Gauß'scher Integralsatz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:45 Do 27.07.2006 | | Autor: | benemaja |
| Aufgabe | Man berechne [mm] $\integral{\integral_A{ F } dA}$ [/mm] mittels des Integralsatzes von Gauß:
F = (xz+ (x³/3)) [mm] e_{x} [/mm] + 2ze^(xy) [mm] e_{y} [/mm] + (zy² -(z²/2) xz²e^(xy) [mm] e_{z}
[/mm]
(das Fettgedruckte stellt Vektoren dar)
Mit A1: z = (x² + y²)^(0,5) , 0 <=z <= 2^(0,5)
A2: x² + y² <= 2 , z = 2^(0,5)
A = A1 [mm] \cup [/mm] A2
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Hallo!
Die Aufgabe wollte ich wie folgt lösen:
Ich habe zuerst (div F) berechnet und wollte dann das dreifachintegral auftsllen.
[mm] \integral_{0}^{ \wurzel{2}}{ \integral_{0}^{2 \pi}{ \integral_{0}^{r}{r³ dz} dphi} dr}
[/mm]
Jedoch komme ich hiermit immer auf ein falsches Ergebnis. Wenn ich jedoch zuerst nach r integriere, dann den Winkel und dann nach z integriere (mit den Grenzen 0 <= z <= [mm] \wuzel(2) [/mm] ; 0<= phi <= 2 [mm] \pi [/mm] ; 0<= r <= z, erhalte ich die lösung: ((2 [mm] \pi)/5) *\wurzel(2)
[/mm]
Woran kann das liegen? Es muss doch egal sein, ob ich zuerst nach r und dann nach z integriere. Entweder ich integriere nach r mit einer abhängigen Grenze nach z, oder ich integriere nach z mit einer abhängigen Grenze nach r...
Oder hab ich hier einen Denkfehler drin?
Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet.
mfg Bene
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:27 Do 27.07.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo Benedikt,
leider ist deine aufgabenstellung etwas durcheinander, so dass mir nicht klar ist, was eigentlich berechnet werden soll.
es gibt darüber hinaus im forum ja einen schönen formel-editor, der das lesen von formeln deutlich vereinfacht und einem die Hilfe leichter macht.
Wenn du deinen artikel nochmal ein wenig strukturierst, helfe ich dir gerne.
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Do 27.07.2006 | | Autor: | benemaja |
Hoffe es geht jetzt einigermaßen...
mfg Bene
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 Do 27.07.2006 | | Autor: | Barncle |
hmm.. knifflig ich denk das ist ein anstz:
Also, wenn du die A2 anschaust, dann siehst du, dass für r gilt, r = [mm] \wurzel{2} [/mm] , aber die bedingung z = [mm] \wurzel{2} [/mm] sagt, dass das ganze eben nur in der höhe [mm] \wurzel{2} [/mm] gilt.
daher das Problem mit z.... ??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Do 27.07.2006 | | Autor: | benemaja |
Aber eigentlich müsste das doch egeal sein....
Ich kann ja den die flächen auf beide weisen beschreiben, oder?
mfg Bene
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Do 27.07.2006 | | Autor: | Barncle |
hmm... nein... das trifft im allgemeinen nciht zu...
in dem Fall hab ich zwar eigentlich auch das Gefühl, aber du musst wohl wenn du z über r definierst (nicht wie hier, da ist ja r über z definiert) was ändern.. aba ich bni auch noch nicht draufgekommen was....
sry.. :(
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Hallo Bene,
ich wundere mich nicht, dass du was falsches rausbekommst, denn der ansatz ist
imo nicht ganz richtig.
ich schreibe einfach mal, wie ich an die aufgabe gehen würde. erster schritt ist,
die von A eingeschlossenen menge richtig zu erfassen bzw. als integrationsmenge darzu-
stellen. nimmt man dafür zylinder-koordinaten so muss h von 0 bis [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] laufen,
[mm] $\phi$ [/mm] von 0 bis [mm] $2\pi$ [/mm] und r von 0 bis h. Das Volumen dieser Menge ist also
[mm] $\int_0^{\sqrt{2}}\int_0^{2\pi}\int_0^h [/mm] r [mm] \; dr\; d\phi\; [/mm] dh$.
Bei dir taucht das r als integral-grenze auf, das darf so nicht sein.
Jetzt musst du noch die divergenz deines vektorfeldes berechnen und in zylinder-koords
umwandeln. Kommt da wirklich [mm] $r^2$ [/mm] raus!?! kann ich mir nicht so richtig vorstellen, aber kann
ja dennoch sein.
So müsstest du eigentlich die richtige lösung erhalten.
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Do 27.07.2006 | | Autor: | Barncle |
Meister das ist uns doch klar! :)
Die eigentliche Frage ist, warum man die Integrationsreihenfolge in diesem Fall nicht vertauschen kann! Normalerweise ist das nicht einfach möglich, das is klar! Aber in diesem Fall ist r = z und 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le \wurzel{2}
[/mm]
daher sollte man die Grenzen doch einfach umderehen können!? Aba dann kommt das falsche raus.... aber warum!?
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solange die integrationsgebiete bzw. -grenzen voneinander unabhängig sind, kann man die integrationsreihenfolge (nach Fubini) vertauschen.
in Eurem Fall hängen aber die grenzen des inneren integrals (über r) von der integrationsvariable des äußeren integrals (über h) ab. dann kann man die reihenfolge natürlich nicht vertauschen, sondern muss 'von innen nach außen' integrieren!
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Do 27.07.2006 | | Autor: | Barncle |
:) Auch das ist mir klar.
Man kann aber wenn die Grenzen voneinander abhängen sie trotdem vertauschen, muss sie dann aber anders definieren.
zum Beispiel in 2D:
man hat eine gerade x=2y 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 2
dann sind die Grenzen [mm] \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{2y}
[/mm]
will ich die Integrationsreihenfolge vertauschen (vorrausgesetzt ich weiß auch von wo bis wo x verläuft) sag ich einfach y = [mm] \bruch{x}{2}
[/mm]
(Hoff das Beispiel ist richtig.. habs mir grad ausgedacht.. wenn nciht, hoff ich du weißt trotzdem was ich mein)
nun wieder zur Frage.. in dem Fall von über den wir diskutieren, ist r = z und 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le \wurzel{2} [/mm] also müsste man die Reihenfolge doch einfach umdrehen können.... zumindest weiß ich nicht wie die Grenzen verändern damit es geht... aba wenn man es tut.. kommt das falsche raus.. warum?
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OK, ihr Schlaumeier....
obwohl es aus meiner sicht eigentlich überflüssig ist, sich über nicht intuitive Ansätze gedanken zu machen, habe ich es für Euch dennoch noch einmal gemacht....
so, das radius-integral soll also außen stehen (würde ich nie drauf kommen, aber egal). [mm] $\phi$ [/mm] muss wieder von 0 bis [mm] $2\pi$ [/mm] laufen, das ist klar. ich glaube der fehler liegt nun bei h. h muss nämlich nicht von 0 bis r laufen, sondern von r bis [mm] $\sqrt{2}$! [/mm] Das heißt, das Volumen des Körpers erhält man auch mit dem integral
[mm] $\int_0^{\sqrt{2}} \int_0^{2\pi}\int_r^{\sqrt{2}} [/mm] r [mm] \; dh\; d\phi\; [/mm] dr$.
und jetzt will ich keine widerrede mehr hören, das habe ich sogar eben nachgerechnet.... 
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Do 27.07.2006 | | Autor: | Barncle |
du bist mein neuer Mathegott! ;)
Alles was ich jetzt noch will, ist eine erklärung! bitte! :)
wär mir doch relativ wichtig.. weil ich einfach nicht check warum!
dankeschön :)
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zu viel der Ehre!
also, bei dem von uns untersuchten Körper handelt es sich ja um einen auf dem kopf stehenden kegel. für einen kegel mit grundfläche G und Höhe h gilt bekanntlich die Volumenformel
[mm] $V_K=\frac13 G\cdot [/mm] h$
wenn du h von 0 bis r laufen lässt statt von r bis [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] erhältst statt diesem volumen das des komplementär-körpers im zylinder, für das gilt
[mm] $V^*=V_Z-V_K=G\cdot [/mm] h - [mm] \frac13 G\cdot h=\frac23 G\cdot h=2\cdot V_K$
[/mm]
Das volumen dieses körpers ist also genau doppelt so groß wie das des kegels!
Nochmal zurück zur Aufgabe: iteriertes integrieren ist ja 'scheibenweises' integrieren. stell dir also vor, r ist jetzt fest: dann muß ich mit meinen inneren integralen die oberfläche des zylinders mit radius r und höhe [mm] $\sqrt{2}-r$ [/mm] berechnen. du musst einfach den kegel in zylinder-scheiben bezüglich des radius zerlegen.
hoffe, das ist jetzt klar...
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 So 30.07.2006 | | Autor: | benemaja |
Vielen Dank!
mfg Bene
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