Gauß. Eliminationsverfahren < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Di 19.04.2011 | | Autor: | Balsam |
| Aufgabe | Ich muss anhand dieser Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 & 2\\ 4 & 3 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 }
[/mm]
die Dimension und eine Basis bestimmen. |
Ich weiß das ich jetzt Gauß anwenden muss um im unteren linken Bereich die Nullen zu bekommen = Zeilenstufenform
Könnt ihr mir bitte sagen, welche Zeilen ich subtrahieren bzw. multiplizieren muss, damit ich eine richihtge Matrix herausbekomme.
Ich habe es so versucht, dass ich die 4. von der 2. abziehe
habe dann die Matrix = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 & 2\\ 4 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -1 } [/mm] aber wenn ich weiter rechne dann verliere ich die 0 (in der 1.Zeile,4.Spalte)...
|
|
| |
|
Hallo Balsam,
> Ich muss anhand dieser Matrix
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 & 2\\ 4 & 3 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 }[/mm]
>
> die Dimension und eine Basis bestimmen.
> Ich weiß das ich jetzt Gauß anwenden muss um im unteren
> linken Bereich die Nullen zu bekommen = Zeilenstufenform
>
> Könnt ihr mir bitte sagen, welche Zeilen ich subtrahieren
> bzw. multiplizieren muss, damit ich eine richihtge Matrix
> herausbekomme.
> Ich habe es so versucht, dass ich die 4. von der 2.
> abziehe
> habe dann die Matrix = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 & 2\\ 4 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -1 }[/mm]
> aber wenn ich weiter rechne dann verliere ich die 0 (in der
> 1.Zeile,4.Spalte)...
Zunächst muss Du dafür sorgen, daß Du so eine Matrix erhältst:
[mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & \* & \* & \* \\ 0 & \* & \* & \* \\ 0 & 2 & 1 & -1 }[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Di 19.04.2011 | | Autor: | Balsam |
Ich habe es mal so versucht :
$ [mm] \pmat{ 4 & 8 & 4 & -4 \\ 0 & 5 & 1 & -4 \\ 0 & -5 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & -1 } [/mm] $
leider habe ich auch die erste Zeile verändert :(
Ich bin so vorgegangen, dass ich zuerst die 2.Zeile habe ich mal 2 genommen und die 3.von der 2. abgezogen
danach die 1.Zeile mal 4 und die 3.von der 1 abgezogen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Di 19.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Grundsatzlich sollte man , wenn an der erstn stelle der ersten Zeile etwas steht, erst mal vielfache der ersten Zeile zu allen Zeilen die an der ersten stelle keine 0 haben addieren (oder subtrahieren, die erst Zeile bleibt stehen.
Dann verfährt man mit der 2 ten Zeile entsprechend, stehen lassen und bei allen anderen an der 2 ten stelle ne Null erzeugen, usw.
Wenn man immer so vorgeht, kann nichts schief gehen. Zur erleichterung, kann man die zeile, mit der man grade rechnet immer zuerst so multiplizieren, dass die erste Zahl 1 ist.
Warum du was von der ersten zeile abgezogen hast versteh ich nicht.
bei deiner Matrix
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 & 2\\ 4 & 3 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 } [/mm] $
bietet sich an das doppelte der ersten von der 2 ten , das4fache der ersten von der 3.ten. das doppelte von der 4 ten abzuziehen.
damit hast du die ersten 3 Nullen erzeugt. die erste zeile bleibt stehen.
in der 2 ten Zeile ist die 2 te Stelle jetzt -3 mit deren vielfachen jetzt Nullen an der zweiten Stelle erzeugen. usw.
wenn du deine erste Zeile durch 4 teilst hast du wieder die ursprüngliche.
Man kann natürlich auch durcheinander vorgehen, aber oft sieht man dann nicht mehr durch,
(Wenn es günstiger aussieht kann man natürlich Zeilen vertauschen, wenn es um die Unbekannten (x,y,z,w) geht, die aber mit , manchmal wird dann einfacher.)
Zur Überprüfung und zum einüben empfehl ich dir ![[]](/images/popup.gif) das hier
Aber probier es imer zuerst selbst!
kreuz rechts Gauß- Verfahren an.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Di 19.04.2011 | | Autor: | Balsam |
Danke für die Erklärung
Ich habe nun diese Matrix
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] $
Sehe ich das richihtg, das sie nun die Dimension 4 hat ?
Und wie bestimme ich nun eine Basis ?
|
|
|
| |
|
> Danke für die Erklärung
>
> Ich habe nun diese Matrix
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Sehe ich das richtig, das sie nun die Dimension 4 hat ?
Nein. Als "Dimension" der Matrix könnte man allen-
falls ihr "Format" 4x4 bezeichnen.
Du meinst aber wohl den Rang der Matrix.
Da die letzte Zeile eine Nullzeile ist, hat diese
Matrix in Zeilenstufenform den Rang 3. Der von ihren
Zeilenvektoren aufgespannte Unterraum des [mm] \IR^4 [/mm] hat
die Dimension 3.
> Und wie bestimme ich nun eine Basis ?
Die drei nicht verschwindenden Zeilenvektoren der
obigen Matrix sind unabhängig und bilden deshalb
eine Basis des Zeilenraums der Matrix (und auch
der ursprünglich gegebenen Matrix).
LG
|
|
|
| |
|
Ich wollte noch einmal den Hinweis loswerden.
http://werkzeuge.wieschoo.com/invertmat.php
Verwendest du im Eingabefeld:
4 8 4 -4
0 5 1 -4
0 -5 -1 4
0 2 1 -1
Dann kannst du die linke Seite von den Ausgaben betrachten.
Die letzte angezeigten Schritte im obigen sind Schwachsinn.
|
|
|
|
