Gerade g - Vorgehen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben Sie eine Gleichung an für eine Gerade h, die die Gerade g schneidet, eine Gerade i, die zur Geraden g parallel ist und eine Gerade j, die die zur Geraden g windschief ist.
[mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] t*\vektor{7 \\ 3 \\ 1} [/mm] |
Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Wie ist das methodische Vorgehen bei dieser Aufgabe?
Mir sind fast alle Begrifflichkeiten klar. Das einzige was mir Probleme bereitet ist das Wort "windschief" (wir haben das noch nicht in der Schule gemacht, bereite mich gerade aber auf die Klausur vor).
Liebe Grüße,
Sarah 
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Hallo Sarah!
Erst einmal zum Begriff windschief: Wenn zwei geraden im Raum windschief sind dann heisst dass sie nicht parallel sind sich auber auch nicht schneiden. ok?
Allgemein: 1. Gerade [mm] g:\vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{b} [/mm] und zweite Gerade [mm] h:\vec{x}=\vec{c}+s\cdot\vec{d}
[/mm]
Zwei Geraden sind dann parallel wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind also zb [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{ 5 \\ 5 \\ 5} [/mm] sind linear abhängig. zusätzlich muss gefordert werden dass der Richtungsvektor der Geraden g und die Differenz der Stützvektoren der Geraden g und h linear unabhängig sind.
Zwei Geraden schneiden sich dann wenn die Richtungsvektoren der Geraden linear unabhängig sind. Ausserdem muss die Differenz der Stützvektoren beider Geraden auch müssen [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{d} [/mm] linear abhängig sein.
Damit zwei Geraden windschief sind müssen [mm] \vec{b} [/mm] , [mm] \vec{d} [/mm] und [mm] \vec{a}-\vec{c} [/mm] linear unabhängig sein. Dabei sind auch beide Richtungsvektoren linear unabhängig. Es ist wirklich nicht schwer auch wenn sich das jetzt kompliziert liest Schreib mal die Geradegleichungen auf wir können sie dann kontrollieren.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du kannst als Aufpunkt auch irgeneinen Punkt nehmen, der nicht auf g liegt,
z.B. O(0|0|0).
Wenn die du nun eine Parallele Gerade zu g suchst, kannst du den gleichen Richtungsvektor wie den von g nehmen im einfachsten Fall.
Und suchst du eine windschiefe Gerade, so darf ihr Richtungsvektor kein Vielfaches von dem von g sein. Da du da eine sehr große Auswahlö hast, wirst du schon was finden :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Sa 01.03.2008 | | Autor: | crashby |
GUten Abend,
also wenn ich das so richtig sehen, hast du es noch nicht so verstanden
Zeichne dir doch mal deine Ergebnisse ins Koordinatensystem dann wirst du schon beim ersten was sehen.
Ich versuch es nochmal anders dir das mit der Parallelität zu erklären.
Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn die Richtungsvektoren linear abhängig sind, sprich der eine Richtungsvektor ist ein vielfaches vom anderen.
Machen wir ein Beispiel:
$ [mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+r\cdot \vektor{3\\1\\1} [/mm] $
Wir suchen also eine Gerade die parallel zu G verläuft.
Es muss sich nur der RIchtungsvekotr verändern!
Hier schon mal eine Frage für dich
Sind die Vekotren $ [mm] \vektor{4\\2\\2} [/mm] $ und $ [mm] \vektor {2\\1\\1} [/mm] $ linear abhängig ?
Kannst dauraus gerne auch zwei Geraden machen und einmal ins KS eintragen.
Ich hoffe das hilft erstmal :)
lg George
schön ABend noch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Sa 01.03.2008 | | Autor: | crashby |
Supi weißt du auch wie man das mathematisch korrekt ausrechnest bzw aufschreibst :) ?
Findest du jetzt eine Gerade die Parallel zu g ist ?
lg
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Hallo Crashby ,
Die Parallele für g würde also lauten:
[mm] h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + t*?
Hier habe ich das Problem, weil der Ortsvektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] ist. Im Prinzip müsste der Richtungsvektor dann ja auch [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] sein, oder? Wenn man dann den Richtungsvektor mit 1 multipliziert, dann erhalten wir den gleichen Vektor wie den Ortsvektor. Das Problem sind meiner Meinung nach die Nullen, da wenn man die mit einer Zahl multiplizieren will, immer Null heraus kommt.
Liebe Grüße,
Sarah
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Sa 01.03.2008 | | Autor: | alex42 |
Hallo Sarah,
ich glaube, bei dir sind noch ein paar Unklarheiten. Ich versuche mal, sie auszuräumen:
In der Vektordarstellung wird eine Gerade ja durch zwei Vektoren beschrieben, dem Ortsvektor und dem Richtungsvektor. Der Ortsvektor gibt dir einen Punkt, durch den die Gerade geht. Der Richtungsvektor sagt dir, wie der Name schon sagt, in welche Richtung die Gerade verläuft.
Wenn zwei Geraden parallel sind, gehen sie "in die selbe Richtung". Die beiden Richtungsvektoren der Geraden müssen also in die selbe Richtung zeigen (oder gerade in entgegengesetzte). Mathematisch heißt das, das die beiden Vektoren "linear abhänig" sind, also der eine Vektor ist ein Vielfaches des anderen. Zum Beispiel wie oben [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ 2}, [/mm] aber auch [mm] \vektor{-2 \\ -1 \\ -1} [/mm] (der geht in die entgegengesetzten Richtung).
Wenn du also prüfen möchtest, ob zwei Geraden parallel sind, schaust du dir nur die Richtungsvektoren an. Sind diese linear abhänig, dann betrachtest du die Ortsvektoren, um zu schauen, ob die Geraden gleich sind.
Suchst du umgekehrt eine Parallele zu einer Geraden g, musst du wie immer einen Ortsvektor und einen Richtungsvektor finden. Den Richtungsvektor findest du ganz leicht, indem du ein Vielfaches des Richtungsvektors der Geraden g. Wenn in der Aufgabenstellung nichts bestimmtes gefordert ist, kannst du hier einfach den Richtungsvektor übernehmen. Im Beispiel von oben wäre das also [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 1}.
[/mm]
Nun fehlt nur noch der Ortsvektor. Wenn du hier einen Punkt nimmst, durch den g verläuft - insbesondere beim Ortsvektor von g - sind die Geraden gleich, denn dann gehen sie ja durch den selben Punkt und in die selbe Richtung. Der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] ist also nicht zu empfehlen. Besser wäre zum Beispiel [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] oder auch [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, [/mm] denn diese "Punkte" liegen recht offensichtlich nicht auf g. In der Schule ergibt sich der Vektor in der Regel aus der Aufgabe.
Eine mögliche Parallele zur Geraden g wäre also
h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + t * [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 1}.
[/mm]
Ich hoffe, ich habe dich jetzt nicht noch mehr verwirrt oder nur bereits Bekanntes erzählt.
Viele Grüße,
Alex
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Hallo Zusammen ,
Danke für deine Antwort, die hat mich in diesem Matherätsel etwas weiter gebracht:
> In der Vektordarstellung wird eine Gerade ja durch zwei
> Vektoren beschrieben, dem Ortsvektor und dem
> Richtungsvektor. Der Ortsvektor gibt dir einen Punkt, durch
> den die Gerade geht. Der Richtungsvektor sagt dir, wie der
> Name schon sagt, in welche Richtung die Gerade verläuft.
Okay, mir war das so nie richtig bewusst.
> Wenn zwei Geraden parallel sind, gehen sie "in die selbe
> Richtung". Die beiden Richtungsvektoren der Geraden müssen
> also in die selbe Richtung zeigen (oder gerade in
> entgegengesetzte). Mathematisch heißt das, das die beiden
> Vektoren "linear abhänig" sind, also der eine Vektor ist
> ein Vielfaches des anderen. Zum Beispiel wie oben [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> und [mm]\vektor{4 \\ 2 \\ 2},[/mm] aber auch [mm]\vektor{-2 \\ -1 \\ -1}[/mm]
> (der geht in die entgegengesetzten Richtung).
Okay, um einen Vektor linear abhängig zu machen, muss es ein vielfaches von dem ersten Vektor sein.
Heißt das, dass ich einen zweiten Vektor finden muss, der wenn man ihn mit einer Zahl x multipliziert, den ersten Vektor ergeben muss?
Oder ich bilde einfach den Gegenvektor?
Ich glaube da liegt mein Problem: Bei der Ab- bzw Unabhängigkeit.
> Wenn du also prüfen möchtest, ob zwei Geraden parallel
> sind, schaust du dir nur die Richtungsvektoren an. Sind
> diese linear abhänig, dann betrachtest du die Ortsvektoren,
> um zu schauen, ob die Geraden gleich sind.
Wie müssen die Ortsvektoren aussehen, damit sie gleich sind? Gleiche Zahlen?
Liebe Grüße,
Sarah
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> Der Richtungsvektor sagt dir, wie der
> Name schon sagt, in welche Richtung die Gerade verläuft.
>
> Okay, mir war das so nie richtig bewusst.
Hallo,
vergiß es nie mehr.
Der Ortsvektor bestimmt die Stelle im Raum, an welcher die Gerade sich befindet. Du kannst es Dir so vorstellen, daß ein langer Stab (In Richtung des Richtungsvektors) am Ortsvektor festgeklebt wird.
> Okay, um einen Vektor linear abhängig zu machen, muss es
> ein vielfaches von dem ersten Vektor sein.
> Heißt das, dass ich einen zweiten Vektor finden muss, der
> wenn man ihn mit einer Zahl x multipliziert, den ersten
> Vektor ergeben muss?
Ja.
>
> Oder ich bilde einfach den Gegenvektor?
Das ist ja eine Multiplikation mit -1.
>
> Ich glaube da liegt mein Problem: Bei der Ab- bzw
> Unabhängigkeit.
>
> > Wenn du also prüfen möchtest, ob zwei Geraden parallel
> > sind, schaust du dir nur die Richtungsvektoren an. Sind
> > diese linear abhänig, dann betrachtest du die Ortsvektoren,
> > um zu schauen, ob die Geraden gleich sind.
>
> Wie müssen die Ortsvektoren aussehen, damit sie gleich
> sind? Gleiche Zahlen?
Nein, keinesfalls.
Wenn die Richtungen der Geraden übereinstimmen, müssen wir gucken, ob der Ortsvektor der einen Geraden auch zu der anderen Geraden gehört.
Ich mache mal ein Beispiel:
Wir schauen uns
[mm] g_1: \vec{x}=\vektor{1 \\ 2\\3}+ \lambda\vektor{4 \\ 5\\6} [/mm]
und
[mm] g_2: \vec{x}=\vektor{21 \\ 27\\33}+ \lambda\vektor{-12 \\ -15\\-18}
[/mm]
an.
Offensichtlich (siehst Du es?) sind die Geraden parallel.
Ob die Geraden gleich sind findest Du heraus, indem Du nachschaust, ob der Punkt [mm] \vektor{21 \\ 27\\33} [/mm] auch auf [mm] g_1 [/mm] liegt.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela ,
> vergiß es nie mehr.
Nee, ich glaube, das ist jetzt in meinem Kopf.
Vielleicht sollte ich noch sagen, dass das hier gerade kein richtiger Schulstoff und auch keine Hausaufgaben sind, sondern Übungen für die Klausur, auf die ich so gut wie möglich vorbereitet sein möchte.
>
> Wenn die Richtungen der Geraden übereinstimmen, müssen wir
> gucken, ob der Ortsvektor der einen Geraden auch zu der
> anderen Geraden gehört.
>
> Ich mache mal ein Beispiel:
>
> Wir schauen uns
>
> [mm]g_1: \vec{x}=\vektor{1 \\ 2\\3}+ \lambda\vektor{4 \\ 5\\6}[/mm]
>
> und
>
> [mm]g_2: \vec{x}=\vektor{21 \\ 27\\33}+ \lambda\vektor{-12 \\ -15\\-18}[/mm]
>
> an.
>
> Offensichtlich (siehst Du es?) sind die Geraden parallel.
Ja, man kann [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ 6} [/mm] mit -3 multiplizieren, um dann [mm] \vektor{-12 \\ -15 \\ -18} [/mm] zu erhalten.
> Ob die Geraden gleich sind findest Du heraus, indem Du
> nachschaust, ob der Punkt [mm]\vektor{21 \\ 27\\33}[/mm] auch auf
> [mm]g_1[/mm] liegt.
Hmmm... Okay, und wie mache ich das ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") ?
Liebe Grüße,
Sarah
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Hallo Sarah!
Ja die Linearkombination hast du richtig gemacht. Wie du herausfindest ob der Punkt auf [mm] g_{1} [/mm] liegt? Setze einfach den Punkt in die Gerade ein.
Also: [mm] \vektor{21 \\ 27 \\ 33}=\vektor{1 \\ 2\\3}+ \lambda\vektor{4 \\ 5\\6} [/mm] und schau was du für [mm] \lambda [/mm] erhälst
Gruß
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Hallo Sarah!
Es ist [mm] \vektor{21 \\ 27 \\33}=\vektor{1 \\ 2 \\3}+\lambda\cdot\vektor{4 \\ 5 \\ 6}
[/mm]
Nun folgt:
[mm] 21=1+4\lambda \Rightarrow \lambda=5
[/mm]
[mm] 27=2+5\lambda \Rightarrow \lambda=5
[/mm]
[mm] 33=3+6\lambda \Rightarrow \lambda=5
[/mm]
Also leigt der Punkt auf der Geraden da überall [mm] \lambda=5 [/mm] herauskommt.
Gruß
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Hallo Tyskie ,
Also wenn für die 3 [mm] \lambda [/mm] verschiedene Zahlen raus kommen, dann weiß ich, dass der Punkt nicht auf der Geraden liegt?
Liebe Grüße,
Sarah
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
!
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
windschief