Geometrische Reihe < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Mo 19.09.2005 | | Autor: | didda |
Ich habe diese Frage noch in keinem anderem Forum gepostet!
Recht schönen guten Abend allerseits,
ich hänge jetzt schon seit Freitag nachmittag an einer dummen Aufgabe, nämlich die geometrische Reihe, also a + a*q + [mm] a*q^2+....+a*q^n, [/mm] durch vollständige induktion. Habe schon einen Freund von mir der Mathe studiert gefragt ob er es mir erklären könne, was er auch konnte, was aber daran scheiterte dass er hat dabei sehr oft das Summenzeichen, also dieses große "E" benutzt, werlches wir in der Schule noch nicht hatten. Ich hab auch schon versucht mir was zu ergooglen, aber alle beweise die ich gefunden habe waren ebenfalls mit diesem Summenzeichen, aber ich brauche es ja wie gesagt durch vollständige nduktion. Wäre echt supi wenn ihr mir ein bisschen helfen könntet, so langsam fange ich nämlich an zu verzweifeln *g*.
Für Nachfragen i.ä. bin ich natürlich immer da.
MfG,
david
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Mo 19.09.2005 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo didda!
Du willst also
$a +aq+aq^2+\ldots+aq^n = a \cdot \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$
mittels vollständiger Induktion nach $n$n beweisen. Den Induktionsanfang wirst du wohl selber hinbekommen; ich mache dir nur den Induktionsschritt vor:
$a+aq+aq^2 + \ldots +aq^n+aq^{n+1}$
$= (a+aq+aq^2 + \ldots +aq^n)+aq^{n+1}$
$\stackrel{(IV)}{=} a \cdot \frac{q^{n+1}-1}{q-1}} + aq^{n+1}$
$= a \cdot \frac{q^{n+1}-1 + (q-1) \cdot q^{n+1}}{q-1}$
$=a \cdot \frac{q^{n+1}-1+q^{n+2} - q^{n+1}}{q-1}$
$= a \cdot \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$,
was zu zeigen war.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mo 19.09.2005 | | Autor: | didda |
Hallo!
Ersteinmal danke für die Antwort, bis zu deiner zweiten Zeile bin ich auch noch alleine gekommen, aber danach hakt es irgendwie ein bisschen. Was bedeutet das Gleichheitszeichen mit der römischen 4 und wiso kann man den Term in der Klammer einfach durch [mm] \frac{q^{n+1}-1}{q-1} [/mm] ersezten?
mfg,
david
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Hallo David!
> Ersteinmal danke für die Antwort, bis zu deiner zweiten
> Zeile bin ich auch noch alleine gekommen, aber danach hakt
> es irgendwie ein bisschen. Was bedeutet das
> Gleichheitszeichen mit der römischen 4 und wiso kann man
> den Term in der Klammer einfach durch [mm]\frac{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm]
> ersezten?
Die römische vier über dem Gleichheitszeichen ist gar keine vier, sondern die Abkürzung für "Induktionsvoraussetzung". Und das ist dann auch genau die Antwort auf die Frage, warum man die Klammer durch den Term da ersetzen kann. Und zwar ist doch die Induktionsvoraussetzung, dass die Gleichung, die du ja eigentlich zeigen sollst, bis zu einem bestimmten n schon gilt, und du sollst dann zeigen, dass sie auch für das nächste n, also für n+1 gilt. Wenn du nämlich vorher noch den Induktionsanfang gezeigt hast, dann weißt du, dass die Gleichung für n=0 gilt, da du aber im Induktionsschritt zeigst, dass sie auch für n+1 gilt, gilt sie dann auch für n=0+1=1, da sie nun aber wiederum auch für n+1 gilt, gilt sie auch für n=1+1=2 und so weiter. Also gilt sie dann für alle n. Das ist das Prinzip der vollständigen Induktion, hast du das schon verstanden?
Übrigens gibt es auch einen "Zitieren"-Button, damit kannst du die Antwort zitieren und deine Frage direkt an die Stelle schreiben, die du nicht verstehst.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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