Gestalt einer Kubikzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Do 26.10.2006 | | Autor: | Jan85 |
| Aufgabe | | Die Kubikzahl jeder ganzen Zahl ist von der Form 9k, 9k+1 oder 9k+8 mit [mm] k\in \IN [/mm] 0 |
hallo,
ich komme bei der aufgabe nicht richtig weiter. ich habe mir mal eine Restetabelle gemacht...Weiß jemand wie ich fortfahren kann?
Danke
Jan
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Hallo Jan,
Sei a [mm] \in \IZ, [/mm] dann lässt sich a darstellen als:
[mm]a = 9n + r[/mm] mit [mm] n\in\IZ [/mm] und [mm] r\in [/mm] (0,...,8)
Im Endeffekt ist r also genau der Rest nach Division von a durch 9.
Dann gilt:
[mm] a^3 [/mm] = (9n + [mm] r)^3 [/mm] = [mm] (9n)^3 [/mm] + [mm] 3*(9n)^2 [/mm] r + 3* [mm] 9nr^2 [/mm] + [mm] r^3
[/mm]
Die ersten 3 Summanden sind ja nun ersichtlich durch 9 Teilbar, also existiert auf jedenfall ein [mm] k\in\IZ [/mm] , so dass [mm] (9n)^3 [/mm] + [mm] 3*(9n)^2 [/mm] r + 3* [mm] 9nr^2 [/mm] = 9k.
Bleibt der letzte Summand [mm] r^3 [/mm] zu überprüfen, das machen wir mal für alle Möglichkeiten:
r=0: [mm] r^3 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow r^3 [/mm] mod 9 = 0
r=1: [mm] r^3 [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow r^3 [/mm] mod 9 = 1
r=2: [mm] r^3 [/mm] = 8 [mm] \Rightarrow r^3 [/mm] mod 9 = 8
r=3: [mm] r^3 [/mm] = 27 [mm] \Rightarrow r^3 [/mm] mod 9 = 0
r=4: [mm] r^3 [/mm] = 64 [mm] \Rightarrow r^3 [/mm] mod 9 = 1
r=5: [mm] r^3 [/mm] = 125 [mm] \Rightarrow r^3 [/mm] mod 9 = 8
r=6: [mm] r^3 [/mm] = 216 [mm] \Rightarrow r^3 [/mm] mod 9 = 0
r=7: [mm] r^3 [/mm] = 343 [mm] \Rightarrow r^3 [/mm] mod 9 = 1
r=8: [mm] r^3 [/mm] = 512 [mm] \Rightarrow r^3 [/mm] mod 9 = 8
Somit gilt:
[mm] a^3 [/mm] = (9n + [mm] r)^3 [/mm] = [mm] (9n)^3 [/mm] + [mm] 3*(9n)^2 [/mm] r + 3* [mm] 9nr^2 [/mm] + [mm] r^3
[/mm]
Lässt sich darstellen als:
9k für r = 0,3,6
9k + 1 für r = 1,4,7
9k + 8 für r = 2,5,8
q.e.d
Gruß,
Gono.
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