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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Mi 23.11.2011 | | Autor: | jebote |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass alle Eigenwerte einer Matrix A [mm] \in \IR^{n,n} [/mm] in der Vereinigung der sogenannten Gerschgorin-Kreise [mm] K_{i}=\{z\in \IC: |z-a_{ii}|\le \summe_{j=i,j\not= i}^{n}|a_{ij}\}, [/mm] i=1,...,n liegen.
(Hinweis: Betrachten Sie zu gegebenem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] einen Eigenvektor x mit normierter maximaler Komponente [mm] |x_{i}|=1.) [/mm] |
Keine Ahnung wie ich hier den Ansatz wählen soll.
Ich habe von diesen Kreise noch nie gehört, wäre nett, wenn mir einer einen Tipp geben kann.
Danke im Voraus.
Grüße
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> Zeigen Sie, dass alle Eigenwerte einer Matrix A [mm]\in \IR^{n,n}[/mm]
> in der Vereinigung der sogenannten Gerschgorin-Kreise
> [mm]K_{i}=\{z\in \IC: |z-a_{ii}|\le \summe_{j=i,j\not= i}^{n}|a_{ij}\},[/mm]
> i=1,...,n liegen.
> (Hinweis: Betrachten Sie zu gegebenem Eigenwert [mm]\lambda[/mm]
> einen Eigenvektor x mit normierter maximaler Komponente
> [mm]|x_{i}|=1.)[/mm]
> Keine Ahnung wie ich hier den Ansatz wählen soll.
> Ich habe von diesen Kreise noch nie gehört, wäre nett,
> wenn mir einer einen Tipp geben kann.
> Danke im Voraus.
Man nimmt erst einmal alles, was man hat:
Man hat einen Eigenwert [mm]\lambda\in\IC[/mm] von einer Matrix [mm]A=(a_{ij})_{i,j=1,\ldots,n}[/mm]. Zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] gibt es auch einen Eigenvektor [mm]\vec{v}=\vektor{v_1\\
\vdots\\
v_n}[/mm] ([mm]\neq \vec{0}[/mm]!)
weitere Schritte:
- betragsgrößten Eintrag [mm]v_r[/mm] nehmen
- weiteren Eigenvektor [mm]v'\;[/mm] zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] konstruieren, wobei bei [mm]v'\;[/mm] alle Einträge betragsmäßig kleiner _____ sind
- Gleichung aus Matrix, Eigenvektor, Eigenwert aufstellen
- davon die r-te Zeile betrachten
- Dreiecksungleichung anwenden
- sich freuen
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