Galoisgruppe bestimmen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Di 02.09.2014 | | Autor: | Lysin |
| Aufgabe | | Bestimme [mm] Gal(x^6-2). [/mm] |
Hallo!
Ich möchte obige Galoisgruppe bestimmen und habe folgenden Ansatz:
Die Nullstellenmenge ist zunächst: [mm] {a,-a,a\epsilon,-a\epsilon,a\epsilon^2,-a\epsilon^2}, [/mm] mit [mm] a=\wurzel[6]{2} [/mm] und [mm] \epsilon=e^{2pi*i/3}
[/mm]
Stimmt das bisher?
Als Zerfällungskörper erhalte ich dann: [mm] \IQ(a,\epsilon)
[/mm]
Ist das bisher ricntig?
Die Minimalpolynome sind [mm] m_a(x)=x^6-2 [/mm] und [mm] m_\epsilon(x)=x^2+x+1
[/mm]
Daraus ergibt sich der Grad der Körpererweiterung von [mm] \IQ\subset\IQ(a,\epsilon):
[/mm]
[mm] [\IQ(a,\epsilon):\IQ]=6*2=12
[/mm]
Ist das richtig?
Jetzt gilt doch dass die Körpererweiterung endlich, normal und separabel ist und es sich um eine Galoiserweiterung handelt, sodass [mm] gilt:|Gal(f)|=[\IQ(a,\epsilon):\IQ]=12
[/mm]
Stimmt das?
Das heißt die Galoisgruppe mit 12 Elementen ist isomorph zu einer Untergruppe von [mm] S_6 [/mm] (satz aus der Vorlesung). Kann man hier noch mehr sagen?
Was mich etwas verwirrt ist folgendes:
Für ein [mm] \sigma [/mm] aus Gal(f) gilt ja:
[mm] \sigma(a)\in {a,-a,a\epsilon,-a\epsilon,a\epsilon^2,-a\epsilon^2}
[/mm]
[mm] \sigma(\epsilon) \in {\epsilon,-\epsilon,\epsilon^2,-\epsilon^2}
[/mm]
Das ergibt aber 24 Kombinationsmöglichkeiten? Dürften hier nicht nur 12 rauskommen?
Ich wäre über eine Aufklärung dankbar.
Ich würde mich über eure Antworten freuen. Die Frage könnte eine Prüfungsfrage werden :-/
Grüße Lysin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Di 02.09.2014 | | Autor: | hippias |
> Bestimme [mm]Gal(x^6-2).[/mm]
> Hallo!
> Ich möchte obige Galoisgruppe bestimmen und habe
> folgenden Ansatz:
> Die Nullstellenmenge ist zunächst:
> [mm]{a,-a,a\epsilon,-a\epsilon,a\epsilon^2,-a\epsilon^2},[/mm] mit
> [mm]a=\wurzel[6]{2}[/mm] und [mm]\epsilon=e^{2pi*i/3}[/mm]
> Stimmt das bisher?
Ja.
> Als Zerfällungskörper erhalte ich dann: [mm]\IQ(a,\epsilon)[/mm]
> Ist das bisher ricntig?
Ja.
> Die Minimalpolynome sind [mm]m_a(x)=x^6-2[/mm] und
> [mm]m_\epsilon(x)=x^2+x+1[/mm]
> Daraus ergibt sich der Grad der Körpererweiterung von
> [mm]\IQ\subset\IQ(a,\epsilon):[/mm]
> [mm][\IQ(a,\epsilon):\IQ]=6*2=12[/mm]
> Ist das richtig?
Ja; sollte aber naeher begruendet werden, weil die Dimension auch kleiner als das Produkt sein koennte.
> Jetzt gilt doch dass die Körpererweiterung endlich,
> normal und separabel ist und es sich um eine
> Galoiserweiterung handelt, sodass
> [mm]gilt:|Gal(f)|=[\IQ(a,\epsilon):\IQ]=12[/mm]
> Stimmt das?
Ja. Aber generell koenntest Du Deine Ergebnisse versuchen zu begruenden.
> Das heißt die Galoisgruppe mit 12 Elementen ist isomorph
> zu einer Untergruppe von [mm]S_6[/mm] (satz aus der Vorlesung). Kann
> man hier noch mehr sagen?
Klar, warum nicht...
>
> Was mich etwas verwirrt ist folgendes:
> Für ein [mm]\sigma[/mm] aus Gal(f) gilt ja:
> [mm]\sigma(a)\in {a,-a,a\epsilon,-a\epsilon,a\epsilon^2,-a\epsilon^2}[/mm]
>
> [mm]\sigma(\epsilon) \in {\epsilon,-\epsilon,\epsilon^2,-\epsilon^2}[/mm]
>
> Das ergibt aber 24 Kombinationsmöglichkeiten? Dürften
> hier nicht nur 12 rauskommen?
> Ich wäre über eine Aufklärung dankbar.
Es sind nicht alle Kombinationsmoeglichkeiten mit der Eigenschaft Homomorphismus zu sein vereinbar. Allgemein gilt (nur), dass Nullstellen auf Nullstellen abgebildet werden und davon haben wir $6$.
>
> Ich würde mich über eure Antworten freuen. Die Frage
> könnte eine Prüfungsfrage werden :-/
>
> Grüße Lysin
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Di 02.09.2014 | | Autor: | Lysin |
Hallo Hippias!
Danke für deine Antwort!
> > Bestimme [mm]Gal(x^6-2).[/mm]
> > Hallo!
> > Ich möchte obige Galoisgruppe bestimmen und habe
> > folgenden Ansatz:
> > Die Nullstellenmenge ist zunächst:
> > [mm]{a,-a,a\epsilon,-a\epsilon,a\epsilon^2,-a\epsilon^2},[/mm] mit
> > [mm]a=\wurzel[6]{2}[/mm] und [mm]\epsilon=e^{2pi*i/3}[/mm]
> > Stimmt das bisher?
> Ja.
> > Als Zerfällungskörper erhalte ich dann:
> [mm]\IQ(a,\epsilon)[/mm]
> > Ist das bisher ricntig?
> Ja.
> > Die Minimalpolynome sind [mm]m_a(x)=x^6-2[/mm] und
> > [mm]m_\epsilon(x)=x^2+x+1[/mm]
> > Daraus ergibt sich der Grad der Körpererweiterung von
> > [mm]\IQ\subset\IQ(a,\epsilon):[/mm]
> > [mm][\IQ(a,\epsilon):\IQ]=6*2=12[/mm]
> > Ist das richtig?
> Ja; sollte aber naeher begruendet werden, weil die
> Dimension auch kleiner als das Produkt sein koennte.
Warum kann hier die Dimension kleiner werden? Nach der Gradformel gilt doch gerade, dass
[mm] [\IQ(a,\epsilon):\IQ]=[\IQ(a,\epsilon):\IQ(a)]*[\IQ(a):\IQ] [/mm] und für [mm] K\subset [/mm] L gilt [mm] dim_K [/mm] L:=[L:K]
> > Jetzt gilt doch dass die Körpererweiterung endlich,
> > normal und separabel ist und es sich um eine
> > Galoiserweiterung handelt, sodass
> > [mm]gilt:|Gal(f)|=[\IQ(a,\epsilon):\IQ]=12[/mm]
> > Stimmt das?
> Ja. Aber generell koenntest Du Deine Ergebnisse versuchen
> zu begruenden.
> > Das heißt die Galoisgruppe mit 12 Elementen ist
> isomorph
> > zu einer Untergruppe von [mm]S_6[/mm] (satz aus der Vorlesung). Kann
> > man hier noch mehr sagen?
> Klar, warum nicht...
Was kann man hier mehr zeigen? Wie kann ich zeigen, dass meine Galoisgruppe zu einer bestimmten Untergruppe von [mm] S_6 [/mm] isomorph ist. Ich meine, wie kann man die Untergruppe bestimmen, zu der meine Galoisgruppe isomorph ist? Könntest du das etwas ausführlicher erklären?
> >
> > Was mich etwas verwirrt ist folgendes:
> > Für ein [mm]\sigma[/mm] aus Gal(f) gilt ja:
> > [mm]\sigma(a)\in {a,-a,a\epsilon,-a\epsilon,a\epsilon^2,-a\epsilon^2}[/mm]
>
> >
> > [mm]\sigma(\epsilon) \in {\epsilon,-\epsilon,\epsilon^2,-\epsilon^2}[/mm]
>
> >
> > Das ergibt aber 24 Kombinationsmöglichkeiten? Dürften
> > hier nicht nur 12 rauskommen?
> > Ich wäre über eine Aufklärung dankbar.
> Es sind nicht alle Kombinationsmoeglichkeiten mit der
> Eigenschaft Homomorphismus zu sein vereinbar. Allgemein
> gilt (nur), dass Nullstellen auf Nullstellen abgebildet
> werden und davon haben wir [mm]6[/mm].
Kannst du mir hier zeigen,welche Kombinationsmöglichkeit kein Homomorphismus ist? Ich sehe es nicht...
> >
> > Ich würde mich über eure Antworten freuen. Die Frage
> > könnte eine Prüfungsfrage werden :-/
> >
> > Grüße Lysin
>
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Hallo,
> Hallo Hippias!
> Danke für deine Antwort!
>
> > > Bestimme [mm]Gal(x^6-2).[/mm]
> > > Hallo!
> > > Ich möchte obige Galoisgruppe bestimmen und habe
> > > folgenden Ansatz:
> > > Die Nullstellenmenge ist zunächst:
> > > [mm]{a,-a,a\epsilon,-a\epsilon,a\epsilon^2,-a\epsilon^2},[/mm] mit
> > > [mm]a=\wurzel[6]{2}[/mm] und [mm]\epsilon=e^{2pi*i/3}[/mm]
Wieso /3?
Wieso nicht /6?
> > > Stimmt das bisher?
> > Ja.
> > > Als Zerfällungskörper erhalte ich dann:
> > [mm]\IQ(a,\epsilon)[/mm]
> > > Ist das bisher ricntig?
> > Ja.
> > > Die Minimalpolynome sind [mm]m_a(x)=x^6-2[/mm] und
> > > [mm]m_\epsilon(x)=x^2+x+1[/mm]
> > > Daraus ergibt sich der Grad der Körpererweiterung
> von
> > > [mm]\IQ\subset\IQ(a,\epsilon):[/mm]
> > > [mm][\IQ(a,\epsilon):\IQ]=6*2=12[/mm]
> > > Ist das richtig?
> > Ja; sollte aber naeher begruendet werden, weil die
> > Dimension auch kleiner als das Produkt sein koennte.
>
> Warum kann hier die Dimension kleiner werden? Nach der
> Gradformel gilt doch gerade, dass
>
> [mm][\IQ(a,\epsilon):\IQ]=[\IQ(a,\epsilon):\IQ(a)]*[\IQ(a):\IQ][/mm]
> und für [mm]K\subset[/mm] L gilt [mm]dim_K[/mm] L:=[L:K]
Und warum ist das gerade $6 [mm] \cdot [/mm] 2$?
>
> > > Jetzt gilt doch dass die Körpererweiterung endlich,
> > > normal und separabel ist und es sich um eine
> > > Galoiserweiterung handelt, sodass
> > > [mm]gilt:|Gal(f)|=[\IQ(a,\epsilon):\IQ]=12[/mm]
> > > Stimmt das?
> > Ja. Aber generell koenntest Du Deine Ergebnisse
> versuchen
> > zu begruenden.
> > > Das heißt die Galoisgruppe mit 12 Elementen ist
> > isomorph
> > > zu einer Untergruppe von [mm]S_6[/mm] (satz aus der Vorlesung). Kann
> > > man hier noch mehr sagen?
> > Klar, warum nicht...
>
> Was kann man hier mehr zeigen?
Man kann die Gruppe hier konkret angeben, bzw. ihren Isomorphietyp.
I.d.R. schaut man sich die Permutationen der Nullstellen an und pickt sich dir Homomorphismen raus. U.U. gewürzt mit etwas Gruppentheorie.
> Wie kann ich zeigen, dass
> meine Galoisgruppe zu einer bestimmten Untergruppe von [mm]S_6[/mm]
> isomorph ist. Ich meine, wie kann man die Untergruppe
> bestimmen, zu der meine Galoisgruppe isomorph ist?
Wieso willst du das tun? Wozu die Einbettung in die symmetrische Gruppe?
> Könntest du das etwas ausführlicher erklären?
Es gibt kein allgemeines Rezept die Galoisgruppe zu bestimmen.
>
> > >
> > > Was mich etwas verwirrt ist folgendes:
> > > Für ein [mm]\sigma[/mm] aus Gal(f) gilt ja:
> > > [mm]\sigma(a)\in {a,-a,a\epsilon,-a\epsilon,a\epsilon^2,-a\epsilon^2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\sigma(\epsilon) \in {\epsilon,-\epsilon,\epsilon^2,-\epsilon^2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Das ergibt aber 24 Kombinationsmöglichkeiten? Dürften
> > > hier nicht nur 12 rauskommen?
> > > Ich wäre über eine Aufklärung dankbar.
> > Es sind nicht alle Kombinationsmoeglichkeiten mit der
> > Eigenschaft Homomorphismus zu sein vereinbar. Allgemein
> > gilt (nur), dass Nullstellen auf Nullstellen abgebildet
> > werden und davon haben wir [mm]6[/mm].
>
> Kannst du mir hier zeigen,welche Kombinationsmöglichkeit
> kein Homomorphismus ist? Ich sehe es nicht...
Lies dir doch nochmal den letzten Satz vom hippias durch.
Dagegen verstößt du.
> > >
> > > Ich würde mich über eure Antworten freuen. Die Frage
> > > könnte eine Prüfungsfrage werden :-/
> > >
> > > Grüße Lysin
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Di 02.09.2014 | | Autor: | Lysin |
Hallo!
Danke auch dir für deine Antwort!
> Hallo,
>
> > Hallo Hippias!
> > Danke für deine Antwort!
> >
> > > > Bestimme [mm]Gal(x^6-2).[/mm]
> > > > Hallo!
> > > > Ich möchte obige Galoisgruppe bestimmen und habe
> > > > folgenden Ansatz:
> > > > Die Nullstellenmenge ist zunächst:
> > > > [mm]{a,-a,a\epsilon,-a\epsilon,a\epsilon^2,-a\epsilon^2},[/mm] mit
> > > > [mm]a=\wurzel[6]{2}[/mm] und [mm]\epsilon=e^{2pi*i/3}[/mm]
> Wieso /3?
> Wieso nicht /6?
Oh hier muss 6 hin. Habe es mkt einen Beispiel versucht durchzuarbeiten und da ging es mit 3.
> > > > Stimmt das bisher?
> > > Ja.
> > > > Als Zerfällungskörper erhalte ich dann:
> > > [mm]\IQ(a,\epsilon)[/mm]
> > > > Ist das bisher ricntig?
> > > Ja.
> > > > Die Minimalpolynome sind [mm]m_a(x)=x^6-2[/mm] und
> > > > [mm]m_\epsilon(x)=x^2+x+1[/mm]
> > > > Daraus ergibt sich der Grad der
> Körpererweiterung
> > von
> > > > [mm]\IQ\subset\IQ(a,\epsilon):[/mm]
> > > > [mm][\IQ(a,\epsilon):\IQ]=6*2=12[/mm]
> > > > Ist das richtig?
> > > Ja; sollte aber naeher begruendet werden, weil die
> > > Dimension auch kleiner als das Produkt sein koennte.
> >
> > Warum kann hier die Dimension kleiner werden? Nach der
> > Gradformel gilt doch gerade, dass
> >
> > [mm][\IQ(a,\epsilon):\IQ]=[\IQ(a,\epsilon):\IQ(a)]*[\IQ(a):\IQ][/mm]
> > und für [mm]K\subset[/mm] L gilt [mm]dim_K[/mm] L:=[L:K]
> Und warum ist das gerade [mm]6 \cdot 2[/mm]?
Weil doch die Grade den Graden der Minimalpolynome entsprechen.
> >
> > > > Jetzt gilt doch dass die Körpererweiterung endlich,
> > > > normal und separabel ist und es sich um eine
> > > > Galoiserweiterung handelt, sodass
> > > > [mm]gilt:|Gal(f)|=[\IQ(a,\epsilon):\IQ]=12[/mm]
> > > > Stimmt das?
> > > Ja. Aber generell koenntest Du Deine Ergebnisse
> > versuchen
> > > zu begruenden.
> > > > Das heißt die Galoisgruppe mit 12 Elementen ist
> > > isomorph
> > > > zu einer Untergruppe von [mm]S_6[/mm] (satz aus der Vorlesung). Kann
> > > > man hier noch mehr sagen?
> > > Klar, warum nicht...
> >
> > Was kann man hier mehr zeigen?
> Man kann die Gruppe hier konkret angeben, bzw. ihren
> Isomorphietyp.
> I.d.R. schaut man sich die Permutationen der Nullstellen
> an und pickt sich dir Homomorphismen raus. U.U. gewürzt
> mit etwas Gruppentheorie.
Genau dass ist mein Frage, wie man da vor geht. Ich habe mal versucht, nach einem Beispiel aus der Vorlesung vorzugehen. Ich hoffe das ist nicht totaler Quatsch. Meinst du sowas:
Nehme [mm] \sigma(a)=-a\epsilon [/mm] und [mm] \sigma(\epsilon)=-\epsilon
[/mm]
[mm] \sigma(a) =-a\epsilon
[/mm]
[mm] \sigma(-a\epsilon)=-a\epsilon^2
[/mm]
[mm] \sigma(-a\epsilon^2)=-a
[/mm]
[mm] \sigma(-a)=a\epsilon
[/mm]
[mm] \sigma(a\epsilon)=a\epsilon^2
[/mm]
[mm] \sigma(a\epsilon^2)=a
[/mm]
[mm] \sigma(a)=-a\epsilon
[/mm]
Es handelt sich nun um einen 6-Zyklus oder sehe ich das falsch? [mm] \sigma [/mm] operiert doch jetzt transitiv auf den 6 Nullstellen?
> > Wie kann ich zeigen, dass
> > meine Galoisgruppe zu einer bestimmten Untergruppe von [mm]S_6[/mm]
> > isomorph ist. Ich meine, wie kann man die Untergruppe
> > bestimmen, zu der meine Galoisgruppe isomorph ist?
> Wieso willst du das tun? Wozu die Einbettung in die
> symmetrische Gruppe?
> > Könntest du das etwas ausführlicher erklären?
> Es gibt kein allgemeines Rezept die Galoisgruppe zu
> bestimmen.
> >
> > > >
> > > > Was mich etwas verwirrt ist folgendes:
> > > > Für ein [mm]\sigma[/mm] aus Gal(f) gilt ja:
> > > > [mm]\sigma(a)\in {a,-a,a\epsilon,-a\epsilon,a\epsilon^2,-a\epsilon^2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]\sigma(\epsilon) \in {\epsilon,-\epsilon,\epsilon^2,-\epsilon^2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Das ergibt aber 24 Kombinationsmöglichkeiten? Dürften
> > > > hier nicht nur 12 rauskommen?
> > > > Ich wäre über eine Aufklärung dankbar.
> > > Es sind nicht alle Kombinationsmoeglichkeiten mit
> der
> > > Eigenschaft Homomorphismus zu sein vereinbar. Allgemein
> > > gilt (nur), dass Nullstellen auf Nullstellen abgebildet
> > > werden und davon haben wir [mm]6[/mm].
> >
> > Kannst du mir hier zeigen,welche Kombinationsmöglichkeit
> > kein Homomorphismus ist? Ich sehe es nicht...
> Lies dir doch nochmal den letzten Satz vom hippias durch.
> Dagegen verstößt du.
>
> > > >
> > > > Ich würde mich über eure Antworten freuen. Die Frage
> > > > könnte eine Prüfungsfrage werden :-/
> > > >
> > > > Grüße Lysin
> > >
>
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> Hallo!
> Danke auch dir für deine Antwort!
>
> > Hallo,
> >
> > > Hallo Hippias!
> > > Danke für deine Antwort!
> > >
> > > > > Bestimme [mm]Gal(x^6-2).[/mm]
> > > > > Hallo!
> > > > > Ich möchte obige Galoisgruppe bestimmen und
> habe
> > > > > folgenden Ansatz:
> > > > > Die Nullstellenmenge ist zunächst:
> > > > > [mm]{a,-a,a\epsilon,-a\epsilon,a\epsilon^2,-a\epsilon^2},[/mm] mit
> > > > > [mm]a=\wurzel[6]{2}[/mm] und [mm]\epsilon=e^{2pi*i/3}[/mm]
> > Wieso /3?
> > Wieso nicht /6?
>
> Oh hier muss 6 hin. Habe es mkt einen Beispiel versucht
> durchzuarbeiten und da ging es mit 3.
Es ist ja nicht falsch so wie du es geschrieben hast. Es ist nur deutlich schöner mit einer 6.EW.
> > > > > Stimmt das bisher?
> > > > Ja.
> > > > > Als Zerfällungskörper erhalte ich dann:
> > > > [mm]\IQ(a,\epsilon)[/mm]
> > > > > Ist das bisher ricntig?
> > > > Ja.
> > > > > Die Minimalpolynome sind [mm]m_a(x)=x^6-2[/mm] und
> > > > > [mm]m_\epsilon(x)=x^2+x+1[/mm]
> > > > > Daraus ergibt sich der Grad der
> > Körpererweiterung
> > > von
> > > > > [mm]\IQ\subset\IQ(a,\epsilon):[/mm]
> > > > > [mm][\IQ(a,\epsilon):\IQ]=6*2=12[/mm]
> > > > > Ist das richtig?
> > > > Ja; sollte aber naeher begruendet werden, weil
> die
> > > > Dimension auch kleiner als das Produkt sein koennte.
> > >
> > > Warum kann hier die Dimension kleiner werden? Nach der
> > > Gradformel gilt doch gerade, dass
> > >
> > > [mm][\IQ(a,\epsilon):\IQ]=[\IQ(a,\epsilon):\IQ(a)]*[\IQ(a):\IQ][/mm]
> > > und für [mm]K\subset[/mm] L gilt [mm]dim_K[/mm] L:=[L:K]
> > Und warum ist das gerade [mm]6 \cdot 2[/mm]?
>
> Weil doch die Grade den Graden der Minimalpolynome
> entsprechen.
Es denn wirklich [mm] $x^2-x+1$ [/mm] das Minimalpolynom von [mm] $\epsilon$ [/mm] über [mm] $\mathbb [/mm] Q (a)$?
> > >
> > > > > Jetzt gilt doch dass die Körpererweiterung endlich,
> > > > > normal und separabel ist und es sich um eine
> > > > > Galoiserweiterung handelt, sodass
> > > > > [mm]gilt:|Gal(f)|=[\IQ(a,\epsilon):\IQ]=12[/mm]
> > > > > Stimmt das?
> > > > Ja. Aber generell koenntest Du Deine Ergebnisse
> > > versuchen
> > > > zu begruenden.
> > > > > Das heißt die Galoisgruppe mit 12 Elementen
> ist
> > > > isomorph
> > > > > zu einer Untergruppe von [mm]S_6[/mm] (satz aus der Vorlesung). Kann
> > > > > man hier noch mehr sagen?
> > > > Klar, warum nicht...
> > >
> > > Was kann man hier mehr zeigen?
> > Man kann die Gruppe hier konkret angeben, bzw. ihren
> > Isomorphietyp.
> > I.d.R. schaut man sich die Permutationen der
> Nullstellen
> > an und pickt sich dir Homomorphismen raus. U.U. gewürzt
> > mit etwas Gruppentheorie.
>
> Genau dass ist mein Frage, wie man da vor geht. Ich habe
> mal versucht, nach einem Beispiel aus der Vorlesung
> vorzugehen. Ich hoffe das ist nicht totaler Quatsch. Meinst
> du sowas:
> Nehme [mm]\sigma(a)=-a\epsilon[/mm] und [mm]\sigma(\epsilon)=-\epsilon[/mm]
>
> [mm]\sigma(a) =-a\epsilon[/mm]
> [mm]\sigma(-a\epsilon)=-a\epsilon^2[/mm]
> [mm]\sigma(-a\epsilon^2)=-a[/mm]
> [mm]\sigma(-a)=a\epsilon[/mm]
> [mm]\sigma(a\epsilon)=a\epsilon^2[/mm]
> [mm]\sigma(a\epsilon^2)=a[/mm]
> [mm]\sigma(a)=-a\epsilon[/mm]
>
> Es handelt sich nun um einen 6-Zyklus oder sehe ich das
> falsch? [mm]\sigma[/mm] operiert doch jetzt transitiv auf den 6
> Nullstellen?
Ja, und was bringt das?
Wie schon erwähnt, ich sehe keinen Sinn darin zwanghaft die Galoisgruppe in [mm] $S_6$ [/mm] einbetten zu wollen.
Such doch ernstmal die 12 Elemente der Galoisgruppe raus.
Es ist eines der Elemente der Galoisgruppe.
Damit auch die Potenzen davon. Bestimm doch zuerst mal diese.
Dann schau wieviele Homomorphismen noch fehlen und suche diese.
> > > Wie kann ich zeigen, dass
> > > meine Galoisgruppe zu einer bestimmten Untergruppe von [mm]S_6[/mm]
> > > isomorph ist. Ich meine, wie kann man die Untergruppe
> > > bestimmen, zu der meine Galoisgruppe isomorph ist?
> > Wieso willst du das tun? Wozu die Einbettung in die
> > symmetrische Gruppe?
> > > Könntest du das etwas ausführlicher erklären?
> > Es gibt kein allgemeines Rezept die Galoisgruppe zu
> > bestimmen.
> > >
> > > > >
> > > > > Was mich etwas verwirrt ist folgendes:
> > > > > Für ein [mm]\sigma[/mm] aus Gal(f) gilt ja:
> > > > > [mm]\sigma(a)\in {a,-a,a\epsilon,-a\epsilon,a\epsilon^2,-a\epsilon^2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > [mm]\sigma(\epsilon) \in {\epsilon,-\epsilon,\epsilon^2,-\epsilon^2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Das ergibt aber 24 Kombinationsmöglichkeiten? Dürften
> > > > > hier nicht nur 12 rauskommen?
> > > > > Ich wäre über eine Aufklärung dankbar.
> > > > Es sind nicht alle Kombinationsmoeglichkeiten mit
> > der
> > > > Eigenschaft Homomorphismus zu sein vereinbar. Allgemein
> > > > gilt (nur), dass Nullstellen auf Nullstellen abgebildet
> > > > werden und davon haben wir [mm]6[/mm].
> > >
> > > Kannst du mir hier zeigen,welche Kombinationsmöglichkeit
> > > kein Homomorphismus ist? Ich sehe es nicht...
> > Lies dir doch nochmal den letzten Satz vom hippias
> durch.
> > Dagegen verstößt du.
> >
> > > > >
> > > > > Ich würde mich über eure Antworten freuen. Die Frage
> > > > > könnte eine Prüfungsfrage werden :-/
> > > > >
> > > > > Grüße Lysin
> > > >
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Di 02.09.2014 | | Autor: | Lysin |
> > Hallo!
> > Danke auch dir für deine Antwort!
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > > Hallo Hippias!
> > > > Danke für deine Antwort!
> > > >
> > > > > > Bestimme [mm]Gal(x^6-2).[/mm]
> > > > > > Hallo!
> > > > > > Ich möchte obige Galoisgruppe bestimmen
> und
> > habe
> > > > > > folgenden Ansatz:
> > > > > > Die Nullstellenmenge ist zunächst:
> > > > > > [mm]{a,-a,a\epsilon,-a\epsilon,a\epsilon^2,-a\epsilon^2},[/mm] mit
> > > > > > [mm]a=\wurzel[6]{2}[/mm] und [mm]\epsilon=e^{2pi*i/3}[/mm]
> > > Wieso /3?
> > > Wieso nicht /6?
> >
> > Oh hier muss 6 hin. Habe es mkt einen Beispiel versucht
> > durchzuarbeiten und da ging es mit 3.
> Es ist ja nicht falsch so wie du es geschrieben hast. Es
> ist nur deutlich schöner mit einer 6.EW.
> > > > > > Stimmt das bisher?
> > > > > Ja.
> > > > > > Als Zerfällungskörper erhalte ich dann:
> > > > > [mm]\IQ(a,\epsilon)[/mm]
> > > > > > Ist das bisher ricntig?
> > > > > Ja.
> > > > > > Die Minimalpolynome sind [mm]m_a(x)=x^6-2[/mm] und
> > > > > > [mm]m_\epsilon(x)=x^2+x+1[/mm]
> > > > > > Daraus ergibt sich der Grad der
> > > Körpererweiterung
> > > > von
> > > > > > [mm]\IQ\subset\IQ(a,\epsilon):[/mm]
> > > > > > [mm][\IQ(a,\epsilon):\IQ]=6*2=12[/mm]
> > > > > > Ist das richtig?
> > > > > Ja; sollte aber naeher begruendet werden, weil
> > die
> > > > > Dimension auch kleiner als das Produkt sein koennte.
> > > >
> > > > Warum kann hier die Dimension kleiner werden? Nach der
> > > > Gradformel gilt doch gerade, dass
> > > >
> > > > [mm][\IQ(a,\epsilon):\IQ]=[\IQ(a,\epsilon):\IQ(a)]*[\IQ(a):\IQ][/mm]
> > > > und für [mm]K\subset[/mm] L gilt [mm]dim_K[/mm] L:=[L:K]
> > > Und warum ist das gerade [mm]6 \cdot 2[/mm]?
> >
> > Weil doch die Grade den Graden der Minimalpolynome
> > entsprechen.
> Es denn wirklich [mm]x^2-x+1[/mm] das Minimalpolynom von [mm]\epsilon[/mm]
> über [mm]\mathbb Q (a)[/mm]?
> > > >
> > > > > > Jetzt gilt doch dass die Körpererweiterung endlich,
> > > > > > normal und separabel ist und es sich um eine
> > > > > > Galoiserweiterung handelt, sodass
> > > > > > [mm]gilt:|Gal(f)|=[\IQ(a,\epsilon):\IQ]=12[/mm]
> > > > > > Stimmt das?
> > > > > Ja. Aber generell koenntest Du Deine
> Ergebnisse
> > > > versuchen
> > > > > zu begruenden.
> > > > > > Das heißt die Galoisgruppe mit 12
> Elementen
> > ist
> > > > > isomorph
> > > > > > zu einer Untergruppe von [mm]S_6[/mm] (satz aus der Vorlesung). Kann
> > > > > > man hier noch mehr sagen?
> > > > > Klar, warum nicht...
> > > >
> > > > Was kann man hier mehr zeigen?
> > > Man kann die Gruppe hier konkret angeben, bzw. ihren
> > > Isomorphietyp.
> > > I.d.R. schaut man sich die Permutationen der
> > Nullstellen
> > > an und pickt sich dir Homomorphismen raus. U.U. gewürzt
> > > mit etwas Gruppentheorie.
> >
> > Genau dass ist mein Frage, wie man da vor geht. Ich habe
> > mal versucht, nach einem Beispiel aus der Vorlesung
> > vorzugehen. Ich hoffe das ist nicht totaler Quatsch. Meinst
> > du sowas:
> > Nehme [mm]\sigma(a)=-a\epsilon[/mm] und
> [mm]\sigma(\epsilon)=-\epsilon[/mm]
> >
> > [mm]\sigma(a) =-a\epsilon[/mm]
> >
> [mm]\sigma(-a\epsilon)=-a\epsilon^2[/mm]
> > [mm]\sigma(-a\epsilon^2)=-a[/mm]
> > [mm]\sigma(-a)=a\epsilon[/mm]
> > [mm]\sigma(a\epsilon)=a\epsilon^2[/mm]
> > [mm]\sigma(a\epsilon^2)=a[/mm]
> > [mm]\sigma(a)=-a\epsilon[/mm]
> >
> > Es handelt sich nun um einen 6-Zyklus oder sehe ich das
> > falsch? [mm]\sigma[/mm] operiert doch jetzt transitiv auf den 6
> > Nullstellen?
> Ja, und was bringt das?
> Wie schon erwähnt, ich sehe keinen Sinn darin zwanghaft
> die Galoisgruppe in [mm]S_6[/mm] einbetten zu wollen.
> Such doch ernstmal die 12 Elemente der Galoisgruppe raus.
> Es ist eines der Elemente der Galoisgruppe.
> Damit auch die Potenzen davon. Bestimm doch zuerst mal
> diese.
> Dann schau wieviele Homomorphismen noch fehlen und suche
> diese.
Also nehme jetzt: [mm] \tau(a)=a, \tau(\epsilon)=-\epsilon, \sigma(a)=-a\epsilon, \sigma(\epsilon)=\epsilon,
[/mm]
Dann potenziere ich:
[mm] \tau(a)=a
[/mm]
[mm] \tau(a)^2=a=id
[/mm]
[mm] \tau(\epsilon)=-\epsilon
[/mm]
[mm] \tau^2(\epsilon)=\epsilon=id
[/mm]
[mm] \sigma(a)=-a\epsilon
[/mm]
[mm] \sigma(a)^2=a\epsilon^2
[/mm]
....
[mm] \sigma(a)^6=a=id
[/mm]
[mm] \sigma(\epsilon)^6=\epsilon=id
[/mm]
Wenn jetzt [mm] (\sigma\tau)^2=id [/mm] gelten würde, wären doch Elemente der Galoisgruppe:
[mm] {e,\sigma, \sigma^2, \sigma^3,...,\sigma^5, \sigma\tau, \sigma^2\tau, \sigma^3\tau,...,\sigma^5\tau} [/mm]
..und das sind alle 12.
Leider kommt bei mir [mm] (\sigma\tau)^2(a)=-a\epsilon^2 [/mm] und nicht id heraus :-(
Wäre es sonst zu [mm] D_6 [/mm] isomorph? Oder fehlen noch Elemente?
Geht das so?
> > > > Wie kann ich zeigen, dass
> > > > meine Galoisgruppe zu einer bestimmten Untergruppe von [mm]S_6[/mm]
> > > > isomorph ist. Ich meine, wie kann man die Untergruppe
> > > > bestimmen, zu der meine Galoisgruppe isomorph ist?
> > > Wieso willst du das tun? Wozu die Einbettung in die
> > > symmetrische Gruppe?
> > > > Könntest du das etwas ausführlicher erklären?
> > > Es gibt kein allgemeines Rezept die Galoisgruppe zu
> > > bestimmen.
> > > >
> > > > > >
> > > > > > Was mich etwas verwirrt ist folgendes:
> > > > > > Für ein [mm]\sigma[/mm] aus Gal(f) gilt ja:
> > > > > > [mm]\sigma(a)\in {a,-a,a\epsilon,-a\epsilon,a\epsilon^2,-a\epsilon^2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > [mm]\sigma(\epsilon) \in {\epsilon,-\epsilon,\epsilon^2,-\epsilon^2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Das ergibt aber 24 Kombinationsmöglichkeiten? Dürften
> > > > > > hier nicht nur 12 rauskommen?
> > > > > > Ich wäre über eine Aufklärung dankbar.
> > > > > Es sind nicht alle Kombinationsmoeglichkeiten
> mit
> > > der
> > > > > Eigenschaft Homomorphismus zu sein vereinbar. Allgemein
> > > > > gilt (nur), dass Nullstellen auf Nullstellen abgebildet
> > > > > werden und davon haben wir [mm]6[/mm].
> > > >
> > > > Kannst du mir hier zeigen,welche Kombinationsmöglichkeit
> > > > kein Homomorphismus ist? Ich sehe es nicht...
> > > Lies dir doch nochmal den letzten Satz vom hippias
> > durch.
> > > Dagegen verstößt du.
> > >
> > > > > >
> > > > > > Ich würde mich über eure Antworten freuen. Die Frage
> > > > > > könnte eine Prüfungsfrage werden :-/
> > > > > >
> > > > > > Grüße Lysin
> > > > >
> > >
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> > > Hallo!
> > > Danke auch dir für deine Antwort!
> > >
> Dann potenziere ich:
> [mm]\tau(a)=a[/mm]
> [mm]\tau(a)^2=a=id[/mm]
> [mm]\tau(\epsilon)=-\epsilon[/mm]
> [mm]\tau^2(\epsilon)=\epsilon=id[/mm]
Das =id ist Unsinn. a ist eine komplexe Zahl und kann damit keine Abbildung sein.
> [mm]\sigma(a)=-a\epsilon[/mm]
> [mm]\sigma(a)^2=a\epsilon^2[/mm]
> ....
> [mm]\sigma(a)^6=a=id[/mm]
> [mm]\sigma(\epsilon)^6=\epsilon=id[/mm]
Was ist denn [mm] $\tau(\epsilon [/mm] ^3)$? Darf das sein?
(Je nach Sichtweise ist das Problem hier, dass du nicht Nullstellen- vom Min.pol - auf Nullstellen abbildest, oder dass es eigentlich 6. Wurzeln sein sollte. )
> Wenn jetzt [mm](\sigma\tau)^2=id[/mm] gelten würde, wären doch
> Elemente der Galoisgruppe:
> [mm]{e,\sigma, \sigma^2, \sigma^3,...,\sigma^5, \sigma\tau, \sigma^2\tau, \sigma^3\tau,...,\sigma^5\tau}[/mm]
> ..und das sind alle 12.
Ich zähle hier 11. (Die Pünktchen für ein Element sind relativ sinnfrei.)
Es fehlt [mm] $\tau$ [/mm] in der Auflistung.
> Leider kommt bei mir [mm](\sigma\tau)^2(a)=-a\epsilon^2[/mm] und
> nicht id heraus :-(
> Wäre es sonst zu [mm]D_6[/mm] isomorph? Oder fehlen noch
> Elemente?
> Geht das so?
Prinzipiell ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mi 03.09.2014 | | Autor: | Lysin |
Hallo MaslanyFanclub!
Danke für deine Antwort!
Nach dem Durcheinander habe ich mal ne Nacht drüber geschlafen.
Also:
[mm] f(x)=x^6-2
[/mm]
Nullstellen sind mit [mm] a=\wurzel[6]{2} [/mm] und [mm] \epsilon=e^{\bruch{2\pi*i}{6}}
[/mm]
[mm] a,-a,a\epsilon ,-a\epsilon,\epsilon^2a,-\epsilon^2a,
[/mm]
Der Zerfällungskörper ist: [mm] \IQ(a,\epsilon)
[/mm]
Minimalpolynome sind:
[mm] m_a (x)=x^6-2 [/mm] und [mm] m_\epsilon (x)=x^2-x+1
[/mm]
Aus der Gradformel ergibt sich:
[mm] [\IQ(a,e): \IQ]=6*2=12
[/mm]
Es handelt sich um eine Galoiserweiterung, denn:
Sie ist endlich, algebraisch, separabel [mm] (char\IQ=0, [/mm] Minimalpolynome sind irreduzibel zu algebraischen Elementen a und [mm] \epsilon), [/mm] normal [mm] (\IQ(a,\epsilon) [/mm] ist Zerfällungskörper von f)
Es folgt: [mm] [\IQ(a,e): \IQ]=12=|Gal(f)|
[/mm]
Für ein [mm] \sigma \in [/mm] Gal(f) gilt: [mm] \sigma(a) \in [/mm] {a, -a, [mm] a\epsilon, -a\epsilon, \epsilon^2a, -\epsilon^2 [/mm] a} und [mm] \sigma(\epsilon) \in [/mm] { [mm] \epsilon, -\epsilon, \epsilon^2, -\epsilon^2 [/mm] }
So ist das zunächst richtig bis hier hin?
Es stellt sich nun die Frage: Für welche Kombinationsmöglichkeiten gilt, dass Nullstellen auf Nullstellen abgebildet werden?
Nehme [mm] \tau [/mm] und [mm] \sigma [/mm] aus Gal(f) mit
[mm] \tau(a)=a, \tau(\epsilon)=\epsilon, \sigma(a)=-\epsilon [/mm] a, [mm] \sigma(\epsilon)=-\epsilon
[/mm]
Potenziere
[mm] \tau(a)=a
[/mm]
[mm] \tau^2(a)=a
[/mm]
[mm] \tau(\epsilon)=\epsilon
[/mm]
[mm] \tau^2(\epsilon)=\epsilon
[/mm]
[mm] \tau^2=id
[/mm]
[mm] \sigma(a)=-a\epsilon
[/mm]
[mm] \sigma^2(a)=-a\epsilon^2
[/mm]
[mm] \sigma^3(a)=-a
[/mm]
[mm] \sigma^4(a)=a\epsilon
[/mm]
[mm] \sigma^5(a)=\epsilon^2a
[/mm]
[mm] \sigma^6(a)=a
[/mm]
[mm] \sigma(\epsilon)=-\epsilon
[/mm]
[mm] \sigma(\epsilon)^2=\epsilon
[/mm]
[mm] \sigma(\epsilon^3)=-\epsilon
[/mm]
[mm] \sigma(\epsilon)^4=\epsilon
[/mm]
[mm] \sigma(\epsilon)^5=-\epsilon
[/mm]
[mm] \sigma(\epsilon)^5=\epsilon
[/mm]
[mm] \sigma^6=id
[/mm]
Wenn noch [mm] (\sigma\tau)^2=id, [/mm] gilt ist [mm] Gal(x^6-2) [/mm] isomorph zu [mm] D_6. [/mm]
Leider kommt bei mir raus
[mm] (\sigma\tau)^2=\epsilon^2a \ne [/mm] a
Wäre denn [mm] Gal(x^6-2)\cong D_6 [/mm] richtig?
Wenn das so wäre, sind folgende 12 Elemente in der Galoisgruppe:
[mm] {e,\sigma, \sigma^2, \sigma^3, \sigma^4, \sigma^5, \tau, \sigma\tau, \sigma^2\tau, \sigma^3\tau, \sigma^4\tau, \sigma^5\tau}
[/mm]
Viele Grüße
Lysin
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> Hallo MaslanyFanclub!
> Danke für deine Antwort!
> Nach dem Durcheinander habe ich mal ne Nacht drüber
> geschlafen.
> Also:
> [mm]f(x)=x^6-2[/mm]
> Nullstellen sind mit [mm]a=\wurzel[6]{2}[/mm] und
> [mm]\epsilon=e^{\bruch{2\pi*i}{6}}[/mm]
> [mm]a,-a,a\epsilon ,-a\epsilon,\epsilon^2a,-\epsilon^2a[/mm]
Ich finde folgende Darstellung deutlich anschaulicher:
[mm] $a,a\epsilon ,a\epsilon^2,a\epsilon^3,a\epsilon^4, a\epsilon^5 [/mm] $
> Der Zerfällungskörper ist: [mm]\IQ(a,\epsilon)[/mm]
> Minimalpolynome sind:
> [mm]m_a (x)=x^6-2[/mm] und [mm]m_\epsilon (x)=x^2-x+1[/mm]
>
> Aus der Gradformel ergibt sich:
> [mm][\IQ(a,e): \IQ]=6*2=12[/mm]
Wie bereits angesprochen: Minimalpolynome über welchen Körpern?
Genaugenommen sind z.B. [mm] $x^2+1 \in \mathbb [/mm] Q[X]$ und [mm] $x^2+1 \in \mathbb [/mm] C[X]$ (eines ist irreduzibel, das andere nicht) verschiedene Polynome. Auch ist [mm] $x^2+1 \in \mathbb [/mm] Q[X]$ das Min.pol. von i über den rationalen Zahlen, wohingegen $X-i$ das Min.pol über den komplexen Zahlen ist.
Min.pol. ohne den Grundkörper anzugeben ist daher ziemlich sinnfrei.
>
> Es handelt sich um eine Galoiserweiterung, denn:
> Sie ist endlich, algebraisch, separabel [mm](char\IQ=0,[/mm]
> Minimalpolynome sind irreduzibel zu algebraischen Elementen
> a und [mm]\epsilon),[/mm] normal [mm](\IQ(a,\epsilon)[/mm] ist
> Zerfällungskörper von f)
> Es folgt: [mm][\IQ(a,e): \IQ]=12=|Gal(f)|[/mm]
>
> Für ein [mm]\sigma \in[/mm] Gal(f) gilt: [mm]\sigma(a) \in \{ a, -a,
> a\epsilon, -a\epsilon, \epsilon^2a, -\epsilon^2a \}[/mm] und
> [mm]\sigma(\epsilon) \in \{ \epsilon, -\epsilon, \epsilon^2, -\epsilon^2\} [/mm]
> So ist das zunächst richtig bis hier hin?
Es passt bis auf das $ [mm] \sigma(\epsilon)$. [/mm] Die Bildmenge ist viel zu groß.
> Es stellt sich nun die Frage: Für welche
> Kombinationsmöglichkeiten gilt, dass Nullstellen auf
> Nullstellen abgebildet werden?
>
> Nehme [mm]\tau[/mm] und [mm]\sigma[/mm] aus Gal(f) mit
> [mm]\tau(a)=a, \tau(\epsilon)=\epsilon, \sigma(a)=-\epsilon[/mm] a,
> [mm]\sigma(\epsilon)=-\epsilon[/mm]
Also [mm] $\tau=id$?
[/mm]
> Potenziere
> [mm]\tau(a)=a[/mm]
> [mm]\tau^2(a)=a[/mm]
> [mm]\tau(\epsilon)=\epsilon[/mm]
> [mm]\tau^2(\epsilon)=\epsilon[/mm]
> [mm]\tau^2=id[/mm]
>
> [mm]\sigma(a)=-a\epsilon[/mm]
> [mm]\sigma^2(a)=-a\epsilon^2[/mm]
> [mm]\sigma^3(a)=-a[/mm]
> [mm]\sigma^4(a)=a\epsilon[/mm]
> [mm]\sigma^5(a)=\epsilon^2a[/mm]
> [mm]\sigma^6(a)=a[/mm]
> [mm]\sigma(\epsilon)=-\epsilon[/mm]
> [mm]\sigma(\epsilon)^2=\epsilon[/mm]
> [mm]\sigma(\epsilon^3)=-\epsilon[/mm]
> [mm]\sigma(\epsilon)^4=\epsilon[/mm]
> [mm]\sigma(\epsilon)^5=-\epsilon[/mm]
> [mm]\sigma(\epsilon)^5=\epsilon[/mm]
> [mm]\sigma^6=id[/mm]
>
> Wenn noch [mm](\sigma\tau)^2=id,[/mm] gilt ist [mm]Gal(x^6-2)[/mm] isomorph
> zu [mm]D_6.[/mm]
> Leider kommt bei mir raus
> [mm](\sigma\tau)^2=\epsilon^2a \ne[/mm] a
So wie es dasteht ist es sinnfrei.
Vermutlich willst du [mm] $(\sigma \tau)^2(a)$ [/mm] berechnen, was aber mit obigen Definitionen $- [mm] \epsilon [/mm] ^2 a$ ist.
> Wäre denn [mm]Gal(x^6-2)\cong D_6[/mm] richtig?
Ja.
> Wenn das so wäre, sind folgende 12 Elemente in der
> Galoisgruppe:
> [mm]{e,\sigma, \sigma^2, \sigma^3, \sigma^4, \sigma^5, \tau, \sigma\tau, \sigma^2\tau, \sigma^3\tau, \sigma^4\tau, \sigma^5\tau}[/mm]
>
> Viele Grüße
> Lysin
>
P.S. In [mm] $\LateX$ [/mm] sind geschwungene Klammern Sonderzeichen und daher reserviert.
Man erzeugt die Darstellung geschwungner Klammern mit [mm] $\{$ bzw $\}$ [/mm] (mouse-over für die Befehle)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Mi 03.09.2014 | | Autor: | Lysin |
> > Hallo MaslanyFanclub!
> > Danke für deine Antwort!
> > Nach dem Durcheinander habe ich mal ne Nacht drüber
> > geschlafen.
> > Also:
> > [mm]f(x)=x^6-2[/mm]
> > Nullstellen sind mit [mm]a=\wurzel[6]{2}[/mm] und
> > [mm]\epsilon=e^{\bruch{2\pi*i}{6}}[/mm]
> > [mm]a,-a,a\epsilon ,-a\epsilon,\epsilon^2a,-\epsilon^2a[/mm]
>
> Ich finde folgende Darstellung deutlich anschaulicher:
> [mm]a,a\epsilon ,a\epsilon^2,a\epsilon^3,a\epsilon^4, a\epsilon^5[/mm]
Ja das ist viel anschaulicher!
> > Der Zerfällungskörper ist: [mm]\IQ(a,\epsilon)[/mm]
> > Minimalpolynome sind:
> > [mm]m_a (x)=x^6-2[/mm] und [mm]m_\epsilon (x)=x^2-x+1[/mm]
> >
> > Aus der Gradformel ergibt sich:
> > [mm][\IQ(a,e): \IQ]=6*2=12[/mm]
> Wie bereits angesprochen:
> Minimalpolynome über welchen Körpern?
> Genaugenommen sind z.B. [mm]x^2+1 \in \mathbb Q[X][/mm] und [mm]x^2+1 \in \mathbb C[X][/mm]
> (eines ist irreduzibel, das andere nicht) verschiedene
> Polynome. Auch ist [mm]x^2+1 \in \mathbb Q[X][/mm] das Min.pol. von
> i über den rationalen Zahlen, wohingegen [mm]X-i[/mm] das Min.pol
> über den komplexen Zahlen ist.
> Min.pol. ohne den Grundkörper anzugeben ist daher
> ziemlich sinnfrei.
> >
> > Es handelt sich um eine Galoiserweiterung, denn:
> > Sie ist endlich, algebraisch, separabel [mm](char\IQ=0,[/mm]
> > Minimalpolynome sind irreduzibel zu algebraischen Elementen
> > a und [mm]\epsilon),[/mm] normal [mm](\IQ(a,\epsilon)[/mm] ist
> > Zerfällungskörper von f)
> > Es folgt: [mm][\IQ(a,e): \IQ]=12=|Gal(f)|[/mm]
> >
> > Für ein [mm]\sigma \in[/mm] Gal(f) gilt: [mm]\sigma(a) \in \{ a, -a,
> a\epsilon, -a\epsilon, \epsilon^2a, -\epsilon^2a \}[/mm]
> und
> > [mm]\sigma(\epsilon) \in \{ \epsilon, -\epsilon, \epsilon^2, -\epsilon^2\}[/mm]
>
> > So ist das zunächst richtig bis hier hin?
> Es passt bis auf das [mm]\sigma(\epsilon)[/mm]. Die Bildmenge ist
> viel zu groß.
Mit der anderen Darstellungsform der Nullstellensieht die Bildmenge dann so
[mm] \sigma(\epsilon) \in \{ \epsilon, \epsilon^3} [/mm] aus??
Wenn ich jetzt
[mm] \tau(a)=a\epsilon^3, \tau(\epsilon)=\epsilon, \sigma(a)=a\epsilon, \sigma(\epsilon)=\epsilon^3 [/mm] nehme und wieder potenzieren, dann komme ich auf
[mm] \tau^2=id [/mm] und [mm] \sigma^6=id, [/mm] aber [mm] (\sigma\tau)^2(a)=\epsilon^2a [/mm] :-( ich werd noch verrückt...wie muss ich mein [mm] \sigma [/mm] und [mm] \tau [/mm] wählen?.. ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") Bitte verrat es mir.
> > Es stellt sich nun die Frage: Für welche
> > Kombinationsmöglichkeiten gilt, dass Nullstellen auf
> > Nullstellen abgebildet werden?
> >
> > Nehme [mm]\tau[/mm] und [mm]\sigma[/mm] aus Gal(f) mit
> > [mm]\tau(a)=a, \tau(\epsilon)=\epsilon, \sigma(a)=-\epsilon[/mm]
> a,
> > [mm]\sigma(\epsilon)=-\epsilon[/mm]
> Also [mm]\tau=id[/mm]?
> > Potenziere
> > [mm]\tau(a)=a[/mm]
> > [mm]\tau^2(a)=a[/mm]
> > [mm]\tau(\epsilon)=\epsilon[/mm]
> > [mm]\tau^2(\epsilon)=\epsilon[/mm]
> > [mm]\tau^2=id[/mm]
> >
> > [mm]\sigma(a)=-a\epsilon[/mm]
> > [mm]\sigma^2(a)=-a\epsilon^2[/mm]
> > [mm]\sigma^3(a)=-a[/mm]
> > [mm]\sigma^4(a)=a\epsilon[/mm]
> > [mm]\sigma^5(a)=\epsilon^2a[/mm]
> > [mm]\sigma^6(a)=a[/mm]
> > [mm]\sigma(\epsilon)=-\epsilon[/mm]
> > [mm]\sigma(\epsilon)^2=\epsilon[/mm]
> > [mm]\sigma(\epsilon^3)=-\epsilon[/mm]
> > [mm]\sigma(\epsilon)^4=\epsilon[/mm]
> > [mm]\sigma(\epsilon)^5=-\epsilon[/mm]
> > [mm]\sigma(\epsilon)^5=\epsilon[/mm]
> > [mm]\sigma^6=id[/mm]
> >
> > Wenn noch [mm](\sigma\tau)^2=id,[/mm] gilt ist [mm]Gal(x^6-2)[/mm] isomorph
> > zu [mm]D_6.[/mm]
> > Leider kommt bei mir raus
> > [mm](\sigma\tau)^2=\epsilon^2a \ne[/mm] a
> So wie es dasteht ist es sinnfrei.
> Vermutlich willst du [mm](\sigma \tau)^2(a)[/mm] berechnen, was
> aber mit obigen Definitionen [mm]- \epsilon ^2 a[/mm] ist.
Ja sorry hab das a vergessen :-(
> > Wäre denn [mm]Gal(x^6-2)\cong D_6[/mm] richtig?
> Ja.
> > Wenn das so wäre, sind folgende 12 Elemente in der
> > Galoisgruppe:
> > [mm]{e,\sigma, \sigma^2, \sigma^3, \sigma^4, \sigma^5, \tau, \sigma\tau, \sigma^2\tau, \sigma^3\tau, \sigma^4\tau, \sigma^5\tau}[/mm]
>
> >
> > Viele Grüße
> > Lysin
> >
> P.S. In [mm]\LateX[/mm] sind geschwungene Klammern Sonderzeichen und
> daher reserviert.
> Man erzeugt die Darstellung geschwungner Klammern mit [mm]\{[/mm]
> bzw [mm]\}[/mm] (mouse-over für die Befehle)
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> > > Hallo MaslanyFanclub!
> > > Danke für deine Antwort!
> > > Nach dem Durcheinander habe ich mal ne Nacht drüber
> > > geschlafen.
> > > Also:
> > > [mm]f(x)=x^6-2[/mm]
> > > Nullstellen sind mit [mm]a=\wurzel[6]{2}[/mm] und
> > > [mm]\epsilon=e^{\bruch{2\pi*i}{6}}[/mm]
> > > [mm]a,-a,a\epsilon ,-a\epsilon,\epsilon^2a,-\epsilon^2a[/mm]
>
> >
> > Ich finde folgende Darstellung deutlich anschaulicher:
> > [mm]a,a\epsilon ,a\epsilon^2,a\epsilon^3,a\epsilon^4, a\epsilon^5[/mm]
>
> Ja das ist viel anschaulicher!
>
>
> > > Der Zerfällungskörper ist: [mm]\IQ(a,\epsilon)[/mm]
> > > Minimalpolynome sind:
> > > [mm]m_a (x)=x^6-2[/mm] und [mm]m_\epsilon (x)=x^2-x+1[/mm]
> > >
> > > Aus der Gradformel ergibt sich:
> > > [mm][\IQ(a,e): \IQ]=6*2=12[/mm]
> > Wie bereits angesprochen:
> > Minimalpolynome über welchen Körpern?
> > Genaugenommen sind z.B. [mm]x^2+1 \in \mathbb Q[X][/mm] und
> [mm]x^2+1 \in \mathbb C[X][/mm]
> > (eines ist irreduzibel, das andere nicht) verschiedene
> > Polynome. Auch ist [mm]x^2+1 \in \mathbb Q[X][/mm] das Min.pol. von
> > i über den rationalen Zahlen, wohingegen [mm]X-i[/mm] das Min.pol
> > über den komplexen Zahlen ist.
> > Min.pol. ohne den Grundkörper anzugeben ist daher
> > ziemlich sinnfrei.
> > >
> > > Es handelt sich um eine Galoiserweiterung, denn:
> > > Sie ist endlich, algebraisch, separabel [mm](char\IQ=0,[/mm]
> > > Minimalpolynome sind irreduzibel zu algebraischen Elementen
> > > a und [mm]\epsilon),[/mm] normal [mm](\IQ(a,\epsilon)[/mm] ist
> > > Zerfällungskörper von f)
> > > Es folgt: [mm][\IQ(a,e): \IQ]=12=|Gal(f)|[/mm]
> > >
> > > Für ein [mm]\sigma \in[/mm] Gal(f) gilt: [mm]\sigma(a) \in \{ a, -a,
> a\epsilon, -a\epsilon, \epsilon^2a, -\epsilon^2a \}[/mm]
> > und
> > > [mm]\sigma(\epsilon) \in \{ \epsilon, -\epsilon, \epsilon^2, -\epsilon^2\}[/mm]
> >
> > > So ist das zunächst richtig bis hier hin?
> > Es passt bis auf das [mm]\sigma(\epsilon)[/mm]. Die Bildmenge
> ist
> > viel zu groß.
> Mit der anderen Darstellungsform der Nullstellensieht die
> Bildmenge dann so
> [mm]\sigma(\epsilon) \in \{ \epsilon, \epsilon^3}[/mm] aus??
[mm] $\epsilon^3=-1$ [/mm]
> Wenn ich jetzt
> [mm]\tau(a)=a\epsilon^3, \tau(\epsilon)=\epsilon, \sigma(a)=a\epsilon, \sigma(\epsilon)=\epsilon^3[/mm]
> nehme und wieder potenzieren, dann komme ich auf
> [mm]\tau^2=id[/mm] und [mm]\sigma^6=id,[/mm] aber
> [mm](\sigma\tau)^2(a)=\epsilon^2a[/mm] :-( ich werd noch
> verrückt...wie muss ich mein [mm]\sigma[/mm] und [mm]\tau[/mm] wählen?..
Du solltest dich einfach mal an das halten was jetzt hier bereits mehrfach gesagt wurde:
Nullstellen werden auf Nullstellen abgebildet.
Daran hälst du dich nicht.
Was ist denn die zweite Nullstelle von [mm] $m_\epsilon$?
[/mm]
Oder halt einfach an Einheitswurzeln denken.
Für eine Bijektion auf der Menge der n-ten EW muss eine primitive EW auf eine primitive EW abgebildet werden.
> Bitte verrat es mir.
>
> > > Es stellt sich nun die Frage: Für welche
> > > Kombinationsmöglichkeiten gilt, dass Nullstellen auf
> > > Nullstellen abgebildet werden?
> > >
> > > Nehme [mm]\tau[/mm] und [mm]\sigma[/mm] aus Gal(f) mit
> > > [mm]\tau(a)=a, \tau(\epsilon)=\epsilon, \sigma(a)=-\epsilon[/mm]
> > a,
> > > [mm]\sigma(\epsilon)=-\epsilon[/mm]
> > Also [mm]\tau=id[/mm]?
> > > Potenziere
> > > [mm]\tau(a)=a[/mm]
> > > [mm]\tau^2(a)=a[/mm]
> > > [mm]\tau(\epsilon)=\epsilon[/mm]
> > > [mm]\tau^2(\epsilon)=\epsilon[/mm]
> > > [mm]\tau^2=id[/mm]
> > >
> > > [mm]\sigma(a)=-a\epsilon[/mm]
> > > [mm]\sigma^2(a)=-a\epsilon^2[/mm]
> > > [mm]\sigma^3(a)=-a[/mm]
> > > [mm]\sigma^4(a)=a\epsilon[/mm]
> > > [mm]\sigma^5(a)=\epsilon^2a[/mm]
> > > [mm]\sigma^6(a)=a[/mm]
> > > [mm]\sigma(\epsilon)=-\epsilon[/mm]
> > > [mm]\sigma(\epsilon)^2=\epsilon[/mm]
> > > [mm]\sigma(\epsilon^3)=-\epsilon[/mm]
> > > [mm]\sigma(\epsilon)^4=\epsilon[/mm]
> > > [mm]\sigma(\epsilon)^5=-\epsilon[/mm]
> > > [mm]\sigma(\epsilon)^5=\epsilon[/mm]
> > > [mm]\sigma^6=id[/mm]
> > >
> > > Wenn noch [mm](\sigma\tau)^2=id,[/mm] gilt ist [mm]Gal(x^6-2)[/mm] isomorph
> > > zu [mm]D_6.[/mm]
> > > Leider kommt bei mir raus
> > > [mm](\sigma\tau)^2=\epsilon^2a \ne[/mm] a
> > So wie es dasteht ist es sinnfrei.
> > Vermutlich willst du [mm](\sigma \tau)^2(a)[/mm] berechnen, was
> > aber mit obigen Definitionen [mm]- \epsilon ^2 a[/mm] ist.
> Ja sorry hab das a vergessen :-(
>
>
> > > Wäre denn [mm]Gal(x^6-2)\cong D_6[/mm] richtig?
> > Ja.
> > > Wenn das so wäre, sind folgende 12 Elemente in der
> > > Galoisgruppe:
> > > [mm]{e,\sigma, \sigma^2, \sigma^3, \sigma^4, \sigma^5, \tau, \sigma\tau, \sigma^2\tau, \sigma^3\tau, \sigma^4\tau, \sigma^5\tau}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Viele Grüße
> > > Lysin
> > >
> > P.S. In [mm]\LateX[/mm] sind geschwungene Klammern Sonderzeichen und
> > daher reserviert.
> > Man erzeugt die Darstellung geschwungner Klammern mit
> [mm]\{[/mm]
> > bzw [mm]\}[/mm] (mouse-over für die Befehle)
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Mi 03.09.2014 | | Autor: | Lysin |
> > > > Hallo MaslanyFanclub!
> > > > Danke für deine Antwort!
> > > > Nach dem Durcheinander habe ich mal ne Nacht
> drüber
> > > > geschlafen.
> > > > Also:
> > > > [mm]f(x)=x^6-2[/mm]
> > > > Nullstellen sind mit [mm]a=\wurzel[6]{2}[/mm] und
> > > > [mm]\epsilon=e^{\bruch{2\pi*i}{6}}[/mm]
> > > > [mm]a,-a,a\epsilon ,-a\epsilon,\epsilon^2a,-\epsilon^2a[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ich finde folgende Darstellung deutlich anschaulicher:
> > > [mm]a,a\epsilon ,a\epsilon^2,a\epsilon^3,a\epsilon^4, a\epsilon^5[/mm]
>
> >
> > Ja das ist viel anschaulicher!
> >
> >
> > > > Der Zerfällungskörper ist: [mm]\IQ(a,\epsilon)[/mm]
> > > > Minimalpolynome sind:
> > > > [mm]m_a (x)=x^6-2[/mm] und [mm]m_\epsilon (x)=x^2-x+1[/mm]
> > > >
>
> > > > Aus der Gradformel ergibt sich:
> > > > [mm][\IQ(a,e): \IQ]=6*2=12[/mm]
> > > Wie bereits
> angesprochen:
> > > Minimalpolynome über welchen Körpern?
> > > Genaugenommen sind z.B. [mm]x^2+1 \in \mathbb Q[X][/mm] und
> > [mm]x^2+1 \in \mathbb C[X][/mm]
> > > (eines ist irreduzibel, das andere nicht) verschiedene
> > > Polynome. Auch ist [mm]x^2+1 \in \mathbb Q[X][/mm] das Min.pol. von
> > > i über den rationalen Zahlen, wohingegen [mm]X-i[/mm] das Min.pol
> > > über den komplexen Zahlen ist.
> > > Min.pol. ohne den Grundkörper anzugeben ist daher
> > > ziemlich sinnfrei.
> > > >
> > > > Es handelt sich um eine Galoiserweiterung, denn:
> > > > Sie ist endlich, algebraisch, separabel
> [mm](char\IQ=0,[/mm]
> > > > Minimalpolynome sind irreduzibel zu algebraischen Elementen
> > > > a und [mm]\epsilon),[/mm] normal [mm](\IQ(a,\epsilon)[/mm] ist
> > > > Zerfällungskörper von f)
> > > > Es folgt: [mm][\IQ(a,e): \IQ]=12=|Gal(f)|[/mm]
> > > >
> > > > Für ein [mm]\sigma \in[/mm] Gal(f) gilt: [mm]\sigma(a) \in \{ a, -a,
> a\epsilon, -a\epsilon, \epsilon^2a, -\epsilon^2a \}[/mm]
> > > und
> > > > [mm]\sigma(\epsilon) \in \{ \epsilon, -\epsilon, \epsilon^2, -\epsilon^2\}[/mm]
> > >
> > > > So ist das zunächst richtig bis hier hin?
> > > Es passt bis auf das [mm]\sigma(\epsilon)[/mm]. Die Bildmenge
> > ist
> > > viel zu groß.
> > Mit der anderen Darstellungsform der Nullstellensieht
> die
> > Bildmenge dann so
> > [mm]\sigma(\epsilon) \in \{ \epsilon, \epsilon^3}[/mm] aus??
> [mm]\epsilon^3=-1[/mm]
> > Wenn ich jetzt
> > [mm]\tau(a)=a\epsilon^3, \tau(\epsilon)=\epsilon, \sigma(a)=a\epsilon, \sigma(\epsilon)=\epsilon^3[/mm]
> > nehme und wieder potenzieren, dann komme ich auf
> > [mm]\tau^2=id[/mm] und [mm]\sigma^6=id,[/mm] aber
> > [mm](\sigma\tau)^2(a)=\epsilon^2a[/mm] :-( ich werd noch
> > verrückt...wie muss ich mein [mm]\sigma[/mm] und [mm]\tau[/mm] wählen?..
> Du solltest dich einfach mal an das halten was jetzt hier
> bereits mehrfach gesagt wurde:
> Nullstellen werden auf Nullstellen abgebildet.
> Daran hälst du dich nicht.
> Was ist denn die zweite Nullstelle von [mm]m_\epsilon[/mm]?
ok, die zweite Nullstelle ist [mm] \epsilon^5, [/mm] also ist
[mm] \sigma(\epsilon) \in \{ \epsilon, \epsilon^5}
[/mm]
[mm] \sigma(a) \in {a,a\epsilon ,a\epsilon^2,a\epsilon^3,a\epsilon^4, a\epsilon^5}
[/mm]
Das heißt schon mal [mm] \tau(\epsilon)=\epsilon [/mm] und [mm] \sigma(\epsilon)=\epsilon^5
[/mm]
Wie sieht dann [mm] \tau(a) [/mm] und [mm] \sigma(a) [/mm] aus???
[mm] \tau(a)=a\epsilon^3 [/mm] und [mm] \sigma(a)=a\epsilon [/mm] ??
> Oder halt einfach an Einheitswurzeln denken.
> Für eine Bijektion auf der Menge der n-ten EW muss eine
> primitive EW auf eine primitive EW abgebildet werden.
> > Bitte verrat es mir.
> >
> > > > Es stellt sich nun die Frage: Für welche
> > > > Kombinationsmöglichkeiten gilt, dass Nullstellen auf
> > > > Nullstellen abgebildet werden?
> > > >
> > > > Nehme [mm]\tau[/mm] und [mm]\sigma[/mm] aus Gal(f) mit
> > > > [mm]\tau(a)=a, \tau(\epsilon)=\epsilon, \sigma(a)=-\epsilon[/mm]
> > > a,
> > > > [mm]\sigma(\epsilon)=-\epsilon[/mm]
> > > Also [mm]\tau=id[/mm]?
> > > > Potenziere
> > > > [mm]\tau(a)=a[/mm]
> > > > [mm]\tau^2(a)=a[/mm]
> > > > [mm]\tau(\epsilon)=\epsilon[/mm]
> > > > [mm]\tau^2(\epsilon)=\epsilon[/mm]
> > > > [mm]\tau^2=id[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\sigma(a)=-a\epsilon[/mm]
> > > > [mm]\sigma^2(a)=-a\epsilon^2[/mm]
> > > > [mm]\sigma^3(a)=-a[/mm]
> > > > [mm]\sigma^4(a)=a\epsilon[/mm]
> > > > [mm]\sigma^5(a)=\epsilon^2a[/mm]
> > > > [mm]\sigma^6(a)=a[/mm]
> > > > [mm]\sigma(\epsilon)=-\epsilon[/mm]
> > > > [mm]\sigma(\epsilon)^2=\epsilon[/mm]
> > > > [mm]\sigma(\epsilon^3)=-\epsilon[/mm]
> > > > [mm]\sigma(\epsilon)^4=\epsilon[/mm]
> > > > [mm]\sigma(\epsilon)^5=-\epsilon[/mm]
> > > > [mm]\sigma(\epsilon)^5=\epsilon[/mm]
> > > > [mm]\sigma^6=id[/mm]
> > > >
> > > > Wenn noch [mm](\sigma\tau)^2=id,[/mm] gilt ist [mm]Gal(x^6-2)[/mm] isomorph
> > > > zu [mm]D_6.[/mm]
> > > > Leider kommt bei mir raus
> > > > [mm](\sigma\tau)^2=\epsilon^2a \ne[/mm] a
> > > So wie es dasteht ist es sinnfrei.
> > > Vermutlich willst du [mm](\sigma \tau)^2(a)[/mm] berechnen,
> was
> > > aber mit obigen Definitionen [mm]- \epsilon ^2 a[/mm] ist.
> > Ja sorry hab das a vergessen :-(
> >
> >
> > > > Wäre denn [mm]Gal(x^6-2)\cong D_6[/mm] richtig?
> > > Ja.
> > > > Wenn das so wäre, sind folgende 12 Elemente in
> der
> > > > Galoisgruppe:
> > > > [mm]{e,\sigma, \sigma^2, \sigma^3, \sigma^4, \sigma^5, \tau, \sigma\tau, \sigma^2\tau, \sigma^3\tau, \sigma^4\tau, \sigma^5\tau}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Viele Grüße
> > > > Lysin
> > > >
> > > P.S. In [mm]\LateX[/mm] sind geschwungene Klammern Sonderzeichen und
> > > daher reserviert.
> > > Man erzeugt die Darstellung geschwungner Klammern
> mit
> > [mm]\{[/mm]
> > > bzw [mm]\}[/mm] (mouse-over für die Befehle)
> >
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> > > > > Hallo MaslanyFanclub!
> > > > > Danke für deine Antwort!
> > > > > Nach dem Durcheinander habe ich mal ne Nacht
> > drüber
> > > > > geschlafen.
> > > > > Also:
> > > > > [mm]f(x)=x^6-2[/mm]
> > > > > Nullstellen sind mit [mm]a=\wurzel[6]{2}[/mm] und
> > > > > [mm]\epsilon=e^{\bruch{2\pi*i}{6}}[/mm]
> > > > > [mm]a,-a,a\epsilon ,-a\epsilon,\epsilon^2a,-\epsilon^2a[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Ich finde folgende Darstellung deutlich anschaulicher:
> > > > [mm]a,a\epsilon ,a\epsilon^2,a\epsilon^3,a\epsilon^4, a\epsilon^5[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ja das ist viel anschaulicher!
> > >
> > >
> > > > > Der Zerfällungskörper ist: [mm]\IQ(a,\epsilon)[/mm]
> > > > > Minimalpolynome sind:
> > > > > [mm]m_a (x)=x^6-2[/mm] und [mm]m_\epsilon (x)=x^2-x+1[/mm]
> > >
> > >
> >
> > > > > Aus der Gradformel ergibt sich:
> > > > > [mm][\IQ(a,e): \IQ]=6*2=12[/mm]
> > > > Wie bereits
> > angesprochen:
> > > > Minimalpolynome über welchen Körpern?
> > > > Genaugenommen sind z.B. [mm]x^2+1 \in \mathbb Q[X][/mm]
> und
> > > [mm]x^2+1 \in \mathbb C[X][/mm]
> > > > (eines ist irreduzibel, das andere nicht) verschiedene
> > > > Polynome. Auch ist [mm]x^2+1 \in \mathbb Q[X][/mm] das Min.pol. von
> > > > i über den rationalen Zahlen, wohingegen [mm]X-i[/mm] das Min.pol
> > > > über den komplexen Zahlen ist.
> > > > Min.pol. ohne den Grundkörper anzugeben ist
> daher
> > > > ziemlich sinnfrei.
> > > > >
> > > > > Es handelt sich um eine Galoiserweiterung, denn:
> > > > > Sie ist endlich, algebraisch, separabel
> > [mm](char\IQ=0,[/mm]
> > > > > Minimalpolynome sind irreduzibel zu algebraischen Elementen
> > > > > a und [mm]\epsilon),[/mm] normal [mm](\IQ(a,\epsilon)[/mm] ist
> > > > > Zerfällungskörper von f)
> > > > > Es folgt: [mm][\IQ(a,e): \IQ]=12=|Gal(f)|[/mm]
> > > >
> >
> > > > > Für ein [mm]\sigma \in[/mm] Gal(f) gilt: [mm]\sigma(a) \in \{ a, -a,
> a\epsilon, -a\epsilon, \epsilon^2a, -\epsilon^2a \}[/mm]
> > > > und
> > > > > [mm]\sigma(\epsilon) \in \{ \epsilon, -\epsilon, \epsilon^2, -\epsilon^2\}[/mm]
> > > >
> > > > > So ist das zunächst richtig bis hier hin?
> > > > Es passt bis auf das [mm]\sigma(\epsilon)[/mm]. Die
> Bildmenge
> > > ist
> > > > viel zu groß.
> > > Mit der anderen Darstellungsform der
> Nullstellensieht
> > die
> > > Bildmenge dann so
> > > [mm]\sigma(\epsilon) \in \{ \epsilon, \epsilon^3}[/mm] aus??
> > [mm]\epsilon^3=-1[/mm]
> > > Wenn ich jetzt
> > > [mm]\tau(a)=a\epsilon^3, \tau(\epsilon)=\epsilon, \sigma(a)=a\epsilon, \sigma(\epsilon)=\epsilon^3[/mm]
> > > nehme und wieder potenzieren, dann komme ich auf
> > > [mm]\tau^2=id[/mm] und [mm]\sigma^6=id,[/mm] aber
> > > [mm](\sigma\tau)^2(a)=\epsilon^2a[/mm] :-( ich werd noch
> > > verrückt...wie muss ich mein [mm]\sigma[/mm] und [mm]\tau[/mm] wählen?..
> > Du solltest dich einfach mal an das halten was jetzt hier
> > bereits mehrfach gesagt wurde:
> > Nullstellen werden auf Nullstellen abgebildet.
> > Daran hälst du dich nicht.
> > Was ist denn die zweite Nullstelle von [mm]m_\epsilon[/mm]?
>
> ok, die zweite Nullstelle ist [mm]\epsilon^5,[/mm] also ist
>
> [mm]\sigma(\epsilon) \in \{ \epsilon, \epsilon^5}[/mm]
> [mm]\sigma(a) \in {a,a\epsilon ,a\epsilon^2,a\epsilon^3,a\epsilon^4, a\epsilon^5}[/mm]
>
> Das heißt schon mal [mm]\tau(\epsilon)=\epsilon[/mm] und
> [mm]\sigma(\epsilon)=\epsilon^5[/mm]
> Wie sieht dann [mm]\tau(a)[/mm] und [mm]\sigma(a)[/mm] aus???
> [mm]\tau(a)=a\epsilon^3[/mm] und [mm]\sigma(a)=a\epsilon[/mm] ??
Ich ging davon aus, dass die idee war, dass sigma die Nullstellen des eines Min.pol permutieren soll und tau die des anderen.
Das wäre nämlich hier sinnvoll.
Für die Erzeuger der Diedergruppe (und das ist es was im wesentlichen hier gesucht wird) gibt es einige Möglichkeiten.
> > Oder halt einfach an Einheitswurzeln denken.
> > Für eine Bijektion auf der Menge der n-ten EW muss
> eine
> > primitive EW auf eine primitive EW abgebildet werden.
> > > Bitte verrat es mir.
> > >
> > > > > Es stellt sich nun die Frage: Für welche
> > > > > Kombinationsmöglichkeiten gilt, dass Nullstellen auf
> > > > > Nullstellen abgebildet werden?
> > > > >
> > > > > Nehme [mm]\tau[/mm] und [mm]\sigma[/mm] aus Gal(f) mit
> > > > > [mm]\tau(a)=a, \tau(\epsilon)=\epsilon, \sigma(a)=-\epsilon[/mm]
> > > > a,
> > > > > [mm]\sigma(\epsilon)=-\epsilon[/mm]
> > > > Also [mm]\tau=id[/mm]?
> > > > > Potenziere
> > > > > [mm]\tau(a)=a[/mm]
> > > > > [mm]\tau^2(a)=a[/mm]
> > > > > [mm]\tau(\epsilon)=\epsilon[/mm]
> > > > > [mm]\tau^2(\epsilon)=\epsilon[/mm]
> > > > > [mm]\tau^2=id[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]\sigma(a)=-a\epsilon[/mm]
> > > > > [mm]\sigma^2(a)=-a\epsilon^2[/mm]
> > > > > [mm]\sigma^3(a)=-a[/mm]
> > > > > [mm]\sigma^4(a)=a\epsilon[/mm]
> > > > > [mm]\sigma^5(a)=\epsilon^2a[/mm]
> > > > > [mm]\sigma^6(a)=a[/mm]
> > > > > [mm]\sigma(\epsilon)=-\epsilon[/mm]
> > > > > [mm]\sigma(\epsilon)^2=\epsilon[/mm]
> > > > > [mm]\sigma(\epsilon^3)=-\epsilon[/mm]
> > > > > [mm]\sigma(\epsilon)^4=\epsilon[/mm]
> > > > > [mm]\sigma(\epsilon)^5=-\epsilon[/mm]
> > > > > [mm]\sigma(\epsilon)^5=\epsilon[/mm]
> > > > > [mm]\sigma^6=id[/mm]
> > > > >
> > > > > Wenn noch [mm](\sigma\tau)^2=id,[/mm] gilt ist [mm]Gal(x^6-2)[/mm] isomorph
> > > > > zu [mm]D_6.[/mm]
> > > > > Leider kommt bei mir raus
> > > > > [mm](\sigma\tau)^2=\epsilon^2a \ne[/mm] a
> > > > So wie es dasteht ist es sinnfrei.
> > > > Vermutlich willst du [mm](\sigma \tau)^2(a)[/mm]
> berechnen,
> > was
> > > > aber mit obigen Definitionen [mm]- \epsilon ^2 a[/mm] ist.
> > > Ja sorry hab das a vergessen :-(
> > >
> > >
> > > > > Wäre denn [mm]Gal(x^6-2)\cong D_6[/mm] richtig?
> > > > Ja.
> > > > > Wenn das so wäre, sind folgende 12 Elemente
> in
> > der
> > > > > Galoisgruppe:
> > > > > [mm]{e,\sigma, \sigma^2, \sigma^3, \sigma^4, \sigma^5, \tau, \sigma\tau, \sigma^2\tau, \sigma^3\tau, \sigma^4\tau, \sigma^5\tau}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Viele Grüße
> > > > > Lysin
> > > > >
> > > > P.S. In [mm]\LateX[/mm] sind geschwungene Klammern Sonderzeichen und
> > > > daher reserviert.
> > > > Man erzeugt die Darstellung geschwungner Klammern
> > mit
> > > [mm]\{[/mm]
> > > > bzw [mm]\}[/mm] (mouse-over für die Befehle)
> > >
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