Gamma- und Betafunktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Di 15.05.2007 | | Autor: | doener |
| Aufgabe | | mit hilfe der Gamma- und Betafunktion zeige man, dass [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}(1+x)}dx} [/mm] = [mm] \pi, [/mm] mit der substitution u = [mm] \bruch{1}{(1+x)} [/mm] |
also der anfang klappt ja noch:
u = [mm] \bruch{1}{(1+x)} \gdw [/mm] x = [mm] \bruch{1}{u} [/mm] - 1 [mm] \gdw \bruch{dx}{du} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{u^{2}} \gdw [/mm] dx = [mm] -\bruch{1}{u^{2}}du
[/mm]
die neuen integrationsgrenzen ergeben sich wie folgt aus der beziehung u = [mm] \bruch{1}{1+x}: [/mm] falls x = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] u = 1, falls x= [mm] \infty \Rightarrow [/mm] u = 0.
und somit:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}(1+x)}dx} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{0}{-\bruch{1}{u^{2}}u \bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{u}-1}}du} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{u}\bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{u}-1}} du} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{u^{-1}(\bruch{1}{u}-1)^{-\bruch{1}{2}}du}
[/mm]
das erinnert schon stark an die beta-funktion mit a= 0 und b= [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] aber der bruch im 2. teil stört!! wie macht man das nun?
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Hallo doener!
Formen wir doch die "störende Klammer" mal etwas um zu:
[mm] $u^{-1}*\left(\bruch{1}{u}-1\right)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] u^{-1}*\left(\bruch{1-u}{u}\right)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] u^{-1}*\bruch{(1-u)^{-\bruch{1}{2}}}{u^{-\bruch{1}{2}}} [/mm] \ = \ [mm] u^{-1}*(1-u)^{-\bruch{1}{2}}*u^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] u^{-\bruch{1}{2}}*(1-u)^{-\bruch{1}{2}}$
[/mm]
Kommst Du damit nun weiter mit der Beta-Funktion?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Di 29.05.2007 | | Autor: | doener |
ausgezeichnet! danke!
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