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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 So 10.10.2004 | | Autor: | Blume123 |
Hallo,
ich wollte nochmal allgemein Fragen, wie ich ganzrationale Funktionen bestimmen kann.
Habe auch eine Beispielaufgabe, an der ich euch erklären kann, was ich gerne wissen möchte:
Bestimmen sie eine ganzrationale Funktion 4.Grades so, dass für den Graphen der Funktion gilt: S(0/3) ist Sattelpunkt und im Punkt P(3/0) liegt eine horizontale Tangente vor.
Was ich weiß ist natürlich, dass die Funktion die Form [mm] F(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e [/mm] haben muss und dass man deshalb 5 Bedingungen aufstellen muss...
Jetzt hätte ich gerne von euch gewusst, warum ich welche Bedingung aufstellen muss/kann.
I.: F(0)=3 (wegen dem Sattelpunkt)
II: f(3)= 0 (anderer angegebener Punkt)
Diese beiden Bedingungen hätte ich wohl schon... was kann ich jetzt machen und warum???
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Hallo Blume,
also erstmal... aus diesen beiden Eigenschaften kann man noch viel mehr herauslesen und das ganze machst du deswegen, weil du diese Funktion exakt bestimmen willst und dazu brauchst du Eigenschaften..
Also Fangen wir mal beim Sattelpunkt an:
Der lautet:
S(0/3), daraus kann man ablesen, dass:
Die Funktion natürlich die Koordinaten hat: S(0|3) = f(0)=3 f ist deine Funktion 4. Grades...
so dazu kommt noch, dass die Ableitung an einem Sattelpunkt auch 0 ergeben muss, also:
f'(0)=0
So und dann halt noch, dass die zweite Ableitung 0 ergibt, denn ansonsten wäre es kein Sattelpunkt:
also f''(0)=0
So das kann man daraus lesen also haben wir:
f(0) = 3
f'(0) = 0
f''(0) = 0
So nun das mit der HORIZONTALEN TANGENTE an P(3/0)....
Überleg mal, was man dann über die Funktion 4. Grades sagen kann...
ich hoffe, ich konnte dir einen Denkanstoß geben, aber du sollst auch überlegen!
MfG DerMathematiker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 So 10.10.2004 | | Autor: | Blume123 |
Ja okay... das verstehe ich... aber mit der Tangente komme ich überhaupt nicht klar. Was genau kann das denn aussagen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 So 10.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Blume
ich fände es schon nett, wenn du schon einen so schönen Namen hast, dass du dich auch wie eine Blume benimmst. Nämlich dankbar, dass man dich nicht zertritt und deine Umwelt jeweils nett begrüssend!
Also zu der Frage:
Im Punkt $P(3,0)$ hat die Funktion eine horizontale Tangente heisst doch, dass einerseits gilt:
$f(3)=0$
und andererseits:
$f'(3)=0$
Weil ja die Tangente horizontal sein muss, das heisst, die Steigung $0$ hat.
(Die Tangente hat ja die gleiche Steigung wie die Funktion selber!)
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 So 10.10.2004 | | Autor: | Blume123 |
Hallo...
Sorry, wenn ich gerade vielleicht ein bissel unfreundlich oder so gewirkt habe... aber ich bin ein bissel im Stress, tut mir echt leid.
Was wäre denn wenn ich eine Tangente habe, wo nicht angegeben ist ob sie jetzt horizontal ist o.ä. was könnte ich dann an Bedingungen aufstellen? Nur den Punkt selber oder auch andere?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 So 10.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Blume
> Hallo...
> Sorry, wenn ich gerade vielleicht ein bissel unfreundlich
> oder so gewirkt habe... aber ich bin ein bissel im Stress,
> tut mir echt leid.
>
> Was wäre denn wenn ich eine Tangente habe, wo nicht
> angegeben ist ob sie jetzt horizontal ist o.ä. was könnte
> ich dann an Bedingungen aufstellen? Nur den Punkt selber
> oder auch andere?
>
Da ja eine glatte Funktion immer eine Tangente besitzt, könntest du damit überhaupt nichts anfangen. Etwas Weiteres muss zu der Tangente schon stehen. Zum Beispiel, durch welchen weiteren Punkt diese Tangente geht (dann könntest du zum Beispiel auch die Steigung der Tangente berechnen).
Oder dass sie eine Wendetangente ist (dann muss auch die 2. Ableitung $= 0$ sein)
Ich hoffe, dir helfen diese kleinen Angaben etwas über den Prüfungsstress hinweg. Jedenfalls drücke ich dir die Daumen! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Blume123 |
Hi Paulus, danke erstmal, dass du dich meinem Problem so widmest 
Wie ist das denn wenn ich dann hätte: Die Tangente geht durch den Punkt (2/5) wie kann ich nun diese Angabe in eine Bedingung umformen?
Andere Frage: Die Tangente beschreibt sich als x=1. Was kann ich daran als Bedingung erkennen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Blume
> Hi Paulus, danke erstmal, dass du dich meinem Problem so
> widmest
>
Bitte, das mache ich doch gerne!
> Wie ist das denn wenn ich dann hätte: Die Tangente geht
> durch den Punkt (2/5) wie kann ich nun diese Angabe in eine
> Bedingung umformen?
>
Du meinst damit als zusätzliche Bedingung für die Tangente?
Also etwa so:
Der Funktionsgraf hat im Punkt $(3/1)$ eine Tangente, welche durch den Punkt $(2/5)$ geht.
Damit könntest du ganz einfach die Steigung der Tangente berechnen, denn es gilt ja:
Steigung = [mm] Delta_y/Delta_x
[/mm]
Ich diesem Beispiel also etwa:
[mm] $f'(2)=\bruch{5-1}{2-3}=-4$
[/mm]
(Daneben natürlich auch noch $f(3)=1$)
Es könnte auch so heissen:
Der Funktionsgraf hat im Punkt $(2/5)$ und im Punkt $(3/1)$ eine gemeinsame Tangente.
Hier hättest du gleich $4$ Angaben auf einen Schlag:
Die Tangentensteigung liesse sich wie oben berechnen, und du hättest:
$f(2)=5$
$f(3)=1$
$f'(2)=-4$
$f'(3)=-4$
> Andere Frage: Die Tangente beschreibt sich als x=1. Was
> kann ich daran als Bedingung erkennen?
>
Nun, $x=1$ ist ja eine Gerade parallel zur y-Achse, die Steigung der Funktion müsste also unendlich sein:
[mm] $\limes_{x \to 1} [/mm] f'(x) = [mm] \infty$
[/mm]
Das kann aber bei einem Polynom (einer ganzrationalen Funktion 4. Grades) nie der Fall sein, die Aufgabe hätte dann wohl keine Lösung. Eine ganzrationale Funktion hat in jedem Punkt eine endliche Steigung!
Wäre hingegen eine gebrochen rationale Funktion gesucht, dann wäre dies sehr wohl möglich. Der Nenner müsste dann bei $x=1$ eine Nullstelle aufweisen.
Ich würde mir deswegen aber nicht allzusehr den Kopf zerbrechen, einer solchen Aufgabe wirst du wohl in näherer Zukunft kaum begegnen! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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