Gaußsche Eliminationsverfahren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Di 26.10.2004 | | Autor: | SabineG |
Also, habe hier ne Aufgabe, die man mit dem Gaußschen E.-verfahren lösen soll:
2 -1 1 -1 -2 5
1 3 -4 -1 -1 7
-1 2 -2 1 1 -1
1 -1 0 1 -1 3
1 1 -3 0 -1 6
hab dann die ersten beiden Zeilen vertauscht und dann angefangen.
Zum Schluss hab ich folgenes stehen:
1 3 -4 -1 -1 7
0 -7 9 1 0 -9
0 5 -6 0 0 6
0 -4 4 2 0 -4
0 -2 1 1 0 -1
Wenn ich das richtig sehe, ist da dann ja nur eine "stufe" drin.
Verwirrt mich gerade total...wie sieht die Gleichung aus?
Etwa [mm] x_{1}+3x_{2}-4x_{3}-x_{4}-x_{5}=7 [/mm] ??? Und wie würde es dann weitergehn?
Was sind denn die freien Variabeln?
Wär natürlich super, wenn das mal jemand nachrechnen könnte, allerdings glaub ich nicht das ich mich verrechnet hab, aber vielleicht hab ich ja irgendwas überhaupt nicht verstanden....
Noch ne allgemeine Frage zum Gaußschen E.-verfahren:
Wenn man am Anfang zwei Zeilen vertauscht, muss man die am Ende dann wieder zurückvertauschen???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Di 26.10.2004 | | Autor: | filou |
Hallo Sabine,
Du musst beim Gaussschen Eliminationsverfahren das Gleichungssystem in Zeilenstufenform bringen.
Z.bsp: Gegeben ist das Gleichungssystem
x + 4*y + 2*z = 6
2*x + 5*y+z = 7
x + 3*y+4*z = 3
wird dann in Matrixform geschrieben:
[mm] \pmat{1 & 4 & 2 \\ 2 & 5 & 1\\1 & 3 & 4}*\pmat{x\\y\\z} [/mm] = [mm] \pmat{6\\7\\3}
[/mm]
dies ist äquivalent zu [mm] \pmat{1 & 4 & 2 & 6\\ 2 & 5 & 1 & 7\\1 & 3 & 4 & 3}
[/mm]
Nun kannst du mit den Zeilenumformungen anfangen, bis du eine Zeilenstufenform erhälst:
[mm] \pmat{1 & 4 & 2 & 6\\ 0 & -3 & -3 & 5\\0 & 0 & 9 & -4}
[/mm]
Die Zwischenschritte kannst du sicher nachvollziehen.
Jetzt kannst du rückwärtsauflösen, sprich
9z = -4
=> z = - 4/9
Hast du -3*y + -3*z = 5 z einsetzen => y = ...
und dann hast du x + 4*y + 2*z = 6 und wieder y sowie z einsetzen => x = ...
Nun hast du die Lösungen gefunden.
Ein Wort zu den freien Parameter: Wie weisst du wieviele freie Parameter das Gleichungssystem hat ? Ganz einfach: Anzahl freie Paramater gleich
(n- r), wobei n Gleichungen sind und r die Anzahl der "Nicht-Nullzeilen" sind.
Nein, die vertauschten Zeilen brauchst du nicht mehr zu vertauschen. Ich denke, dass wirst du dann noch in der Vorlesung hören.
Ich hoffe, dass ich dir da ein wenig auf die Sprünge helfen konnte.
Noch viel Spass beim Knobeln ;)
filou
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:05 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo SabineG,
ich denke, filous Antwort müßte dir schon sehr weiterhelfen.
Dein Problem entsteht, weil du eben nur eine Stufe in die Matrix gebracht hast, und nicht die komplette Zeilenstufenform (="Dreiecksgestalt") erreicht hast.
Viele Grüße,
Marc
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