Gilt die Ungleichung? < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:18 Mi 02.01.2008 | | Autor: | pinclady |
| Aufgabe | Wie kann ich die Ungleichung:
[mm] (a^{x}+b^{x})^{\bruch{1}{x}} |
Hallo Zusammen,
ich brauche für mein Beweis die Abschätzung: [mm] (a^{x}+b^{x})^{\bruch{1}{x}}
Ich denke, dass sie für x > 1 gilt. wie kann ich das begründen?
Also wenn jemand so was schon mal gesehen hat, bin ich wenigstens für einen Hinweis dankbar.
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
vielen dank und schöne grüße
Tatiana
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo pinclady!
Gibt es irgendwelche Einschränkungen zu den genannten Variablen? Insbesondere zu $x_$ - handelt es sich dabei um eine natürliche Zahl mit [mm] $x\in\IN$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Mi 02.01.2008 | | Autor: | makw |
Hallo. Also ich habe nur mal Blick auf die Gleichung geworfen: Vielleicht hilft es ja.
Also [mm] \wurzel{a²+b²}=|a+b| [/mm] und wenn nur die rellen Zahlen in eindimensionalen gemeint ist, dann ist fuer x >1 nur zu beweisen |a+b| < a+b. Das wiederrum (Beweis) kannst du in Königsberger oder Forster fuer das erste Semester finden. Suche morgen mal. Wenn ichs gefunden habe melde ich mich mal.
Schoenen Abend noch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Also [mm]\wurzel{a²+b²}=|a+b|[/mm]
Wie kommst Du darauf? Es gilt [mm] $\wurzel{(a+b)^2}=\wurzel{a^2+2ab+b^2}=|a+b|$, [/mm] aber sicherlich ist i.a. [mm] $\wurzel{a^2+b^2}\not=|a+b|$.
[/mm]
Nehme einfach als Beispiel a=3 und b=4...
Ich nehme an, es war ein Tippfehler?!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tatiana!
Für $x \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] sowie $a,b \ > \ 0$ hätte ich einen Lösungansansatz:
[mm] $$\wurzel[x]{a^x+b^x} [/mm] \ < \ a+b$$
[mm] $$\gdw [/mm] \ [mm] \wurzel[x]{b^x*\left(\bruch{a^x}{b^x}+1\right)} [/mm] \ < \ a+b$$
[mm] $$\gdw [/mm] \ [mm] b*\wurzel[x]{\left(\bruch{a}{b}\right)^x+1} [/mm] \ < \ [mm] b*\left(\bruch{a}{b}+1\right)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] \ [mm] \wurzel[x]{\left(\bruch{a}{b}\right)^x+1} [/mm] \ < \ [mm] \left(\bruch{a}{b}+1\right)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] \ [mm] \left(\bruch{a}{b}\right)^x+1 [/mm] \ < \ [mm] \left(\bruch{a}{b}+1\right)^x$$
[/mm]
Und nun mal auf die rechte Seite der Ungleichung den binomischen Lehrsatz anwenden ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Loddar,
für $a,b > 0$ und $x=n [mm] \in \IN_{>1}$ [/mm] ist das ziemlich trivial:
[mm] $(a^n+b^n)^\frac{1}{n} [/mm] < (a+b)$
[mm] $\gdw a^n+b^n [/mm] < [mm] (a+b)^n$
[/mm]
Und es gilt
[mm] $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\vektor{n\\k}*a^k*b^{n-k} [/mm] > [mm] \vektor{n\\n}* a^n +\vektor{n\\0}* b^n$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN_{>1}$, [/mm] da alle "vernachlässigten" Summanden echt positiv.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tatiana!
Da war ich eben etwas umständlich. Es geht auch "etwas" schneller:
[mm] $$\wurzel[x]{a^x+b^x} [/mm] \ < \ a+b$$
[mm] $$\gdw [/mm] \ [mm] a^x+b^x [/mm] \ < \ [mm] (a+b)^x$$
[/mm]
Und nun schon der binomische Lehrsatz auf der rechten Seite ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Mi 02.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Der binomische Lehrsatz funktioniert hier auch für [mm]x\in \IR[/mm], wenn nur [mm]a\le b[/mm] ist. Das kann man einfach annehmen, andernfalls vertauscht man in der Rechnung a und b.
Es ergibt sich eine unendliche Reihe, die man geschickt abschätzen muss:
[mm]\left(1+\bruch{a}{b}\right)^x = \summe_{n=0}^\infty \left(\bruch{a}{b}\right)^n {x \choose n} [/mm].
(Diese Reihe konvergiert für [mm]x>0[/mm].)
Ich ziehe den ersten Summanden heraus und schätze [mm]a/b[/mm] durch 1 ab:
[mm]\summe_{n=0}^\infty \left(\bruch{a}{b}\right)^n {x \choose n} = 1 + \summe_{n=1}^\infty \left(\bruch{a}{b}\right)^n {x \choose n} \ge 1+ \summe_{n=1}^\infty \left(\bruch{a}{b}\right)^n * \left(\bruch{a}{b}\right)^{x-n} {x \choose n} = 1 + \summe_{n=1}^\infty \left(\bruch{a}{b}\right)^x {x \choose n} = 1 + \left(\bruch{a}{b}\right)^x \summe_{n=1}^\infty {x \choose n} = 1+\left(\bruch{a}{b}\right)^x(2^x-1) [/mm]
Für [mm]x>1[/mm] ergibt sich die Behauptung.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Mi 02.01.2008 | | Autor: | pinclady |
Hallo Rainer ,
> Es ergibt sich eine unendliche Reihe, die man geschickt
> abschätzen muss:
>
> [mm]\left(1+\bruch{a}{b}\right)^x = \summe_{n=0}^\infty \left(\bruch{a}{b}\right)^n {x \choose n} [/mm].
>
> (Diese Reihe konvergiert für [mm]x>0[/mm].)
es ist doch der verallgemeinerte bin. Lehrsatz?
Gilt er nicht nur für a < b?
Gruß
Tatiana
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:10 Do 03.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Hallo Rainer ,
>
> > Es ergibt sich eine unendliche Reihe, die man geschickt
> > abschätzen muss:
> >
> > [mm]\left(1+\bruch{a}{b}\right)^x = \summe_{n=0}^\infty \left(\bruch{a}{b}\right)^n {x \choose n} [/mm].
>
> >
> > (Diese Reihe konvergiert für [mm]x>0[/mm].)
> es ist doch der verallgemeinerte bin. Lehrsatz?
> Gilt er nicht nur für a < b?
Hallo Tatiana,
auch hier nochmal:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Reihe
Da findest Du auch was, warum er hier auch für $a=b$ gilt (ab: Verhalten am Rand des Konvergenzkreises).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tatiana,
da Du keine Angaben über $a,b$ und $x$ machst, ist das sehr schwer. Ohne zu wissen, ob das zielführend ist, gebe ich Dir einfach mal ein paar Stichworte, wo mein Gehirn einfach sagt, es könnte zu der Aufgabe passen. Also vll. findet sich da was passendes, vll. auch nicht:
1.) Binomialreihe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialreihe
2.) Konvexität und Exponentialfunktion:
http://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_und_konkave_Funktionen
3.) Jensensche Ungleichung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Jensensche_Ungleichung
Wie gesagt, ich assoziiere diese Dinge gerade mal mit Deiner Frage, d.h. diese Frage hat mich an diese drei Sachen erinnert. D.h. nicht, dass man Deine Behauptung wirklich mit einer dieser drei "Tatsachen" beweisen kann, aber das wären die Dinge, mit denen ich versuchen würde, einen Ansatz zu bekommen (vll. ist es sogar eine triviale Folgerung aus einer dieser Tatsachen)...
Ich habe mir dazu noch keine weiteren Gedanken gemacht...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Mi 02.01.2008 | | Autor: | pinclady |
Hallo zusammen,
ich hab mich vertippt. Für meine Rechnung brauche ich die Ungleichung für
x > 1 [mm] x\in \IR [/mm] außerdem können a,b nur positive reelle Zahlen sein.
vielen lieben dank
Tatiana
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Mi 02.01.2008 | | Autor: | pinclady |
Hallo!
Danke für euere Ideen, mich interessiert tatsächlich nur [mm] x\in \IN
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
dann ist die Frage mit dem Stichwort verallgemeinerte binomische Formel für $x [mm] \in \IN_{>1}$ [/mm] beantwortet?
Beachte halt:
Für $x=1$ hast Du ja keine strikte Ungleichung mehr, dort gilt
[mm] $(a^1+b^1)^{\frac{1}{1}}=a+b$
[/mm]
Deine strikte Ungleichung gilt also jedenfalls für $a,b > 0$ und $x [mm] \in \IN$ [/mm] mit $x > 1$. Für $a,b > 0$ und $x [mm] \in \IN$ [/mm] kannst Du halt anstatt $<$ nur [mm] $\le$ [/mm] schreiben, weil man im Falle $x=1$ halt Gleichheit hat.
Ich weiß ja nicht, ob Du notwendig $<$ brauchst, oder ob [mm] $\le$ [/mm] vll. auch genügt...
Gruß,
Marcel
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