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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:42 Mi 13.11.2013 | | Autor: | arti8 |
Hallo,
ich habe die genannte Aufgabe angefangen zu lösen. Ich hab den korrekten Lösungsweg zwar, doch habe ich versucht eine anderen Lösungsweg zu nehmen.
hier mein Lösungsweg:
[mm] \bruch{dy}{dx}*x=2*y [/mm] /:y /:x
[mm] \bruch{dy}{dx*y}=\bruch{2}{x} [/mm] /*dx
[mm] \bruch{dy}{y}=2*\bruch{dx}{x} [/mm] / [mm] \integral
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{y}}=2*\integral{\bruch{1}{x}} [/mm] / Stammfunktion
ln(y) + C1 = 2*ln(x) + C2 / -C1
ln(y) = 2*ln(x) + C2 - C1 / C2-C1=k
ln(y) = 2*ln(x) + k / e
[mm] y=x^2*e^k
[/mm]
In der letzten Zeile stimmt aber meine rechnung nicht mehr mit dem vorliegendem Rechenweg überein, dort wurde bevor "e" angewendet wurde, durch 2 geteilt.
Findet jemand da einen Rechenfehler ? hab ich iwas vergessen zu beachten ?
LG arti8
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Hallo,
> y' * x = 2 * y
> Hallo,
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> ich habe die genannte Aufgabe angefangen zu lösen. Ich hab
> den korrekten Lösungsweg zwar, doch habe ich versucht eine
> anderen Lösungsweg zu nehmen.
>
> hier mein Lösungsweg:
> [mm]\bruch{dy}{dx}*x=2*y[/mm] /:y /:x
>
> [mm]\bruch{dy}{dx*y}=\bruch{2}{x}[/mm] /*dx
>
> [mm]\bruch{dy}{y}=2*\bruch{dx}{x}[/mm] / [mm]\integral[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{y}}=2*\integral{\bruch{1}{x}}[/mm] /
> Stammfunktion
>
> ln(y) + C1 = 2*ln(x) + C2 / -C1
>
> ln(y) = 2*ln(x) + C2 - C1 / C2-C1=k
>
> ln(y) = 2*ln(x) + k / e
>
> [mm]y=x^2*e^k[/mm]
>
>
> In der letzten Zeile stimmt aber meine rechnung nicht mehr
> mit dem vorliegendem Rechenweg überein, dort wurde bevor
> "e" angewendet wurde, durch 2 geteilt.
> Findet jemand da einen Rechenfehler ? hab ich iwas
> vergessen zu beachten ?
Überprüfen wir zunächst einmal deine Lösung:
[mm] y'=2x*e^k
[/mm]
Also:
[mm] 2x*e^k*x=2x^2*e^k=2*y
[/mm]
Von daher stimmt schon einmal deine Lösung. Was will man mehr? 
Verfolgen wir doch einmal den Schritt aus der Musterlösung:
Du sagtest, dass bei dieser Zeile $ln(y)=2*ln(x)+k$ zunächst durch 2 geteilt wurde. Wir tun dies:
[mm] \frac{1}{2}ln(y)=ln(x)+\underbrace{\frac{k}{2}}_{=:k_1}
[/mm]
Dies ist aber äquivalent zu:
[mm] ln{\sqrt{y}}=ln(x)+k_1
[/mm]
Wir wenden e an.
[mm] \sqrt{y}=x*e^{k_1}
[/mm]
Wir quadrieren:
[mm] y=x^2\underbrace{(e^{k_1})^2}_{=:K}=K*x^2
[/mm]
Die Musterlösung unterscheidet sich also nur um die Konstante K. Ansonsten ist es so wie bei dir.
Wie lautet eigentlich die komplette Aufgabe? Soll man alle Lösungen finden, oder nur eine spezielle? Durch deine Rechnung ganz oben hast du stillschweigend [mm] y\not=0 [/mm] und [mm] x\not=0 [/mm] ausgeschlossen. Aber wie man leicht sieht erfüllt ja auch [mm] y\equiv{0} [/mm] die DGL; ist also auch zulässig.
>
> LG arti8
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 Do 14.11.2013 | | Autor: | arti8 |
> Durch deine
> Rechnung ganz oben hast du stillschweigend [mm]y\not=0[/mm] und
> [mm]x\not=0[/mm] ausgeschlossen.
Macht man das nicht in der Regel so ?
Man darf ja nicht durch "0" teilen, deswegen ist natürlich logisch das y=0 und x=0 nicht sein dürfen. Oder bin ich da auf dem falsche Pfad ?`
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Ja das stimmt. In deiner Rechnung hast du diese Möglichkeiten ausgeschlossen.
Doch y=0 für alle [mm] x\in\IR [/mm] löst doch dennoch die DGL. Von daher ist auch y=0 eine Lösung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 Do 14.11.2013 | | Autor: | arti8 |
> Doch y=0 für alle [mm]x\in\IR[/mm] löst doch dennoch die DGL. Von
> daher ist auch y=0 eine Lösung.
Ok, also damit ich das jetzt richtig verstehe, y=0 ist eine Lösung. Um das zu überprüfen setze ich y=0 in die Stammaufgabe, also y=0 in y'*x=2*y ein ?
Da y=0 ist, ist die Ableitung automatisch auch y'=0 ?
und deswegen ist "y=0 für alle $ [mm] x\in\IR [/mm] $" richtig ? Also würde demnach auf beiden seiten der Gleichung 0=0, egal was ich für x einsetze solange y=0 ist. richtig ?
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Ja, die Lösung mit y=0 steckt ja auch in der von dir berechneten Lösung: [mm] y=K*x^2, [/mm] wenn nämlich K=0 ist, so ist ja y=0.
Das Problem ist doch nur: Rein von der Rechnung haben wir die Lösung y=0 nicht gefunden. Das haben wir ja ausgeschlossen, da wir durch y und x geteilt haben. Von daher wussten wir noch gar nicht, ob y=0 auch eine Lösung ist.
Angenommen y=0 würde nämlich die DGL nicht lösen, so müssten wir schreiben:
Die Lösung der DGL ist [mm] y=K*x^2 [/mm] für [mm] K\in\IR, [/mm] aber [mm] K\not=0.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:09 Do 14.11.2013 | | Autor: | arti8 |
Achso cool.
Vielen Dank. Hat mir gut geholfen das ganze besser zu verstehen. :)
Gute Nacht und vielleicht bis demnächst :)
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