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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe 1 | | Bestimme eine Stammfunktion von $f(x) = \frac{1}{x^2 + 4}$. |
| Aufgabe 2 | | Bestimme eine Stammfunktion von $g(x) = cos(x^2)$. |
Hallo Allerseits!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Diese Problemstellung ist keine Aufgabe aus einem Buch, sondern ist bei meinen Überlegungen zu dem entsprechenden Thema aufgetaucht.
Meine Ansätze waren folgende:
Aufgabe 1
$\integral{f(x) \, dx} = ln{\left( x^2+4 \right)} \cdot \frac{1}{2x}$
Dieser Ansatz ist jedoch offensichtlich falsch, da ich beim Probeableiten die Produktregel verwenden müsste, die ich jedoch beim Hochleiten nicht berücksichtigt habe.
Anschließend versuchte ich die Stammfunktion mit einer Substitution zu finden:
Es sei $u = x^2 + 4$. Daraus folgt $\frac{du}{dx} = 2x \gdw dx = \frac{du}{2x}$
Durch Einsetzen erhalte ich dann
$\integral{\frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2x} \, du$
Wie schon eigentlich ersichtlich war, kürzt sich hier leider nichts heraus und ich weiß nicht, wie ich $2x$ betrachten soll. Es handelt sich ja eigentlich nicht um einen konstanten Wert, den ich aus dem Integral ziehen könnte. Alternativ könnte ich $u = x^2 + 4$ noch nach $x$ umformen. Dann würde ich erhalten
$x = \pm \sqrt{u-4}$.
Dies sind ziemlich abstrakt aus, da es folgendes bedeuten würde:
1) Es gäbe keine eindeutig bestimmbare Stammfunktion
2) Es gäbe überhaupt keine Stammfunktion für $u < 4$.
Deshalb habe ich diesen Ansatz verworfen.
Anschließend hatte ich eine weitere Idee: Ich wollte den Nenner faktorisieren, was aber für $x \in \IR$ nicht möglich ist.
Nun war ich mit meinem Latein am Ende.
Aufgabe 2
Analog zu 1) schlägt natürlich folgendes fehl:
$g'(x) = -sin(x^2) \cdot 2x$.
Mein einziger, weiterer kläglicher Ansatz war dann noch:
$\integral{cos(x^2)} \, dx = x \cdot cos(x^2) - \integral{x \cdot \left(-sin(x^2) \right) \cdot 2x} \, dx$
Effizienter kann man ein Problem kaum mehr verschlimmern 
Ich würde mich über ein paar Denkanstöße freuen! Sollte ich es mit dem Differenzenquotienten versuchen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Do 30.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Subclasser,
zwei kleine Tipps:
1.) Sicherlich kennst du die Ableitung der Funktion [mm] $f(x)=\arctan{(x)}$. [/mm] Die lautet nämlich [mm] $f'(x)=\frac{1}{x^2+1}$. [/mm] Damit ließe sich doch etwas drehen, oder nicht? Du musst allerdings [mm] $u(x)=\frac{x}{2}$ [/mm] substituieren!
EDIT: Sorry, ich hab' die Aufgabe falsch gelesen. Der folgende Hinweis bezieht sich auf das Integral [mm] $\int{\cos^2{(x)}\ dx}$.
[/mm]
2.) Ich würde hier folgende Identität verwenden:
[mm] $\cos^2{(x)}=\frac{1}{2}\left(1+\cos{(2x)}\right)$.
[/mm]
Die rechte Seite zu integrieren ist nun nicht mehr so schwer! Ich überlege nur gerade, wie ich dir diese Formel (die ich zugegebenermaßen auch nachschlagen musste) plausibel machen kann: Aus dem bekannten Additionstheorem für den Kosinus erhältst du ja
[mm] $\cos{(2x)}=\cos^2{(x)}-\sin^2{(x)}$.
[/mm]
Also ist
[mm] $\frac{1}{2}\left(1+\cos{(2x)}\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\left(1+\cos^2{(x)}-\sin^2{(x)}\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\left(\cos^2{(x)}+\left(1-\sin^2{(x)}\right)\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\left(\cos^2{(x)}+\cos^2{(x)}\right)$
[/mm]
[mm] $=\cos^2{(x)}$.
[/mm]
Damit ist die Identität bewiesen, und du darfst die Formel ruhigen Gewissens benutzen!
Meld' dich bitte nochmal, falls es noch Fragen gibt, ok? 
MFG,
Yuma
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Do 30.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Christian,
du hast (wieder einmal) Recht!
Ich hab' wohl nicht genau genug hingeschaut und [mm] $\cos^2{(x)}$ [/mm] gelesen!
Subclasser: Mathemaduenn hat Recht, vergiss das, was ich zu 2.) geschrieben habe!
MFG,
Yuma
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Noch einmal Hallo!
Danke für die Antworten! Die Methode für $h(x) = [mm] cos^2(x)$ [/mm] ist auch sehr interessant (ich werde es gleich einmal probieren) und für mich sehr lehrreich. Also hatte dieser Fehler durchaus sein Gutes
Nun zu meinen beiden Aufgaben
Aufgabe 1
Das ist tatsächlich einfacher, als ich gedacht hätte, auch wenn ich diese Regel noch nicht kannte.
In meiner Formelsammlung steht sie auf jeden Fall auch:
[mm] $\integral{\frac{1}{x^2+a^2}} \; [/mm] dx = [mm] \frac{1}{a} \cdot \arctan \left( \frac{x}{a} \right)$ [/mm] (1)
Mit diesem Wissen brauche ich nicht einmal eine Substitution (, was aber auch problemlos zum selben Ergebnis geführt hat). Durch Einsetzen in die Beziehung erhält man dann einfach
[mm] $\integral{\frac{1}{x^2+4}} \; [/mm] dx = [mm] \frac{1}{2} \cdot \arctan \left( \frac{x}{2} \right)$
[/mm]
Meine Frage dazu: Wie kommt man auf die Beziehung (1)? Ein Link mit einer anschaulichen Erklärung wäre super!
Aufgabe 2
Das Fresnel Integral interessiert mich jetzt doch sehr! Hierbei interessiert mich die Summenschreibweise am meisten:
[mm] $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}$
[/mm]
Über welchen Themenkomplex müsste man sich informieren, um zu verstehen, wie man auf diese Summenformel kommt? Das Fresnel Integral ist ja nur per Definition diese Summe.
Ich würde mich freuen, wenn ihr mir ein paar Schlagwörter, Links oder auch Buchtipps geben könntet.
Danke für eure Hilfe und ein schönes Wochenende,
Stephan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Fr 31.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stephan!
Hinter der genannten Integrationsaufgabe bei Aufgabe 1 steckt eine "schlichte" Substitution :
[mm]\integral{\frac{1}{x^2+a^2} \; dx} \ = \ \integral{\bruch{1}{a^2}*\frac{1}{\bruch{x^2}{a^2}+1} \ dx} \ = \ \bruch{1}{a^2}*\integral{\frac{1}{1+\left(\bruch{x}{a}\right)^2}} \ dx}[/mm]
Und nun die Substitution: [mm] $\bruch{x}{a} [/mm] \ := \ [mm] \tan(u)$ $\gdw$ [/mm] $x \ = \ [mm] a*\tan(u)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\bruch{dx}{du} [/mm] \ = \ [mm] a*\left[1+\tan^2(u)\right]$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Fr 31.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Stephan,
ich will noch etwas zum Fresnel-Integral sagen:
Es ist zwar kein Schulstoff, aber vielleicht hast du trotzdem mal etwas von der Definition des Kosinus als Reihe gehört (in der Schule "definiert" man ja den Kosinus eigentlich als "Ankathete durch Hypotenuse", stellt aber schnell fest, dass man bei Winkeln $\ge 180°$ in Schwierigkeiten gerät).
An der Uni wird einem der Kosinus folgendermaßen definiert:
$\cos{(x)}:=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}}$.
Die ersten Glieder dieser unendlichen Summe wären demnach:
$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\ldots$
Mit diesem Wissen kann man auch $\cos{(x^2)}$ als Reihe darstellen:
$\cos{(x^2)}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{(x^2)^{2n}}{(2n)!}}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{x^{4n}}{(2n)!}}$.
Die Kosinusreihe ist absolut konvergent für alle $x\in\IR$, und in dem Fall darf man bei dem Ausdruck
$\int{\cos{(x^2)}\ dx}=\int{\left(\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{x^{4n}}{(2n)!}}\right)\ dx}$
die Integration mit der Summation vertauschen:
$=\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\int{(-1)^n\frac{x^{4n}}{(2n)!}\ dx\right)}$.
Und wenn du diese Integration ausführst, dann hast du
$\int{\cos{(x^2)}\ dx}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}$.
Ich hoffe, ich konnte dir zumindest prinzipiell deutlich machen, was dahinter steckt. Ich finde es aber bemerkenswert, dass du dich dafür interessierst - warum hast du eigentlich keinen Mathe-LK?
MFG,
Yuma
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Fresnel Integral![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
. Aber irgendwie ist es schade das ausgerechnet der Recht hat der sagt das es nicht geht. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
