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| Aufgabe | Jede bogenweise zusammenhängende Menge D [mm] \subset \IC [/mm] ist zusammenhängend, d.h. jede lokal konstante Funktion auf D ist konstant.
Beweis:
Sei f: D [mm] \to \IC [/mm] lokal konstant.
Wenn f nicht konstant ist, so existieren Punkte z, w [mm] \in [/mm] D mit f(z) [mm] \not= [/mm] f(w).
Wir verbinden z und w durch eine innerhalb D verlaufende stückweise glatte Kurve [mm] \alpha: [/mm] [a,b] [mm] \to [/mm] D. Wegen der Stetigkeit von [mm] \alpha [/mm] ist auch [mm] g(t)=f(\alpha(t)) [/mm] lokal konstant.
Daher gilt g'(t)=0 und deshalb g=const.
Aber es ist g(a)=f(z) [mm] \not= [/mm] f(w) = g(b). |
Hallo!
Meine Schwierigkeit liegt hierin: ich verstehe nicht, warum g global konstant ist!
Also wir sagen g(t) ist lokal konstant, ok. Daraus folgt, dass g'(t)=0, aber nur lokal, oder?
Welchen Schritt verpasse ich hier?
Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen!
Liebe Grüße, Lily
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> Jede bogenweise zusammenhängende Menge D [mm]\subset \IC[/mm] ist
> zusammenhängend, d.h. jede lokal konstante Funktion auf D
> ist konstant.
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> Beweis:
> Sei f: D [mm]\to \IC[/mm] lokal konstant.
> Wenn f nicht konstant ist, so existieren Punkte z, w [mm]\in[/mm] D
> mit f(z) [mm]\not=[/mm] f(w).
> Wir verbinden z und w durch eine innerhalb D verlaufende
> stückweise glatte Kurve [mm]\alpha:[/mm] [a,b] [mm]\to[/mm] D. Wegen der
> Stetigkeit von [mm]\alpha[/mm] ist auch [mm]g(t)=f(\alpha(t))[/mm] lokal
> konstant.
> Daher gilt g'(t)=0 und deshalb g=const.
> Aber es ist g(a)=f(z) [mm]\not=[/mm] f(w) = g(b).
> Hallo!
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> Meine Schwierigkeit liegt hierin: ich verstehe nicht, warum
> g global konstant ist!
> Also wir sagen g(t) ist lokal konstant, ok. Daraus folgt,
> dass g'(t)=0, aber nur lokal, oder?
> Welchen Schritt verpasse ich hier?
> Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen!
>
> Liebe Grüße, Lily
Guten Abend Lily
Ich muss vorausschicken, dass mir nicht ganz klar ist, was
hier vorausgesetzt ist und was behauptet wird.
g'(t)=0 ist zunächst eine "lokale" Aussage. Das Wichtige liegt
aber darin, dass diese Eigenschaft für alle t gelten soll,
in dem gesamten Intervall, das zur Beschreibung der Verbindungs-
kurve benötigt wird. Dann wird einfach der Satz verwendet,
dass für eine auf einem Intervall [a,b] differenzierbare reelle
Funktion g , deren Ableitung auf dem ganzen Intervall verschwindet,
die Gleichung g(a)=g(b) gelten muss.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Fr 23.09.2016 | | Autor: | fred97 |
> Jede bogenweise zusammenhängende Menge D [mm]\subset \IC[/mm] ist
> zusammenhängend, d.h. jede lokal konstante Funktion auf D
> ist konstant.
>
> Beweis:
> Sei f: D [mm]\to \IC[/mm] lokal konstant.
> Wenn f nicht konstant ist, so existieren Punkte z, w [mm]\in[/mm] D
> mit f(z) [mm]\not=[/mm] f(w).
> Wir verbinden z und w durch eine innerhalb D verlaufende
> stückweise glatte Kurve [mm]\alpha:[/mm] [a,b] [mm]\to[/mm] D. Wegen der
> Stetigkeit von [mm]\alpha[/mm] ist auch [mm]g(t)=f(\alpha(t))[/mm] lokal
> konstant.
> Daher gilt g'(t)=0 und deshalb g=const.
> Aber es ist g(a)=f(z) [mm]\not=[/mm] f(w) = g(b).
> Hallo!
>
> Meine Schwierigkeit liegt hierin: ich verstehe nicht, warum
> g global konstant ist!
Ich würde so argumentieren: g ist lokal konstant und der Def. _bereich von g, das Intervall [a,b], ist zusammenhängend, somit ist g auf [a,b] konstant.
FRED
> Also wir sagen g(t) ist lokal konstant, ok. Daraus folgt,
> dass g'(t)=0, aber nur lokal, oder?
> Welchen Schritt verpasse ich hier?
> Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen!
>
> Liebe Grüße, Lily
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 So 25.09.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Achso, danke 
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