Gebrochene Ideale < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 So 12.09.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Leute!
Ich habe eine Frage bezüglich der gebrochenen Ideale...
Die sind ja gerade die [mm]\mathbb{Z}[/mm]-module in einem Zahlkörper [mm]K[/mm], die [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] als assoziierte Ordnung haben. (Ich bezeichne einen gebrochenen Ideal im Folgenden mit [mm]\mathfrak{a}[/mm]).
Also [mm]\mathcal{O}_{\mathfrak{a}} = \lbrace \omega \in K \mid \omega\mathfrak{a} \subset \mathfrak{a}\rbrace \overset{!}{=} \mathcal{O}_{K}[/mm].
Das bedeutet doch, dass [mm]\mathcal{O}_{K}\mathfrak{a} \subset \mathfrak{a}[/mm] und [mm]\alpha\mathfrak{a} \not\subset \mathfrak{a} \quad \forall \alpha \notin \mathcal{O}_{K}[/mm].
Gut.. jetzt aber.
"Die gebrochene Ideale, die in [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] enthalten sind, sind die üblichen nicht-Null-ideale".
Dass aber die ideale in [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] enthalten sind, und nicht ideale VON [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] sind, bedeutet doch, dass es ideale von [mm]K[/mm] sein müssten.. (aber [mm]K[/mm] Körper somit nur ideale (0) und (1)..).
Darum meine Frage.. handelt es sich hier wieder um eine unglückliche Bezeichnung für diese [mm]\mathfrak{a}[/mm]? Also ich meine jetzt die Bezeichnung "Ideale".. sind sie überhaupt Ideale?
Danke für eine Antwort :)
Gr
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 So 12.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Die sind ja gerade die [mm]\mathbb{Z}[/mm]-module in einem
> Zahlkörper [mm]K[/mm], die [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] als assoziierte Ordnung
> haben. (Ich bezeichne einen gebrochenen Ideal im Folgenden
> mit [mm]\mathfrak{a}[/mm]).
>
> Also [mm]\mathcal{O}_{\mathfrak{a}} = \lbrace \omega \in K \mid \omega\mathfrak{a} \subset \mathfrak{a}\rbrace \overset{!}{=} \mathcal{O}_{K}[/mm].
>
> Das bedeutet doch, dass [mm]\mathcal{O}_{K}\mathfrak{a} \subset \mathfrak{a}[/mm]
> und [mm]\alpha\mathfrak{a} \not\subset \mathfrak{a} \quad \forall \alpha \notin \mathcal{O}_{K}[/mm].
Genau.
> Gut.. jetzt aber.
> "Die gebrochene Ideale, die in [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] enthalten
> sind, sind die üblichen nicht-Null-ideale von [mm]\red{\mathcal{O}_K}[/mm]".
Das rote hab ich eingefuegt, damit wird die Aussage etwas praeziser.
> Dass aber die ideale in [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] enthalten sind, und
> nicht ideale VON [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] sind,
Wie kommst du auf letzteres? Es ist sehr wohl gemeint, dass es [mm]\mathcal{O}_K[/mm]-Ideale sind. [mm]K[/mm]-Ideale gibt es (wie du richtig bemerkst) viel zu wenige, als das man sich fuer solche interessiert.
> Darum meine Frage.. handelt es sich hier wieder um eine
> unglückliche Bezeichnung für diese [mm]\mathfrak{a}[/mm]? Also ich
> meine jetzt die Bezeichnung "Ideale".. sind sie überhaupt
> Ideale?
Der Satz ist nicht optimal formuliert, man haette das [mm]\mathcal{O}_K[/mm] (wie ich es oben getan hab) an der richtigen Stelle einsetzen sollen.
LG Felix
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