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Liebe Leute vom MatheRaum!
Ich habe die ersten anderthalb Wochen im Matheunterricht gefehlt und so den Einstieg in das Gebiet der analytischen Geometrie (genauer: LGS und Gaussverfahren) verpasst.
Jetzt sitze ich im Unterricht (Leistungskurs) und habe Null ahnung. Ich habe hier eine Aufgabe. Vielleicht kann diese jemand lösen und dabei ein paar Kommentare hinterlassen, so dass ich sehe wie das ganze abläuft und worauf geachtet werden muss.
I) 4(x1) - 2(x2) + (1/3)*x3 = 0
II) a(x1) + 6(x2) - x3 = 0
III)5(x1) + 2(x2) + 7(x3) = 4a
Danach soll noch entschieden werden, bei welchen Parameterwerten für a keine, eine oder unendlich viele Lösungen existieren.
Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann.
Liebe Grüße, DerHochpunkt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Do 19.08.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
Durch Addition oder Subrtraktion eines Vielfachen einer Gleichungszeile von einer anderen Gleichungszeile versucht man beim Gaussverfahren, das LGS auf Zeilenstufenform zu bekommen. Das bedeutet:
Ist ein LGS mit drei Unbekannten und drei Gleichungen gegeben, dann besitzt nach dem Anwenden des Gaussverfahrens die letzte Gleichung nur noch eine Variabel, die mittlere zwei und die obere drei.
Nun zu Deiner Aufgabe:
I) [mm] $4x_1 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}x_3 [/mm] = 0$
II) [mm] $ax_1 [/mm] + [mm] 6x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] = 0$
III) [mm] $5x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 7x_3 [/mm] = 4a $
Scharfes Hinsehen läßt erkennen, I + III eleminiert [mm] $x_2$ [/mm] in Gleichung III:
I) [mm] $4x_1 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}x_3 [/mm] = 0$
II) [mm] $ax_1 [/mm] + [mm] 6x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] = 0$
III) [mm] $9x_1 [/mm] + [mm] 0x_2 [/mm] + [mm] (\bruch{1}{3}+7)x_3 [/mm] = 4a $ (I + III)
Das Dreifache von I addiert zu II elemeniert [mm] $x_2, x_3$ [/mm] in II
I) [mm] $4x_1 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}x_3 [/mm] = 0$
II) [mm] $(12+a)x_1 [/mm] + [mm] 0x_2 [/mm] - [mm] 0x_3 [/mm] = 0$ (3I+II)
III) [mm] $9x_1 [/mm] + [mm] 0x_2 [/mm] + [mm] (\bruch{1}{3}+7)x_3 [/mm] = 4a $ (I + III)
Zwischenergebnis:
I) [mm] $4x_1 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}x_3 [/mm] = 0$
II) [mm] $(12+a)x_1 [/mm] = 0$ (3I+II)
III) [mm] $9x_1 [/mm] + [mm] (\bruch{1}{3}+7)x_3 [/mm] = 4a $ (I + III)
Wenn man nun die Gleichungen in Ihrer Reihenfolge vertauscht, erkennt man die berühmte Zeilenstufenform:
I) [mm] $4x_1 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}x_3 [/mm] = 0$
III) [mm] $9x_1 [/mm] + [mm] (\bruch{1}{3}+7)x_3 [/mm] = 4a $
II) [mm] $(12+a)x_1 [/mm] = 0$
und nun kann man lösen:
Wann ist Gleichung II erfüllt????? Wenn [mm] $x_1 [/mm] = 0$ oder $a=-12$.
Unter der Bedingung, dass die Gleichung II erfüllt ist, wann ist Gleichung III erfüllt?
Angenommen [mm] $x_1=0$: [/mm]
III) $9*(0) + [mm] (\bruch{1}{3}+7)x_3 [/mm] = 4a [mm] \gdw x_3 [/mm] = [mm] \bruch{12}{22}a$ [/mm]
Ok, den Rest kann ich Dir erst einmal wieder überlassen, oder?
zu tun: Angenommen $a=-12$ und Lösung für [mm] x_2 [/mm] bestimmen. Dann überlegen, für welche $a$ welche Lösungen existieren könnte.
Gruß,
Stefan
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