Ganzzahlig teilbare Gleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Do 05.10.2006 | | Autor: | Vertex |
| Aufgabe | Für welche n [mm] \in \IN [/mm] ist
n(n+1)(2n+1) durch 6 ganzzahlig teilbar |
Hallo nochmal, heute gehts mit meinen Fragen Schlag auf Schlag...
Mit ein wenig herumprobieren, kommt man recht schnell darauf das die Formel anscheinend für alle n [mm] \in \IN [/mm] ganzzahlig durch 6 teilbar ist.
Das will allerdings bewiesen werden und so mache ich mich also an die vollständige Induktion:
Induktionsanfang mit n=1
1(1+1)(2*1+1) =
1*2*3 = 6
Induktionsschritt auf n+1, es gelte die Induktionsannahme das n(n+1)(2n+1) für alle n [mm] \in \IN [/mm] ganzahlig durch 6 teilbar ist
(n+1)[(n+1)+1][2(n+1)+1]
Ich wills kurz machen...
Nach etwas umformen kommt man nun auf:
n(n+1)(2n+1) + [mm] 6(n+1)^{2}
[/mm]
Soweit so gut. Links vom "+" haben wir laut Induktionsannahme ein vielfaches von 6 und rechts haben wir ebenfalls ein vielfaches von 6 stehen.
Wenn man zwei vielfache von 6 addiert, erhält man ein vielfaches von 6... aber warum? Wie kann ich das mathematisch korrekt begründen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Do 05.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nennen wir die Vielfachen mal m und n
Wir wissen ja, dass m ein Vielfaches von6 ist, es gibt also ein [mm] \overline{m}, [/mm] mit [mm] 6\overline{m}=m
[/mm]
Dasselbe gilt für [mm] 6\overline{n}=n
[/mm]
Jetzt wissen wir, dass
[mm] m+n=6\overline{m}+6\overline{n}=6(\overline{m}+\overline{n}), [/mm] was ja auf jeden Fall ein Vielfaches von 6 ist.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Do 05.10.2006 | | Autor: | Vertex |
Schlicht und einfach!
Vielen Dank!
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