Gerade und Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(2,1,3) und B(1,2,5).
Die Ebene F enthält die Punkte P(3,1,2), Q(5,2,1) und R(-1,-4,1).
Die Ebene [mm] E_{3} [/mm] mit der Gleichung 3x+y+z-4=0 ist eine Ebene der Schar [mm] E_{a} [/mm] mit der Gleichung [mm] [\vec{x}- \vektor{-1 \\ 1\\6}]*\vektor{a \\ a-2\\1}=0. [/mm] a Element R
2.2.2
Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden s der Ebenen F und [mm] E_{3} [/mm] und weisen Sie nach, dass s in allen Ebenen der Schar [mm] E_{a} [/mm] liegt.
Zeigen Sie, dass die Schnittgerade s parallel zur Geraden g verläuft.
Berechnen Sie den Abstand der Geraden g und s.
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Gleichung der Schnittgeraden s der Ebenen F und [mm] E_{3}
[/mm]
F: x-y+z=4 oder [mm] \vec{x}=\vektor{3 \\ 1\\2}+r\vektor{2 \\ 1\\-1}+s\vektor{-4 \\ -5\\-1}
[/mm]
[mm] E_{3}: [/mm] 3x+y+z=4
3(3+2r-4s)+1(1+r-5s)+1(2-2+s)=4
12+6r-16s=4
[mm] r=-\bruch{4}{3}+\bruch{8}{3}s
[/mm]
Kann man das so machen? Wenn ja stimmt das?
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> Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(2,1,3) und
> B(1,2,5).
> Die Ebene F enthält die Punkte P(3,1,2), Q(5,2,1) und
> R(-1,-4,1).
> Die Ebene [mm]E_{3}[/mm] mit der Gleichung 3x+y+z-4=0 ist eine Ebene
> der Schar [mm]E_{a}[/mm] mit der Gleichung [mm][\vec{x}- \vektor{-1 \\ 1\\6}]*\vektor{a \\ a-2\\1}=0.[/mm]
> a Element R
>
>
> Gleichung der Schnittgeraden s der Ebenen F und [mm]E_{3}[/mm]
> F: x-y+z=4 oder [mm]\vec{x}=\vektor{3 \\ 1\\2}+r\vektor{2 \\ 1\\-1}+s\vektor{-4 \\ -5\\-1}[/mm]
>
> [mm]E_{3}:[/mm] 3x+y+z=4
>
> 3(3+2r-4s)+1(1+r-5s)+1(2-2+s)=4
> 12+6r-16s=4
> [mm]r=-\bruch{4}{3}+\bruch{8}{3}s[/mm]
>
> Kann man das so machen? Wenn ja stimmt das?
>
>
Dein Weg ist richtig, du kannst natürlich den Schnittpunkt ausrechnen, indem du F in [mm] E_3 [/mm] einsetzt.
Allerdings hast du ein VZW-Fehler: z ist 1*(2-1r-s)
Da fehlt bei dir auch das r
Lösung wäre damit:
$ 3(3+2r-4s)+1(1+r-5s)+1(2-r-s)=4 $
$ 9+6r-12s+1+r-5s+2-r-s=4 $
$ 12+6r-18s=4 $
$ [mm] r=-\bruch{4}{3}+3s [/mm] $
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3(3+2r-4s)+1(1+r-5s)+1(2-r-s)=4
9+6r-12s+1+r-5s+2-r-s=4
12+6r-18s=4
[mm] r=-\bruch{4}{3}+3s [/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{3\\ 1\\2}+(-\bruch{4}{3}+3s)\vektor{2\\ 1\\-1}+s\vektor{-4\\ -5\\-1}
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{3\\ 1\\2}+(-\bruch{4}{3})\vektor{2\\ 1\\-1}+s\vektor{-4\\-5\\-1}+3s\vektor{2\\ 1\\-1}
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{3 \\ 1\\2}+\vektor{-\bruch{8}{3} \\ -\bruch{4}{3}\\ \bruch{4}{3}}+s\vektor{-4\\ -5\\-1}+3s\vektor{2 \\ 1\\-1}
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3}\\3\bruch{1}{3}}+s[\vektor{-4 \\ -5\\-1}+\vektor{6 \\ 3\\-3}]
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3}\\3\bruch{1}{3}}+s\vektor{2 \\ -2\\-4}
[/mm]
Richtig?
Denke mal irgendwo ist ein Fehler...
Gruß Steffie
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Fr 14.11.2008 | | Autor: | crashby |
Hey Steffi,
du willst jetzt nachweise das die Scnittgerade in allen Ebenen liegt richtig ?
Wenn ja könntest du so vorgehen:
Setze deine Gerade S (Schnittgerade) in [mm] E_a [/mm] ein und dann guckst du was raus kommt.
Was müsste denn rauskommen damit diese Behauptung stimmt ?
Vorher würde ich noch [mm] E_a [/mm] in Koordinatenform umwandeln da es dann leichter wird. Man kann es aber auch in die Normalenform einsetzen.
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Steffie90 |
Nein, ich wollte wissen ob die Schnittgerade s der Ebenen F und [mm] E_{3} [/mm] richtig berechnet wurde!
Gruß STeffie
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3(3+2r-4s)+1(1+r-5s)+1(2-r-s)=4
9+6r-12s+1+r-5s+2-r-s=4
12+6r-18s=4
[mm] r=-\bruch{4}{3}+3s [/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{3\\ 1\\2}+(-\bruch{4}{3}+3s)\vektor{2\\ 1\\-1}+s\vektor{-4\\ -5\\-1} [/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{3\\ 1\\2}+(-\bruch{4}{3})\vektor{2\\ 1\\-1}+s\vektor{-4\\-5\\-1}+3s\vektor{2\\ 1\\-1} [/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{3 \\ 1\\2}+\vektor{-\bruch{8}{3} \\ -\bruch{4}{3}\\ \bruch{4}{3}}+s\vektor{-4\\ -5\\-1}+3s\vektor{2 \\ 1\\-1} [/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3}\\3\bruch{1}{3}}+s[\vektor{-4 \\ -5\\-1}+\vektor{6 \\ 3\\-3}] [/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3}\\3\bruch{1}{3}}+s\vektor{2 \\ -2\\-4} [/mm]
Richtig?
Denke mal irgendwo ist ein Fehler...
Gruß Steffie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Fr 14.11.2008 | | Autor: | MarkusF |
Eure beiden Lösungen sind verschieden, irgendwo muss also noch ein Fehler sein...
Viele Grüße,
Markus
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> 3(3+2r-4s)+1(1+r-5s)+1(2-r-s)=4
> 9+6r-12s+1+r-5s+2-r-s=4
> 12+6r-18s=4
> [mm]r=-\bruch{4}{3}+3s[/mm]
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{3\\ 1\\2}+(-\bruch{4}{3}+3s)\vektor{2\\ 1\\-1}+s\vektor{-4\\ -5\\-1}[/mm]
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{3\\ 1\\2}+(-\bruch{4}{3})\vektor{2\\ 1\\-1}+s\vektor{-4\\-5\\-1}+3s\vektor{2\\ 1\\-1}[/mm]
>
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{3 \\ 1\\2}+\vektor{-\bruch{8}{3} \\ -\bruch{4}{3}\\ \bruch{4}{3}}+s\vektor{-4\\ -5\\-1}+3s\vektor{2 \\ 1\\-1}[/mm]
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3}\\3\bruch{1}{3}}+s[\vektor{-4 \\ -5\\-1}+\vektor{6 \\ 3\\-3}][/mm]
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3}\\3\bruch{1}{3}}+s\vektor{2 \\ -2\\-4}[/mm]
>
> Richtig?
> Denke mal irgendwo ist ein Fehler...
> Gruß Steffie
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Deine Rechnung stimmt, du hast keinen Fehler gemacht!
Nun die Probe:
Kontrolle aus der Schule:
$ [mm] g:x=\vektor{0 \\ 0\\ 4}+u_1*\vektor{1 \\ -1\\ -2} [/mm] $
Eigene Gerade:
$ [mm] g:x=\vektor{\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3}\\ \bruch{10}{3}}+u_2*\vektor{2 \\ -2\\ -4} [/mm] $
Wie gesagt, man sieht sofort, dass die Richtungsvektoren übereinstimmen, also sind die Geraden schon einmal parallel! Denn unser Vektor ist ja, wenn man 2 ausklammert, mit u1 identisch
Naja, also überprüfen wir, ob der Stützpunkt auch auf der anderen Gerade liegt, so einfach!
$ [mm] \bruch{1}{3}= [/mm] u $
$ [mm] -\bruch{1}{3}= [/mm] -u $
$ [mm] \bruch{10}{3}= [/mm] 4-2u $
$ [mm] \rightarrow u=\bruch{1}{3} [/mm] $
$ [mm] \bruch{10}{3}=4-2*\bruch{1}{3}=\bruch{12}{3}-\bruch{2}{3}=\bruch{10}{3} [/mm] $
Ergo stimmen beide Geraden überein, q.e.d.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Fr 14.11.2008 | | Autor: | crashby |
Hey und ich dachte ich habe es verlernt :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Fr 14.11.2008 | | Autor: | crashby |
Hey ich denke das ist richtig.
Ich habe das hier raus:
$ [mm] g:\vec{x}=\vektor{2\\-2\\0}+t\cdot \vektor{-1\\1\\2} [/mm] $
Ich glaubem ich zu erinnern, dass es der Ortsvektor egal ist. Da dein Richtugnsvektor aber ein vielfaches von meinen ist, dürfte das stimmen.
Du kannst das auch überprüfenn lassen z.b hier:
http://emath.de/Lernsoftware/Lernsoftware-Geometrie-Programm.shtml
oder hier:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/geometrie/analygeo/index.htm
edit:
ich nehme immer die Ebenen in Koordinantenform und bestimme dann die Schnittgerade mit ein LGS. Da erspart Rechenarbeit :)
greetz
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Steffie90 |
Wir haben in der Schule ein Kontrollergebnis bekommen und das ist anders:
s: [mm] \vec{x}= \vektor{0 \\ 0\\4}+u\vektor{1 \\ -1\\-2}
[/mm]
also ist unser Ergebnis falsch, aber ich komme auch nicht auf das...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Fr 14.11.2008 | | Autor: | crashby |
Hey doch das Ergebnis stimmt.
der richtugnsvekotr aus der Lösung:
$ [mm] u\vektor{1 \\ -1\\-2} [/mm] $
meiner heißt:
$ t [mm] \vektor{-1\\1\\2} [/mm] $
deiner:
$ s [mm] \vektor{2\\-2\\-4} [/mm] $
jetzt teile mal die einträge von deinem Richtugnsvektor :2 dann steht genau dasselbe wie in der Musterlösung.
Und ich hab einfach nur einen Gegenvektor und der stimmt auch.
der ortsvektor ist da glaube ich nicht relevant
edit: ich habe es von Hand und mit Programm ausrechnen lassen und beide Ergebnisse stimmen überein :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Fr 14.11.2008 | | Autor: | MarkusF |
Der Stützvektor/Aufpunkt ist sehr wohl relevant und nicht egal!
Viele Grüße,
Markus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Fr 14.11.2008 | | Autor: | MarkusF |
Dein Ergebnis ist richtig! (0|0|4) liegt auf deiner Gerade und die Richtungsvektoren sind lin. abhängig.
Viele Grüße,
Markus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Fr 14.11.2008 | | Autor: | crashby |
Hey, hab ja oben geschreiben, dass beide Ergebnisse stimmen aber der AUfpunkt kann mitunter eben anders aussehen als meiner z.b und der in der Musterlösung.
Da man verschiedene Methoden erwendet und ich nehme das die Methode mit der Koodinatenform und da man im LGS dann eine Variable z.b z=t setzen muss, kann es schon mal sein, dass man da auch mal Brüche raus bekommt, was jedoch nicht falsch sein muss.
Solange der Richtungsvekotr übereinstimmt, sei es nur ein vielfaches oder genau der wie in der Musterlösung, stimmen die Ergebnisse.
lg
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| Aufgabe | 2.2.2
Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden s der Ebenen F und [mm] E_{3} [/mm] und weisen Sie nach, dass s in allen Ebenen der Schar liegt.
Zeigen Sie, dass die Schnittgerade s parallel zur Geraden g verläuft.
Berechnen Sie den Abstand der Geraden g und s.
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s: [mm] \vec{x}= \vektor{0 \\ 0\\4}+u\vektor{1 \\ -1\\-2}
[/mm]
[mm] E_{a}: [\vec{x}-\vektor{-1 \\ 1\\6}]*\vektor{a \\ a-2\\1}
[/mm]
wie weise ich nach, dass s in allen Ebenen der Schar [mm] E_{a} [/mm] liegt?
Gruß Steffie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Fr 14.11.2008 | | Autor: | MarkusF |
Du setzt einfach die Geradengleichung in die Gleichung der Ebenenschar ein:
[mm] [\vektor{0 \\ 0\\4}+u\vektor{1 \\ -1\\-2}-\vektor{-1 \\ 1\\6}]*\vektor{a \\ a-2\\1} [/mm] = 0
Nach einigen Rechenschritten kommst du dann auf:
0 = 0
Dies ist eine wahre Aussage und damit hast du unendlich viele Lösungen/Schnittpunkte -> s liegt in der Ebene.
Viele Grüße,
Markus
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Schnittgerade s parallel zur Geraden g verläuft. |
Die Gerade g und s sind parallel, denn die Richtungsvektoren von g und s sind offensichtlich linear abhängig.
Außerdem:
[mm] \vektor{2 \\ 1\\3}=\vektor{0 \\ 0\\4}+u \vektor{1 \\ -1\\-2}
[/mm]
2=0+u
1=0-u
3=4-2u 3 verschiedene Lösungen -> also parallel
Kann man das so sagen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Fr 14.11.2008 | | Autor: | MarkusF |
> Zeigen Sie, dass die Schnittgerade s parallel zur Geraden g
> verläuft.
> Die Gerade g und s sind parallel, denn die
> Richtungsvektoren von g und s sind offensichtlich linear
> abhängig.
Soweit ist das gut!
Hier solltest du nun noch dazuschreiben, was du gemacht hast!
> Außerdem:
>
> [mm]\vektor{2 \\ 1\\3}=\vektor{0 \\ 0\\4}+u \vektor{1 \\ -1\\-2}[/mm]
>
> 2=0+u
> 1=0-u
> 3=4-2u 3 verschiedene Lösungen -> also parallel
>
>
> Kann man das so sagen?
>
Mögliche Beschreibung:
Die RV der Geraden sind lin. abhängig, sind also parallel oder identisch. Da der Aufpunkt von g nicht auf s liegt, ist s [mm] \parallel [/mm] g.
Viele Grüße,
Markus
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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Abtand von g und s. |
g: [mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ 1\\3}+u\vektor{-1 \\1\\2}
[/mm]
s: [mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ 0\\4}+r\vektor{1 \\-1\\-2}
[/mm]
Abstand
[mm] \vec{p}=\vektor{2 \\1\\3}
[/mm]
[mm] \vec{q}=\vektor{0 \\0\\4}
[/mm]
[mm] \vec{m}=\vektor{-1 \\1\\2}
[/mm]
[mm] |\vec{m}|=\wurzel{6}
[/mm]
[mm] \vec{m_{0}}=\bruch{1}{\wurzel{6}}\vektor{-1 \\ 1\\2}
[/mm]
[mm] \vec{q}-\vec{p}= \vektor{2 \\ 0\\-1}
[/mm]
[mm] d=\wurzel{(\vec{q}-\vec{p})²- [(\vec{q}-\vec{p})*\vec{m_{0}}]²}
[/mm]
[mm] d=\wurzel{\vektor{2 \\ 0\\-1})²- [ \vektor{2 \\ 0\\-1}*\bruch{1}{\wurzel{6}}\vektor{-1 \\ 1\\2}
}]²
[/mm]
[mm] =\wurzel{5-2\bruch{2}{3}}
[/mm]
d= 1,53
Richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Fr 14.11.2008 | | Autor: | MarkusF |
Ja, die Aufpunkte können zwar verschieden sein, aber der Aufpunkt der einen Geradengleichung muss in der anderen Geradengleichung enthalten sein, damit beide Geraden identisch sind...
Viele Grüße,
Markus
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