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| Aufgabe | Beweisen Sie: Wenn bei einem Laplaceschen Ereignisfeld gilt :
P(A) = 1- P(B) und A [mm] \cap B=\emptyset, [/mm] dann ist B = [mm] \overline{A}.
[/mm]
Gib für die geometrische Wahrscheinlichkeit ein Beispiel an, für das die Aussage oben NICHT gilt. |
Hallo,
mir ist klar, dass diese Frage schoneinmal gestellt wurde, leider verstehe ich die Erklärungen dort nicht.
Den ersten Teil konnte ich Beweisen nur den Teil mit der geometrischen Wahrscheinlichkeit habe ich Probleme.
Der große Unterschied scheint doch zu sein, dass die geometrische wahrscheinlichkeit eine unendliche Ergebnismenge aufweisst.
Ich frage mich nur wie ich dies in einem beispiel angeben soll (dummerweise steht da auch nicht ob ich es mithilfe einer Formel aufzeigen soll)
Es würde mich freuen , wenn sich jemand findet der diesen Teil der Aufgabe für Begriffsstutzige erklären kann.
Vilen Dank im voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Di 06.09.2011 | | Autor: | Nisse |
> A [mm]\cap[/mm] B
Dieser Ausdruck macht noch keinen Sinn. Überprüfe bitte einmal, was genau in der Aufgabe steht. Ich würde vermuten [mm]A \cap B = \emptyset[/mm], also A und B sind disjunkt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Mi 07.09.2011 | | Autor: | Windbeutel |
Entschuldigung, du hast natürlich recht es muss natürlich A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset
[/mm]
heissen.
L.G
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Di 06.09.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin
> mir ist klar, dass diese Frage schoneinmal gestellt wurde,
> leider verstehe ich die Erklärungen dort nicht.
>
>
Und wo ist "dort"?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 Mi 07.09.2011 | | Autor: | Windbeutel |
https://matheraum.de/forum/Beweis_Ereignisfeld/t97594
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Mi 07.09.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> Gib für die geometrische Wahrscheinlichkeit ein Beispiel
> an, für das die Aussage oben NICHT gilt.
Was soll das heißen? - Wenn man die Aussage beweisen soll, dann gilt sie doch IMMER. Ansonsten hätte man doch ein Gegenbeispiel, und das wäre der beste Beweis, dass man die Aussage nicht beweisen kann.
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> > Gib für die geometrische Wahrscheinlichkeit ein Beispiel
> > an, für das die Aussage oben NICHT gilt.
>
> Was soll das heißen? - Wenn man die Aussage beweisen soll,
> dann gilt sie doch IMMER. Ansonsten hätte man doch ein
> Gegenbeispiel, und das wäre der beste Beweis, dass man die
> Aussage nicht beweisen kann.
Guten Abend rabilein,
der wesentliche Punkt liegt in der Unterscheidung zwischen
"Laplaceschem Ereignisfeld" und "geometrischer Wahrschein-
lichkeit".
Pierre Simon Marquis de Laplace befasste sich (als einer der
Begründer der Wahrscheinlichkeitsrechnung) mit Zufallsver-
suchen, bei denen eine Anzahl (n) von gleichwahrscheinlichen
Elementarereignissen (je mit Wahrscheinlichkeit p=1/n>0) be-
trachtet wurde. Später wurde der Begriff der Wahrscheinlichkeit
so erweitert, dass es auch zulässig wurde, "Ereignisse" zu
definieren, denen rechnerisch die Wahrscheinlichkeit 0 (im
Sinne der mathematischen ![[]](/images/popup.gif) Maßtheorie) zukommt, obwohl sie
nicht im logischen Sinne unmöglich sind.
Nehmen wir einmal an, über einem quadratischen Feld
von einer Hektare regne es. Die Wahrscheinlichkeit,
dass ein bestimmter Tropfen auf einen bestimmten
Punkt des Feldes fällt, sei "brüderlich verteilt" für alle
Punkte des Feldes. Die gesamte Wahrscheinlichkeit,
dass ein Tropfen (um ganz exakt zu sein, sollte man den
Mittelpunkt des Tropfens betrachten) auf die linke Hälfte
des Quadrates fällt, ist gleich 0.5 (Anteil an der gesamten
Fläche). Ebenso ist die W'keit, dass der Tropfen auf die
rechte Hälfte fällt, gleich 0.5. Der Mittelpunkt des Tropfens
könnte aber auch exakt auf die Trennlinie fallen. Da der
Flächeninhalt dieser Trennlinie aber gleich Länge [mm] \times [/mm] Breite
= 100 m [mm] \times [/mm] 0 m =0 [mm] m^2 [/mm] ist , hat dieses Ereignis die Wahr-
scheinlichkeit Null, obwohl es logisch gesehen nicht
wirklich absolut ausgeschlossen ist.
In das einfache Modell nach Laplace passt dieses Zufalls-
experiment natürlich nicht (falls man annimmt, dass für
den Punkt, auf den ein Regentropfen fällt, unendlich viele
Positionen in Frage kommen).
Sei nun x die links-rechts-Koordinate des Auftreffpunktes
(Tropfenmittelpunkt) eines Regentropfens auf das quadratische
Feld, dessen Seitenlänge 100 m beträgt.
Sei ferner A:="x<50" und B:="x>50" . Dann ist P(A)=P(B)=0.5 ,
also P(A)=1-P(B) . Ferner ist [mm] A\cap{B}=\emptyset [/mm] , aber A und B
sind nicht komplementär, weil dazwischen eben noch die Trennlinie
x=50 liegt, der zwar rechnerisch nur die Wahrscheinlichkeit 0
zukommt, die aber doch nicht eine leere Menge ist.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 08.09.2011 | | Autor: | Nisse |
> > > Gib für die geometrische Wahrscheinlichkeit ein Beispiel
> > > an, für das die Aussage oben NICHT gilt.
> >
> > Was soll das heißen? - Wenn man die Aussage beweisen soll,
> > dann gilt sie doch IMMER. Ansonsten hätte man doch ein
> > Gegenbeispiel, und das wäre der beste Beweis, dass man die
> > Aussage nicht beweisen kann.
>
> der wesentliche Punkt liegt in der Unterscheidung zwischen
> "Laplaceschem Ereignisfeld" und "geometrischer
> Wahrschein-
> lichkeit".
Ich vermute, dass mit "geometrischer Wahrscheinlichkeit" die "geometrische Verteilung" gemeint ist, die bei Wartezeitproblemen Anwendung findet.
Nehmen wir also ein typisches Wartezeitproblem: Warten auf die erste Sechs beim Mensch-ärgere-dich-nicht.
"Wirf einen fairen Würfel. Wenn er keine Sechs anzeigt, würfele erneut. Zähle, wie oft Du würfelst."
Die geometrische Verteilung (mit p=[mm]\frac{1}{6}[/mm]) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit man genau n-mal würfeln muß.
[mm]P (X=n) = p (1-p)^{n-1}[/mm]
Jetzt müssen wir nur geeignete [mm]\Omega, A, B, \omega[/mm] finden, so dass:
(i)[mm]A, B \subset \Omega[/mm]
(ii)[mm]A \cap B = \emptyset[/mm]
(iii)[mm]P(A)+P(B)=1[/mm]
(iv)[mm]\omega \in \Omega[/mm]
(v)[mm]\omega \notin A[/mm]
(vi)[mm]\omega \notin B[/mm]
Bis hierhin alles klar?
(Da es in der Ursprungsfrage anscheinend doch nicht um die geometrische Verteilung geht, kann ich meinen Ansatz hier auch auflösen)
Da A und B alle Wahrscheinlichkeits-Masse tragen, kann nur [mm]P(\omega)=0[/mm] gelten.
Ein theoretisches Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 0 bei einem Wartezeit-Problem ist die unendliche Wartezeit "Es wird niemals eine Sechs gewürfelt"
[mm]P(n=\infty ) = 0[/mm]
Dann teilen wir einfach die Zahlen in der Mitte
[mm]A := \{ 2k, k\in\IN \}[/mm] "Gerade Anzahl von Würfen"
[mm]B:= \{ 2k+1, k\in\IN \}[/mm] "Ungerade Anzahl von Würfen"
und müssen unseren Ergebnisraum groß genug definieren
[mm]\Omega = \IN \cup \{ \infty \} [/mm]
Fertig.
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> > > > Gib für die geometrische Wahrscheinlichkeit ein Beispiel
> > > > an, für das die Aussage oben NICHT gilt.
> > > Was soll das heißen? - Wenn man die Aussage beweisen soll,
> > > dann gilt sie doch IMMER. Ansonsten hätte man doch ein
> > > Gegenbeispiel, und das wäre der beste Beweis, dass man die
> > > Aussage nicht beweisen kann.
> >
> > der wesentliche Punkt liegt in der Unterscheidung zwischen
> > "Laplaceschem Ereignisfeld" und "geometrischer
> > Wahrscheinlichkeit".
>
> Ich vermute, dass mit "geometrischer Wahrscheinlichkeit"
> die "geometrische Verteilung" gemeint ist, die bei
> Wartezeitproblemen Anwendung findet.
Hallo Nisse,
das glaube ich nicht.
"Geometrische Verteilung" ist zwar der allererste Eintrag, den
Google bei der Suche nach "geometrische Wahrscheinlichkeit"
liefert.
Thematisch besser beraten ist man da etwa bei dieser Seite .
Bei der Google-Übersetzung aus dem Englischen gibt's da
auch noch einiges zu lachen 
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Do 08.09.2011 | | Autor: | Nisse |
> > Ich vermute, dass mit "geometrischer Wahrscheinlichkeit"
> > die "geometrische Verteilung" gemeint ist, die bei
> > Wartezeitproblemen Anwendung findet.
>
> das glaube ich nicht.
Oh ja, du hast Recht. Den Begriff kannte ich so noch nicht.
Und dass, obwohl es meine Lieblingsmethode umfasst, [mm]\pi[/mm] zu bestimmen...
Meine Lieblingsaussage ist übrigens eine Verallgemeinerung deines Beispiels:
"Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Bruchzahl zu treffen?"
Etwa, schneide einen 10cm langen Papierstreifen an zufälliger Stelle in zwei Teile. Wie warscheinlich ist es, dass sich die Länge als Bruch [mm]\frac{a}{b} \quad a,b \in \IZ[/mm] darstellen läst?
(Analog mit Fläche, Dartpfeil und Darstellung der Koordianten)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Do 08.09.2011 | | Autor: | Windbeutel |
Danke euch alle für eure Mühe, ihr habt mir schon sehr weitergeholfen.
Also mein Schulbuch definiert "geometrische Wahrscheinlichkeit" in erster Linie so:
Erweiterung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs, so dass Wahrscheinlichkeiten auch für bestimmte unendliche Ergebnismengen eingeführt werden.
L.G.
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> Danke euch alle für eure Mühe, ihr habt mir schon sehr
> weitergeholfen.
> Also mein Schulbuch definiert "geometrische
> Wahrscheinlichkeit" in erster Linie so:
>
> Erweiterung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs, so dass
> Wahrscheinlichkeiten auch für bestimmte unendliche
> Ergebnismengen eingeführt werden.
>
> L.G.
Ja - und der Ausdruck "geometrisch" kommt dabei
daher, dass man die Ergebnismenge und ihre Teilmengen,
die Ereignisse, durch geometrische Punktmengen wie
Intervalle, Flächenstücke oder Volumina darstellen kann.
Geometrisch darstellen könnte man allerdings auch
endliche (Laplace-) Ergebnismengen ... Der Begriff
"geometrische Wahrscheinlichkeit" ist deshalb nicht
wirklich ein mathematisch ganz treffender Begriff und
wird von Mathematikern auch kaum verwendet.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 08.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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