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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 So 06.04.2008 | | Autor: | MrPotter |
| Aufgabe | Für das folgende Integral ist die Stammfunktion zu bestimmen:
[mm]\integral_{}^{}{ \bruch {x^2-1}{x^3+x^2+x} dx}[/mm]
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Hallo Mathe-Freunde,
so, ich hoffe, das ist das letzte Integral vor meiner Klausur morgen, was ich selber nicht lösen kann.
Also klar, partielle Integration scheidet völlig aus, da dadurch mein Integral immer unschöner wird. Mit der Substitution des Nenners war ich auch nicht erfolgreich. Könnte man nicht irgendwie den Zähler als Ableitung des Nenners zurückführen und dann beim Substituieren was wegkürzen? Meine einzige Idee, die ich nicht umsetzen kann ...
Hab grad mal mit der Seite http://www.mathetools.de/integrieren/ versucht, das Integral zu lösen. Aber lustigerweise findet der numerische Algorithmus auch keine Lösung (Fatal Error^^).
Also, für Tipps wäre ich euch nochmals sehr dankbar! 
Liebe Grüße
MrPotter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 So 06.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für das folgende Integral ist die Stammfunktion zu
> bestimmen:
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch {x^2-1}{x^3+x^2+x} dx}[/mm]
>
> Hallo Mathe-Freunde,
> so, ich hoffe, das ist das letzte Integral vor meiner
> Klausur morgen, was ich selber nicht lösen kann.
> Also klar, partielle Integration scheidet völlig aus, da
> dadurch mein Integral immer unschöner wird. Mit der
> Substitution des Nenners war ich auch nicht erfolgreich.
> Könnte man nicht irgendwie den Zähler als Ableitung des
> Nenners zurückführen und dann beim Substituieren was
> wegkürzen? Meine einzige Idee, die ich nicht umsetzen kann
> ...
Die Idee ist schon gut, aber du musst zuerst den Integranden mittel Partialbruchzerlegung vereinfachen. Der Nenner ist ja [mm] $x^3+x^2+x=x(x^2+x+1)$, [/mm] daher kannst du
[mm] \bruch {x^2-1}{x^3+x^2+x} = \bruch{A}{x} + \bruch{Bx+C}{x^2+x+1} [/mm]
zerlegen. Bestimme A, B, und C und integriere die beiden Summanden getrennt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 06.04.2008 | | Autor: | MrPotter |
Hallo Rainer,
tut mir leid. Aber ich hatte vergessen zu erwähnen, dass wir noch keine Partialbruchzerlegung behandelt hatten (Ich glaub, die würde mir jedoch in vielen Fällen weiterhelfen - Dies ist wieder mal ein Beispiel dafür)
Das muss bei der Aufgabe auch anders gehen. Vielleicht mit irgendeinem Faktor erweitern? Nur welcher?
Grüße
MrPotter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 So 06.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Ich glaube auch, dass dieses Integral nur (oder am ehesten) per Partialbruchzerlegung zu berechnen ist.
Wenn im Nenner das x² nicht stünde, wäre es "relativ gut" oder jedenfalls möglich so zu berechnen.
Mit Polinomdivision kommst du auch nicht viel weiter, weil der Exponent im Nenner höher, als der im Zähler ist.
Wenn du es "zwingend" per Substitution berechnen willst, wäre das eine "sehr umfangreiche Sache"; weil nach dem Substituieren noch ein x in deiner Gleichung stünde, welches auch wieder substituiert werden müsste.
Das wäre relativ kompliziert, falls du wirklich den gesamten Nenner substituierst.
Naja, vllt weiß es ja noch jemand besser ;)
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 So 06.04.2008 | | Autor: | MrPotter |
Da ich selber hier in diesem Forum keine Antwort auf meine eigene Frage geben kann, muss ich das leider in Form einer Mitteilung machen.
Also, ich habe ein Lösung ohne Partialbruchzerlegung gefunden! Es ist ganz simpel. Man muss Zähler, sowie Nenner mit dem Faktor [mm]\bruch {1}{x^2}[/mm] erweitern und erhält somit im neuen Zähler die Ableitung des neuen Nenners. Wenn man nun den Nenner substituiert und dz nach dx ableitet, kürzt sich der Zähler mit dem für dx eingesetzen Wert und man erhält integriert
ln |z|. Nun noch eine Resubstitution und schon hat man die Stammfunktion.
Gemeine Aufgabe finde ich
Danke an alle fleißigen Helfer! Drückt mir die Daumen für morgen! ^^
Liebe Grüße
MrPotter
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Hi, MrPotter,
obwohl Du's ja nun gelöst hast, hier meine Idee.
Ich hab's auch mit PBZ gelöst und wusste drum, was rauskommt, nämlich:
[mm] ln(\bruch{x^{2}+x+1}{x}) [/mm] (+c) (zumindest für x > 0)
Daraufhin hab' ich die Substitution z = [mm] \bruch{x^{2}+x+1}{x} [/mm]
genommen
und bin (natürlich!) auch zum Ziel gekommen.
(Das reimt sich - und was sich reimt, ...)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Ich wollt nur mal ebend fragen; ich kann nicht wirklich nachvollziehen, was es dir gebracht haben soll mit x² zu erweitern.
Ich habe es des Spaßes halber mit einer Partialbruchzerlegung versucht zu lösen.
Ich erhalte dann:
[mm] \integral{\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x²+x+1} dx}
[/mm]
der zweite Audruck sollte irgendwas mit arctan geben, was ich aber leider nicht berechnen kann; denke, dass man es irgendwie so substituieren müssen, dass unten z²+1 im Nenner steht; gelungen ist mir das aber leider nicht.
Also erhalte ich eine andere Lösung als beide über mir; wer hat nun Recht?
Lg
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Hallo Maggons,
> Hallo!
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> Ich wollt nur mal ebend fragen; ich kann nicht wirklich
> nachvollziehen, was es dir gebracht haben soll mit x² zu
> erweitern.
Richtig ist Zähler und Nenner mit [mm]x^{-2}[/mm] zu erweitern:
[mm]\bruch{x^{2}-1}{x^{3}+x^{2}+x}=\bruch{x^{-2}*\left(x^{2}-1\right)}{x^{-2}*\left(x^{3}+x^{2}+x\right)}=\bruch{x^{0}-x^{-2}}{x^{1}+x ^{0}+x^ {-1}}=\bruch{1-x^{-2}}{x+1+x^ {-1}[/mm]
Dann steht im Zähler die Ableitung des Nenners.
Übrigens den Erweiterungsfaktor bekommt man aus der DGL
[mm]\left(p\left(x\right)*\left(x^{3}+x^{2}+x\right)\right)'=p\left(x\right)*\left(x^{2}-1\right)[/mm]
>
> Ich habe es des Spaßes halber mit einer
> Partialbruchzerlegung versucht zu lösen.
>
> Ich erhalte dann:
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x²+x+1} dx}[/mm]
Richtig heisst es:
[mm]\integral{\red{-}\bruch{1}{x}\red{+}\bruch{\red{2x+1}}{x²+x+1} dx}[/mm]
Denn
[mm]\bruch{x^{2}-1}{x^3+x^{2}+x}=\bruch{A}{x}+\bruch{Bx+C}{x^{2}+x+1}[/mm]
Siehe dazu: [url=http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung#Ansatz] Partialbruchzerlegung[/mm]
>
> der zweite Audruck sollte irgendwas mit arctan geben, was
> ich aber leider nicht berechnen kann; denke, dass man es
> irgendwie so substituieren müssen, dass unten z²+1 im
> Nenner steht; gelungen ist mir das aber leider nicht.
>
> Also erhalte ich eine andere Lösung als beide über mir; wer
> hat nun Recht?
Irrtum, das liefert dieselbe Stammfunktion.
>
> Lg
Gruß
MathePower
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 18:53 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Oh, da hab ich mich verlesen bezüglich des Erweiterns und zudem noch das Integral von
[mm] f(x)=\bruch{x²+1}{x³+x²+x} [/mm] berechnet.
2 dumme Fehler meinerseits; trotzdem vielen Dank für die flotte Hilfe.
Ciao
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