Gaussverfahren < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Löse das folgende LGS:
x-2y=4
-y-z=-1
-x+y+z=-1 |
Guten Tag,
ich brauche dringend Hilfe beim Gauss algorithmus. Ich bilde mir zwar ein, die Thematik verstanden zu haben, aber ich schaffe es trotzdem irgendwie nicht, das Verfahren richtig anzuwenden. Es wird irgendwo eine nicht zulässige Zeilentransformation drinnen sein, aber ich weiß nicht welche.
[mm]
\left(
\begin{matrix}
1 & -2 & 0\\
0 & -1 & -1\\
-1 & 1 & 3
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
4\\
-1\\
-1
\end{matrix}
\right)
\right. [/mm]
Ich habe nun zur dritten Zeile die 2te addiert und von der dritten die erste abgezogen, damit folgendes rauskam:
[mm]
\left(
\begin{matrix}
1 & -2 & 0\\
0 & -1 & -1\\
0 & 0 & 4
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
4\\
-1\\
0
\end{matrix}
\right)
\right.
[/mm]
Demnach wäre z=0, y=1 und x = 6 wenn ich mich jetzt nicht verguckt hab. Der Punkt ist, die Lösungen geben folgendes an:
x=4 y=0 z=1
Wo liegt mein Fehler, bitte helft mir
Vielen dank
Killercat
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 So 16.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Löse das folgende LGS:
> x-2y=4
> -y-z=-1
> -x+y+z=-1
> Guten Tag,
Tippfehler : -x+y+3z = -1
>
> ich brauche dringend Hilfe beim Gauss algorithmus. Ich
> bilde mir zwar ein, die Thematik verstanden zu haben, aber
> ich schaffe es trotzdem irgendwie nicht, das Verfahren
> richtig anzuwenden. Es wird irgendwo eine nicht zulässige
> Zeilentransformation drinnen sein, aber ich weiß nicht
> welche.
>
> [mm]
\left(
\begin{matrix}
1 & -2 & 0\\
0 & -1 & -1\\
-1 & 1 & 3
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
4\\
-1\\
-1
\end{matrix}
\right)
\right.[/mm]
>
> Ich habe nun zur dritten Zeile die 2te addiert und von der
> dritten die erste abgezogen, damit folgendes rauskam:
Du hast etwas ganz anderes gemacht, nämlich du hast das 1-fache der ersten und das (-1)-fache der zweiten Zeile zur dritten addiert.
> [mm]
\left(
\begin{matrix}
1 & -2 & 0\\
0 & -1 & -1\\
0 & 0 & 4
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
4\\
-1\\
0
\end{matrix}
\right)
\right.
[/mm]
>
Danach entsteht in der dritten Zeile auf der rechten Seite der Wert 4.
> Demnach wäre z=0, y=1 und x = 6 wenn ich mich jetzt nicht
> verguckt hab. Der Punkt ist, die Lösungen geben folgendes
> an:
> x=4 y=0 z=1
>
> Wo liegt mein Fehler, bitte helft mir
>
> Vielen dank
> Killercat
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
Das hieße ich habe mich einfach nur verrechnet...hm
Vielen dank auf jedenfall
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Das hieße ich habe mich einfach nur verrechnet...hm
>
nein, ich denke das Verfahren ist dir noch nicht so ganz klar. Geh einmal folgendermaßen vor.
- Addiere die Zeilen I und III zur neuen Zeile III'. Addiere dann die Zeilen II*(-1) und III'zur neuen Zeile III''.
Danach ist die Koeffizientenmatrix in der Stufenform, und man kann die Lösungen aus- bzw. nachrechnen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Wie ich, ungeachtet von Rechenfehlern, vorgehe ist wie folgt:
Am Beispiel einer 3x3 Matrix:
1) in der ersten Spalte 2 nullen erzeugen mithilfe der 1.Zeile
2) Mithilfe der 2ten Zeile das letzte fehlende Element (ich kann mir die Reihenfolge nie merken, es müsste das Element [mm] a_3_2 [/mm] sein) 0 setzen
Damit wäre die Matrix augenscheinlich in Zeilenstufenform.
Evtl sollte ich noch erwähnen, das ganze mache ich i.d.r via:
- Addition 2er Zeilen
- Subtraktion 2er zeilen (ich weiß, das sich das durch die Addition mit einem negativen Vielfachen ausdrücken lässt)
- Multiplikation einer Zeile mit skalaren
- Vielfache von Zeilen voneinander abziehen.
Bevor ich mich jetzt weiter mit der Materie beschäftige wäre es grade in meinen Augen erstmal besser zu wissen, ob in der Vorgehensweise Fehler drin sind.
Mit freundlichen Grüßen
|
|
|
| |
|
Hallo Killercat,
> Wie ich, ungeachtet von Rechenfehlern, vorgehe ist wie
> folgt:
>
> Am Beispiel einer 3x3 Matrix:
>
> 1) in der ersten Spalte 2 nullen erzeugen mithilfe der
> 1.Zeile
> 2) Mithilfe der 2ten Zeile das letzte fehlende Element
> (ich kann mir die Reihenfolge nie merken, es müsste das
> Element [mm]a_3_2[/mm] sein) 0 setzen
>
> Damit wäre die Matrix augenscheinlich in Zeilenstufenform.
Ja, wenn die Zeilen von Anfang an linear unabhängig waren. Sonst geht das Verfahren nicht immer auf bzw. liefert im besten Fall eine Nullzeile. Dann weiß man ja auch Bescheid...
> Evtl sollte ich noch erwähnen, das ganze mache ich i.d.r
> via:
> - Addition 2er Zeilen
> - Subtraktion 2er zeilen (ich weiß, das sich das durch
> die Addition mit einem negativen Vielfachen ausdrücken
> lässt)
> - Multiplikation einer Zeile mit skalaren
> - Vielfache von Zeilen voneinander abziehen.
Ja, alles ok.
> Bevor ich mich jetzt weiter mit der Materie beschäftige
> wäre es grade in meinen Augen erstmal besser zu wissen, ob
> in der Vorgehensweise Fehler drin sind.
Nein, auch wenn die ersten Schritte etwas knapp beschrieben sind (mit Hilfe der 1. Zeile etc.).
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Gut, wenn das Verfahren richtig ist, dann muss hier ein Rechenfehler drin sein. Der Einfachheit halber schreibe ich das ganze mit den LGS auf.
21x+2y+z=28
x+y=3
4x+y+4z=18
Tauschen der ersten und zweiten Zeile:
x+y=3
21x+2y+z=28
4x+y+4z=18
2 Gleichung - 21x 1.Gleichung:
x+y=3
-19y+z=-35
4x+y+4z=18
Ebenso ergibt sich dann: III -4I:
x+y=3
-19y+z=-35
-3y+4z=6
Der nächste Schritt wäre dann 19III-3II:
x+y=3
-19y+z=-35
73z=219
Wo steckt jetzt mein Rechenfehler?
(Verzeiht mir bitte die Nachsichtigkeit in der Notation, sitze schon was länger hier)
Mit freundlichen Grüßen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 So 16.02.2014 | | Autor: | Killercat |
Ich hab grad festgestellt, dass die Lösung stimmen.
Hab mich nur nicht konzentriert. Ich muss wohl echt darauf achten, dass ich mich nicht verrechne
Vielen dank euch!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 So 16.02.2014 | | Autor: | Killercat |
Erstmal danke für deine Hilfe :)
Ich hab mich im Vorraus 4x verrechnet gehabt (Kopfrechnen in Eile) und in der letzten Zeile immer was anderes rausgehabt. Bloß ist mir just in dem Moment als ich die Frage formuliert habe aufgefallen, dass 219=3x73 ist. Und damit hatte sich das dann erledigt
|
|
|
| |
|
Ich hänge meine Frage hier mal thematisch mit dran, ist auch die letzte für heute.
Also, ich habe folgende Matrix
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 2 & 0 \\
0 & -3 & 3 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Es geht darum, die Lösungsmenge des dahinter liegenden (homogenen) LGS zu bestimmen.
Gibt es einen Weg, das systematisch zu tun? Ich komme momentan mehr mit Glück als mit Verstand darauf und würde das gern Verhältnis gern drehen.
Dann noch eine zweite Frage:
Mir ist heute beim rechnen aufgefallen, dass es beim Gauss-algorithmus offenbar nicht egal ist, ob ich eine Zeile vorher "kürze", sprich sollten alle Zahlen einen gemeinsamen teiler haben die Zeile durch diese zu teilen,
oder ob ich mit der unbearbeiteten Zeile weiterrechne. Ist mir da 27x in Folge ein Rechenfehler unterlaufen (wäre ja nicht das erste Mal heute) oder hat das irgendeinen Sinn?
Und wenn ja, wie weiß ich dann wann ich "kürzen" muss?
Vielen dank für eure Hilfe
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ich hänge meine Frage hier mal thematisch mit dran, ist
> auch die letzte für heute.
>
> Also, ich habe folgende Matrix
> [mm] \begin{pmatrix}
2 & 2 & 0 \\
0 & -3 & 3 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
> Es
> geht darum, die Lösungsmenge des dahinter liegenden
> (homogenen) LGS zu bestimmen.
> Gibt es einen Weg, das systematisch zu tun? Ich komme
> momentan mehr mit Glück als mit Verstand darauf und würde
> das gern Verhältnis gern drehen.
Na klar. Die letzte Zeile ist eine Nullzeile. Setze darum eine Variable als Parameter fest - egal welche! Wie die beiden anderen Variablen davon abhängen, verraten Dir die anderen Zeilen.
> Dann noch eine zweite Frage:
> Mir ist heute beim rechnen aufgefallen, dass es beim
> Gauss-algorithmus offenbar nicht egal ist, ob ich eine
> Zeile vorher "kürze", sprich sollten alle Zahlen einen
> gemeinsamen teiler haben die Zeile durch diese zu teilen,
> oder ob ich mit der unbearbeiteten Zeile weiterrechne. Ist
> mir da 27x in Folge ein Rechenfehler unterlaufen (wäre ja
> nicht das erste Mal heute) oder hat das irgendeinen Sinn?
> Und wenn ja, wie weiß ich dann wann ich "kürzen" muss?
Das können nur Rechenfehler gewesen sein. Es ist egal, ob Du kürzt oder nicht. Meistens ist die Rechnung nach dem Kürzen einfacher im Kopf zu bewältigen, aber mehr kann man dazu auch nicht sagen.
> Vielen dank für eure Hilfe
Na dann, viel Erfolg. 
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:42 Mo 17.02.2014 | | Autor: | Killercat |
Okay, vielen dank :)
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
