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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 21:43 Mo 20.09.2004 | | Autor: | Sigrid |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt
Hallo Zwieback
In einer Sammlung von Olympiadeaufgaben habe ich folgende Aufgabe für Klasse 10 gefunden.
Es seien zwei Punkte P und Q innerhalb eines Kreises k gegeben. Konstruiere ein dem Kreis k einbeschriebenes rechtwinkliges Dreieck, dessen eine Kathete durch P und dessen andere Kathete durch Q geht.
Bei welcher Lage von P und Q ist diese Aufgabe nicht lösbar?
Viel Spaß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 Mo 20.09.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Hallo storch,
vielen Dank für die Aufgabe, werde mich auch gleich mal ransetzen, wollte nur noch wissen aus welcher Runde diese Aufgabe stammt, weisst du das?
mfg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:54 Di 21.09.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Zwieback
Aus welcher Runde die Aufgabe stammt, kann ich nicht sagen. Ich weiß nicht einmal, aus welchem Land sie stammt. Ich vermute aber, dass es 1. oder 2. Runde ist.
Schreibe mal, wie du den Schwierigkeitsgrad empfindest. Ich suche dann entsprechend weitere Aufgaben.
Gruß Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Di 21.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Sigrid!
Gehe ich richtig in der annahme, dass die Eckpunkte des Dreiecks auf der Peripherie des Kreises liegen sollen?
Gruß,
Hanno
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:25 Di 21.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Sigrid und alle anderen!
Hier die Lösung:
Es ist genau dann nicht möglich, ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, wenn P,Q und M auf einer Linie liegen. Dies folgt daraus, dass für alle zwei Punkte P und Q, die nicht mit M auf einer Linie liegen, ein rechtwinkliges Dreieck wie folgt konstruiert werden kann:
Man ziehe eine Gerade durch den Mittelpunkt und einen der beiden Punkte P,Q. Nun ziehe man eine Gerade durch einen der Schnittpunkte zwischen Gerade und Kreisperipherie und den verbleibenden Punkt. Den entstandenen Schnittpunkt mit der Kreisperipherie verbinde man einen der beiden mit dem Schnittpunkt zwischen Kreis und der ersten Geraden durch den Mittelpunkt. Dann haben wir ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert. Das liegt daran, dass über der Gerade durch den Mittelpunkt ein Halbkreis liegt. Nach dem Satz des Thales ist jedes Dreieck, welches nun aus dieser Basis und den Strecken beider Enden mit einem beliebigen Punkt auf dem Kreisbogen gebildet, rechtwinklig.
Diese Konstruktion ist genau dann nicht möglich, wenn P,Q und M auf einer Linie liegen, da dann zweie der drei Geraden identisch wären.
Gruß,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Di 21.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Wie angedroht, musst du jetzt mit Nachfragen eines Laien rechnen, dessen Geometriekenntnisse sich auf dem Niveau eines mittelmäßigen Siebenklässlers (ohne denen Unrecht tun zu wollen) liegt.
Ich habe deine Konstruktion mal nachvollzogen. Bei mir liegt der Punkt $P$ auf der Hypotenuse und nicht, wie gefordert, auf einer der beiden Katheten.
Was habe ich falsch gemacht?
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Di 21.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Da hast dsu nichts falsch gemacht, da habe ich einfach mist gemacht und vergessen, dass P und Q auf den Katheten liegen müssen.
Tut mir leid :-(
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Di 21.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Kein Problem. Im Gegenteil, du beruhigst mich damit ungemein. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Hanno
irgendwie freut es mich, dass ich nicht der einzige bin, der sich verspekuliert!
Ich traute mich nämlich schon fast nicht mehr, überhaupt irgendwelche Antworten zu geben, bei dem Mist, der manchmal herauskam. Aber jetzt bin ich wieder motiviert!
Liebe Grüsse
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Di 21.09.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Hallo Hanno,
Deine Schlussfolgerung, dass Q, P und M nicht auf einer Gerade liegen dürfen ist trotzdem richtig, da wie ich hoffentlich richtig denke, jedes eingeschriebene rechtwinklige Dreieck in einem Kreis ein "Thales" Dreieeck ist.
Weiterhin ist klar, dass P ungleich Q sein muss, jedoch komme ich einfach nicht weiter. ICh denke das schwierige an der AUfgabe ist einfach, nicht zu wissen wie man aus 2 beliebeigen Punkten ein rechtwinkliges Dreieck dem KReis einbeschrieben konstruiert.
Vielleicht kann da jemand ein Tipp geben, ich komme einfach nicht weiter.
mfg
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Also entweder verstehe ich jetzt etwas ganz falsch oder die Aufgabe ist simpel. Nennen wir das gesuchte Dreieck ABC mit rechtem Winkel bei C. Dann ist PQC rechtwinklig, so daß C auf dem Thaleskreis über der Strecke PQ liegen muß. Dies ermöglicht die Konstruktion von C. Mit Hilfe der Geraden CP bzw. CQ findet man A und B.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Di 21.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
> Also entweder verstehe ich jetzt etwas ganz falsch oder die
> Aufgabe ist simpel. Nennen wir das gesuchte Dreieck ABC mit
> rechtem Winkel bei C. Dann ist PQC rechtwinklig, so daß C
> auf dem Thaleskreis über der Strecke PQ liegen muß. Dies
> ermöglicht die Konstruktion von C. Mit Hilfe der Geraden CP
> bzw. CQ findet man A und B.
>
Gratulation!!!
Mensch, geht das einfach ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") !!!!!
Im Prinzip ist das richtig. Zu dem anderen Augabenteil, wann ein solches Dreieck konstruierbar ist, muss es lediglich einen Schnittpunkt zwischen dem Taleskreis durch P und Q und dem ursprünglichen Kreis geben, ist dies nicht der Fall, so kann es kein in dem Kreis einbeschriebenes rechtwinkliges Dreieck geben, bei dem sowohl Q, als auch P auf unterschiedlichen Kateten liegen.
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Di 21.09.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
Leopold hat Recht. Immer dann wenn der Thaleskreis über der Strecke PQ einen gemeinsamen Punkt mit dem gegebenen Kreis k hat, gibt es eine Lösung.
Gruß Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Di 21.09.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Sehr schön!!
Hat mir sehr gefallen, da die Lösung ja auch so logisch ist, wäre trotzdem erstmal nicht drauf gekommen.
Hast du noch mehr von solchen Aufgaben?mfg
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