x [mm] \IZ/\IZ_{4}:Wieviele [/mm] echte Zwischenkörper hat diese Erweiterung ? |
Sooo [mm] \IZ/\IZ_{4} [/mm] x [mm] \IZ/\IZ_{4} [/mm] hat die Ordnung 16 und nun möchte ich die Anzahl der Untergruppe bestimmen ,dass sie 1-1 übertragbar zu Zwischenkörper ist.
Nun habe ich mir die Lösung der Aufgabe angeschaut und da steht:
Es gibt 3*3-2=7 nicht triviale Untergruppe von [mm] \IZ/\IZ_{4} [/mm] x [mm] \IZ/\IZ_{4} [/mm]
Nun weiß ich nicht wie man darauf ,bzw mit welchen Satz hier benutzt.
Dass einzige was mir nach meinem Wissen offen bleibt sind die p-sylowgruppe ,
Sei [mm] G=\IZ/\IZ_{4} [/mm] x [mm] \IZ/\IZ_{4} [/mm] => [mm] G=16=2^4
[/mm]
nachdem 2-sylowgruppe gilt [mm] a_{2}=1 [/mm] (mod 2)( a muss ungerade ) anderers seits ist [mm] a_{2} [/mm] ein teiler von [mm] 2^4 [/mm] => [mm] a_{2}=1 [/mm] also hat es mir nicht geholfen.
gehe ich nach allen teiler von 16 (Lagrange), dann haben wir 2 ,4,6,8 ingesamt
4 ugs
ich hoffe ihr könnt mir helfen
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 So 10.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Aufgabe Es Sei K [mm]\subseteq[/mm] L ein Galoische
> Körpererweiterung mit
>
> [mm]Gal(L|K)\cong \IZ/\IZ_{4}[/mm] x [mm]\IZ/\IZ_{4}:Wieviele[/mm] echte
> Zwischenkörper hat diese Erweiterung ?
> Sooo [mm]\IZ/\IZ_{4}[/mm] x [mm]\IZ/\IZ_{4}[/mm] hat die Ordnung 16 und nun
> möchte ich die Anzahl der Untergruppe bestimmen ,dass sie
> 1-1 übertragbar zu Zwischenkörper ist.
>
> Nun habe ich mir die Lösung der Aufgabe angeschaut und da
> steht:
>
> Es gibt 3*3-2=7 nicht triviale Untergruppe von [mm]\IZ/\IZ_{4}[/mm]
> x [mm]\IZ/\IZ_{4}[/mm]
Tja, und das ist falsch...
Ich vermute, derjenige der das schrieb meinte folgendes: [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] hat drei Untergruppen (und zwar die von den Restklassen von 0, 1 und 2 erzeugten). Deswegen hat man in [mm] $\IZ/4\IZ \times \IZ/4\IZ$ [/mm] genau $3 [mm] \cdot [/mm] 3 = 9$ Untergruppen von der Form [mm] $U_1 \times U_2$, [/mm] wobei [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] jeweils Untergruppen von [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] sind. Von den neun Untergruppen sind zwei trivial (naemlich fuer [mm] $U_1 [/mm] = [mm] U_2 [/mm] = [mm] \{ 0 \}$ [/mm] und [mm] $U_1 [/mm] = [mm] U_2 [/mm] = [mm] \IZ/4\IZ$), [/mm] also bleien $9 - 2 = 7$ Untergruppen uebrig.
Das Problem ist: nicht jede Untergruppe ist von der Form [mm] $U_1 \times U_2$, [/mm] z.B. die von $(1, 1)$ erzeugte Untergruppe (die vier Elemente hat und zyklisch ist). Es gibt also schonmal mindestens acht nicht-triviale Untergruppen. Und es koennen durchaus mehr sein! (Zumindest ist es nicht klar, warum das dann alle waeren.)
> Nun weiß ich nicht wie man darauf ,bzw mit welchen Satz
> hier benutzt.
Hier ist es etwas muehsam, da die Gruppe nicht isomorph zu [mm] $\IZ/p\IZ \times \dots \times \IZ/p\IZ$ [/mm] ist mit einer Primzahl $p$ (wenn das so waere, waere die Gruppe (nicht-kanonisch) isomorph zu einem $n$-dimensionalen Vektorraum ueber dem Koerper [mm] $\IZ/p\IZ$, [/mm] und die Untergruppen entsprechen den Untervektorraeumen; damit koenntest du mit Hilfsmitteln der linearen Algebra alle UVRe zaehlen).
Du wirst hier nicht drumherumkommen, etwas mehr Arbeit zu investieren. Zuerst kannst du die zyklischen Untergruppen anschauen. Du wirst sehen, dass es 1 Element der Ordnung 1, 3 Elemente der Ordnung 2, und $16 - 4 = 12$ Elemente der Ordnung 4 gibt. Damit gibt es $1 + 3 + 12/2 = 10$ zyklische Untergruppen von $G = [mm] \IZ/4\IZ \times \IZ/4\IZ$.
[/mm]
Jetzt schau dir die Untergruppen mit Exponenten 2 an: neben den drei zyklischen (die von Elementen der Ordnung 2 erzeugt werden) gibt es nur noch die Untergruppe [mm] $2\IZ/4\IZ \times 2\IZ/4\IZ$. [/mm] Alle anderen Untergruppen (die nicht [mm] $\{ e \}$ [/mm] sind) enthalten also ein Element der Ordnung 4. Jetzt musst du dir ueberlegen, wie solche Untergruppen aussehen koennen. Da du die zyklischen davon schon kennst, solltest du dir anschauen, was passiert, wenn du ein Element zu einer zyklischen Untergruppe hinzufuegst und die kleinste davon erzeugte Untergruppe anschaust. Das ist etwas muehsam, aber nicht allzu schwer.
Danach hast du hoffentlich alle Untergruppen gefunden.
> Dass einzige was mir nach meinem Wissen offen bleibt sind
> die p-sylowgruppe ,
Die sind langweilig, da die Gruppenordnung eine Primzahlpotenz ist.
> Sei [mm]G=\IZ/\IZ_{4}[/mm] x [mm]\IZ/\IZ_{4}[/mm] => [mm]G=16=2^4[/mm]
>
> nachdem 2-sylowgruppe gilt [mm]a_{2}=1[/mm] (mod 2)( a muss ungerade
> ) anderers seits ist [mm]a_{2}[/mm] ein teiler von [mm]2^4[/mm] => [mm]a_{2}=1[/mm]
> also hat es mir nicht geholfen.
Genau. Die ganze Gruppe $G$ selber ist die (einzige) $2$-Sylowgruppe in $G$.
> gehe ich nach allen teiler von 16 (Lagrange), dann haben
> wir 2 ,4,6,8 ingesamt
> 4 ugs
Elementordnungen koennen effektiv nur 1, 2 und 4 sein. Dies liegt daran, dass $G$ das direkte Produkt zweier Gruppen der Ordnung 4 ist.
LG Felix
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Danke felix für dein langen beitrag ,zu dieser idee bin ich auch letztendlich gekommen nachdem ich auch die UG's gebildet habe und hatte dann auch zweifel an der Lösung .
Könntest du mir sagen ,dass die hier aufgelistet UG's alle von G sind:
UG's mit Ordnung 2 : <(2,0)>,<(0,2)>,<(2,2)> ,
<(2,0)(0,2)>
Also 4 UG's mit Ordnung 2
UG's mit Ordnung 4 : <(0,1)> <(0,1)> <(1,1)> <(1,3)> <(3,1)>
<(0,3)> <(0,3)> <(1,2)> <(2,1)>
<(2,3)> <(3,2)>
Ich komme auf 15 echte UG's ,wäre dies korrekt ,oder gibt noch andere die ich übersehen habe.
LG ismail
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 Mo 11.02.2013 | | Autor: | Decehakan |
ist erledigt ,dass müsste die UG's sein
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Mo 11.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin ismail!
> Danke felix für dein langen beitrag ,zu dieser idee bin
> ich auch letztendlich gekommen nachdem ich auch die UG's
> gebildet habe und hatte dann auch zweifel an der Lösung .
>
> Könntest du mir sagen ,dass die hier aufgelistet UG's alle
> von G sind:
>
> UG's mit Ordnung 2 : <(2,0)>,<(0,2)>,<(2,2)> ,
> <(2,0)(0,2)>
Die letzte Untergruppe hat Ordnung 4. Es sind aber alle nicht-trivialen Untergruppen mit Exponent 2 (also Untergruppen $U$ mit $2 [mm] \cdot [/mm] g = e$ fuer alle $g [mm] \in [/mm] U$ -- in additiver Schreibweise).
> Also 4 UG's mit Ordnung 2
>
> UG's mit Ordnung 4 : <(0,1)> <(0,1)> <(1,1)> <(1,3)>
Das erste soll vermutlich [mm] $\langle [/mm] (1, 0) [mm] \rangle$ [/mm] sein?
> <(3,1)>
> <(0,3)> <(0,3)> <(1,2)> <(2,1)>
> <(2,3)> <(3,2)>
Und $(3, 0)$ anstelle dem einen $(0, 3)$?
Du hast einmal $(3, 3)$ in der Liste vergessen - wenn du alle Elemente der Ordnung 4 auflisten willst. Wenn du Untergruppen anschaust, die zyklisch der Ordnung 4 sind, dann sind das zwar alle, aber du hast mehrere doppelt. Zum Beispiel ist $3 [mm] \cdot [/mm] (0, 3) = (0, 1)$, womit [mm] $\langle [/mm] (0, 3) [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] (0, 1) [mm] \rangle$ [/mm] ist.
Jetzt gibt es aber auch noch Untergruppen mit 8 Elementen; diese muessen neben zwei (zueinander inversen) Elementen der Ordnung 4 auch noch etwas anderes enthalten. Ueberlege dir, dass sie alle drei Elemente der Ordnung 2 enthalten muessen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Mo 11.02.2013 | | Autor: | Decehakan |
ok danke für alles ,hab die sachen erst jetzt so ganz verstanden 
LG decehakan
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