Gleich und Pktweise Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Do 22.05.2008 | | Autor: | Mathek |
| Aufgabe | Beweise:
(a) fn : [0, 1] [mm] \to [/mm] R mit fn(x) = x(1 − [mm] x)^{n} [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen die Nullfunktion.
(b) gn := n · fn : [0, 1] [mm] \to [/mm] R konvergiert punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen
die Nullfunktion. (Tip: gn( 1/n) =?)
Sei hn : R [mm] \to [/mm] R definiert durch hn(x) := [mm] nxe^{-nx^2}.
[/mm]
(c) Konvergieren die hn punktweise? Falls ja, gegen welche Funktion?
(d) Auf welchen abgeschlossenen Intervallen I R konvergieren die hn gleichmäßig? |
Ich hab mal versucht die Definitionen zu verwenden, aber die Abschätzungen sehen für a) und b) ziemlich gleich aus und sind auch bestimmt falsch.
zu a)
wir wollen zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup | fn(x)-0| = 0 für [mm] x\in [/mm] [0,1]
WIssen: [mm] \forall [/mm] n : fn(0)=fn(1)=0
also betrachten wir nur noch x [mm] \in [/mm] (0,1)
und da für jedes x [mm] \in [/mm] (0,1) : x [mm] (1-x)^{n} \to [/mm] 0 (weil x und (1-x) < 1)
folgt daraus das [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup [/mm] | fn(x)|=0 für x [mm] \in [/mm] [0,1] und n [mm] \to \infty
[/mm]
Alternativ per Def.
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] s.d [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : |fn(x)-0| < [mm] \varepsilon \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]
da hab ich mir gedacht, da N nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt versuche ich alle x los zu werden und komme dann auf...
[mm] |x(1-x)^{n}| [/mm] < [mm] n(1-x)^{n} [/mm] < n < [mm] \varepsilon
[/mm]
aber das scheint irgendwie falsch zu sein da dann fast jede Fkt gleichmäßig konvergent wäre...
Wäre echt super wenn jmd mir mal ein Beispiel geben könnte wie man so was macht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:17 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweise:
> (a) fn : [0, 1] [mm]\to[/mm] R mit fn(x) = x(1 − [mm]x)^{n}[/mm]
> konvergiert gleichmäßig gegen die Nullfunktion.
>
> (b) gn := n · fn : [0, 1] [mm]\to[/mm] R konvergiert punktweise,
> aber nicht gleichmäßig gegen
> die Nullfunktion. (Tip: gn( 1/n) =?)
>
> Sei hn : R [mm]\to[/mm] R definiert durch hn(x) := [mm]nxe^{-nx^2}.[/mm]
> (c) Konvergieren die hn punktweise? Falls ja, gegen welche
> Funktion?
>
> (d) Auf welchen abgeschlossenen Intervallen I R
> konvergieren die hn gleichmäßig?
> Ich hab mal versucht die Definitionen zu verwenden, aber
> die Abschätzungen sehen für a) und b) ziemlich gleich aus
> und sind auch bestimmt falsch.
>
> zu a)
>
> wir wollen zeigen, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup |
> fn(x)-0| = 0 für [mm]x\in[/mm] [0,1]
>
> WIssen: [mm]\forall[/mm] n : fn(0)=fn(1)=0
>
> also betrachten wir nur noch x [mm]\in[/mm] (0,1)
>
> und da für jedes x [mm]\in[/mm] (0,1) : x [mm](1-x)^{n} \to[/mm] 0
> (weil x und (1-x) < 1)
>
> folgt daraus das [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup[/mm] | fn(x)|=0
> für x [mm]\in[/mm] [0,1] und n [mm]\to \infty[/mm]
>
>
>
> Alternativ per Def.
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] s.d [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm]
> N : |fn(x)-0| < [mm]\varepsilon \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1]
>
> da hab ich mir gedacht, da N nur von [mm]\varepsilon[/mm] abhängt
> versuche ich alle x los zu werden und komme dann auf...
>
> [mm]|x(1-x)^{n}|[/mm] < [mm]n(1-x)^{n}[/mm] < n < [mm]\varepsilon[/mm]
Denke mal überhaupt über den Sinn der letztstehenden Ungleichung $n < [mm] \varepsilon$ [/mm] nach... Genau, das macht keinen Sinn!
> aber das scheint irgendwie falsch zu sein da dann fast jede
> Fkt gleichmäßig konvergent wäre...
>
>
>
> Wäre echt super wenn jmd mir mal ein Beispiel geben könnte
> wie man so was macht.
Also das, was Du oben schreibst, stimmt so natürlich nicht. Du folgerst an einer Stelle quasi, dass die punktweise Konvergenz die glm. implizieren würde. Und das stimmt natürlich nicht.
Banales Beispiel:
[mm] $f_n(x):=x^n$ [/mm] konvergiert auf $[0,1)$ punktweise gegen $f(x): [mm] \equiv [/mm] 0$ (auf $[0,1)$ definiert), aber nicht gleichmässig.
Vielleicht gehen wir erstmal die Aufgabe a) an:
Das, was Du dort gezeigt hast, zeigt, dass die [mm] $f_n$ [/mm] mit [mm] $f_n(x)=x(1-x)^n$ [/mm] auf $[0,1]$ punktweise gegen [mm] $f(x):\equiv [/mm] 0$ (auf $[0,1]$ definiert), konvergieren.
Denn:
Für $x=0$ oder $x=1$ ist die Behauptung klar, und für jedes $0 < x < 1$ gilt:
[mm] $(\star)$ $|f_n(x)| \le |x||1-x|^n \le |1-x|^n$
[/mm]
Hierbei gilt [mm] $|1-x|^n \to [/mm] 0$, da $|1-x| < 1$. Und wolltest Du nun mit [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ argumentieren, so würdest Du sehen, dass man bei gegebenem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ mit der in [mm] $(\star)$ [/mm] stehenden Abschätzung das $N$ nicht nur in Abhängigkeit von [mm] $\varepsilon$, [/mm] sondern zudem in Abhängigkeit von $x$ angeben müsste. Denn je näher $0 < x < 1$ an der $1$ liegt, desto "schlechter" wird das [mm] $|1-x|^n$.
[/mm]
Die Abschätzung [mm] $(\star)$ [/mm] ist also geeignet, um die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge gegen [mm] $f(x)\equiv [/mm] 0$ (auf $[0,1]$ definiert) zu beweisen, nicht aber, um die glm. Konvergenz zu beweisen. Dafür ist [mm] $(\star)$ [/mm] "zu schlecht".
Also suchen wir eine bessere Abschätzung. Für alle $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$ und alle $n$ gilt:
[mm] $(f_n)\,'(x)=1*(1-x)^n-x*n*(1-x)^{n-1}=(1-x)^{n-1}(1-x-n*x)$
[/mm]
Sinnvoll ist es wegen $0=1-x-nx=1-(n+1)*x$ daher, die Stellen [mm] $x_M=x_M(n)=\frac{1}{n+1}$ [/mm] zu untersuchen (alleine schon aus Schulwissen). Denn man kann sich leicht überlegen, dass [mm] $x_M=x_M(n)=\frac{1}{n+1}$ [/mm] die Maximalstelle von [mm] $f_n$ [/mm] ist (die [mm] $f_n$ [/mm] sind stetig auf dem Kompaktum $[0,1]$ und an den Randpunkten nimmt [mm] $f_n$ [/mm] den Wert $0$ an (d.h. [mm] $f_n(0)=f_n(1)=0$), [/mm] auf $(0,1)$ sind sie aber nullstellenfrei und sogar echt positiv; die obige Form der [mm] $(f_n)\,'$ [/mm] zeigt, dass nur $x=1$ oder [mm] $x=\frac{1}{n+1}$ [/mm] als Kandidat für die Maximalstelle, derer es ja eine in $(0,1)$ geben muss, in Frage kommt (wenn man sich mal zudem denken würde, die Funktion sei auch außerhalb von $[0,1]$ so definiert), also muss die Funktion [mm] $f_n$ [/mm] an [mm] $x_M=x_M(n)=\frac{1}{n+1}$ [/mm] ein lokales Maximum haben, und weil die [mm] $f_n$ [/mm] auf $[0,1]$ definiert sind, ist das hier stets auch ein globales Maximum).
Konsequenz:
Wir berechnen [mm] $f_n\left(\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{n+1}*\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n$
[/mm]
und sehen damit:
Für alle $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$ und alle $n$ gilt:
[mm] $(\star_2)$ $|f_n(x)|=\left|\frac{1}{n+1}*\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n\right| [/mm] < [mm] \frac{1}{n+1}$
[/mm]
Und diese Abschätzung, also [mm] $(\star_2)$, [/mm] ist um einiges sinnvoller, um die glm. Konvergenz der Funkionenfolge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] zu beweisen, denn die rechte Seite dort ist von $x$ unabhängig.
Das wäre so die "Herleitung". Falls Dir das mit der Ableitung etc. "noch nicht ganz geheuer" sein sollte, weil ihr den entspr. Vorlesungsstand noch nicht habt, so kannst Du den Beweis dennoch führen. Etwas "lästig" dabei ist es dann nur, die Ungleichung [mm] $(\star_2)$ [/mm] auf direktem Wege zu zeigen. Da brauchst Du dann irgendeine Idee, notfalls Induktion...
(Übrigens musst Du nicht [mm] $(\star_2)$ [/mm] beweisen, aber wichtig ist, dass man für $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ eine Abschätzung [mm] $|f_n(x)| \le r_n$, [/mm] die für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ gilt, findet, so dass mit [mm] $r_n \in [0,\infty)$ [/mm] dann [mm] $(r_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine nur von $n$ abhängige (also von $x$ unabhängige) Nullfolge ist. Also ich könnte anstelle von [mm] $(\star_2)$ [/mm] genausogut zeigen:
Für alle $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$ gilt:
[mm] $|f_n(x)| \le \frac{10}{\sqrt{n}}$...)
[/mm]
Und vielleicht zu Aufgabe b):
Es gilt ja für jedes $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$:
[mm] $g_n(x)=n*x*(1-x)^n$
[/mm]
Trivial ist, dass [mm] $g_n(0)=g_n(1)=0$. [/mm] Nicht so trivial ist, dass für jedes $0 < x < 1$ auch [mm] $g_n(x) \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] denn formal sieht es erstmal so aus (etwas lasch notiert):
[mm] "$n*\blue{x*(1-x)^n} \to \infty*\blue{0}$" [/mm] bei $n [mm] \to \infty$
[/mm]
Es läßt sich allerdings beweisen, entweder mit einem Wissen aus der Vorlesung, oder mit einer geeigneten Abschätzung von [mm] $x*(1-x)^n$, [/mm] nachdem man [mm] $(1-x)^n$ [/mm] mit der bin. Formel erstmal ausgeschrieben hat...
(Man sollte ziemlich schnell einsehen, dass [mm] $n*(1-x)^n \to [/mm] 0$ für jedes $0 < x < 1$ gilt...)
Wenn Dir da etwas unklar ist/bleibt, frage ggf. nochmal nach.
Warum die [mm] $g_n$ [/mm] aber mit Sicherheit auf $[0,1]$ nicht glm. konvergieren können:
1. Es läßt sich, wie bereits gesagt, zeigen, dass die [mm] $g_n$ [/mm] punktweise gegen die auf $[0,1]$ definierte Nullfunktion konvergieren. Wenn die [mm] $g_n$ [/mm] also glm. konvergieren, dann kommt nur die auf $[0,1]$ definierte Nullfunktion überhaupt als mögliche Grenzfunktion in Frage, wo man prüfen muss, ob sie gegen die glm. konvergieren.
2. Für alle $n [mm] \in \IN_{\ge 2}$ [/mm] gilt:
[mm] $g_n\left(\frac{1}{n}\right)=n*\frac{1}{n}*\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n}$
[/mm]
Jetzt hoffe ich, dass Dir bekannt ist:
Die Folge [mm] $\left(\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n\right)_{n \in \IN_{\ge 2}}$ [/mm] ist monoton fallend gegen $e$, und damit gilt $0 < [mm] \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n \le \left(1+\frac{1}{2-1}\right)^2=4$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_{\ge 2}$. [/mm] Folglich gilt für alle $n [mm] \in \IN_{\ge 2}$:
[/mm]
[mm] $g_n\left(\frac{1}{n}\right) \ge \frac{1}{4}$
[/mm]
Konsequenz:
Für alle $n [mm] \in \IN_{\ge 2}$ [/mm] ist (unter Beachtung, dass dann insbesondere [mm] $\frac{1}{n} \in [/mm] [0,1]$ gilt):
[mm] $\sup\{|g_n(x)-0|: x \in [0,1]\}=\sup\{|g_n(x)|: x \in [0,1]\} \ge g_n\left(\frac{1}{n}\right) \ge \frac{1}{4}$
[/mm]
Kann dann noch [mm] $\sup\{|g_n(x)-0|: x \in [0,1]\} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gelten?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Mathek |
Vielen dank für die ausführliche Antwort.
Ich konnte soweit alle Schritte nachvollziehen, jedoch bereits bei der nächsten Teilaufgabe komme ich wieder ins stocken.
Gibts da vielleicht eine Art Kockrezept für punktweise bzw. gleichmässige Konvergenz?
Muss ich für gleichmässige Konvergenz immer mit der Nullstelle(Maximum) der Ableitung argumentieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:36 So 25.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen dank für die ausführliche Antwort.
>
> Ich konnte soweit alle Schritte nachvollziehen, jedoch
> bereits bei der nächsten Teilaufgabe komme ich wieder ins
> stocken.
>
> Gibts da vielleicht eine Art Kockrezept für punktweise bzw.
> gleichmässige Konvergenz?
jein, manchmal kommt man per Definitionem weiter, und manchmal kann es durchaus auch hilfreich sein, mit Sätzen wie de L'Hôpital oder Taylorentwicklung etc. zu gucken, zu welchem Ergebnis man kommt. Bei c) könntest Du z.B. auch Hôpital anwenden, aber da musst Du dann beachten, dass das [mm] $\black{n}$ [/mm] die Variable ist, die gegen [mm] $\infty$ [/mm] laufen gelassen wird.
Vielleicht ist es aber auch (für Dich?) einfacher, wenn Du mal die Reihenentwicklung von [mm] $e^{z}=\exp(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{k!}$ [/mm] (die so auch für $z [mm] \in \IC$ [/mm] gilt) benutzt...
> Muss ich für gleichmässige Konvergenz immer mit der
> Nullstelle(Maximum) der Ableitung argumentieren?
Immer müssen: Nein! Du kannst es ja sogar nicht immer, denn es gibt durchaus auch stetige Funktionen, die an keiner Stelle diff'bar sind (und auch hier sei erwähnt: Wenn die [mm] $f_n$ [/mm] stetig sind und glm. gegen $f$ konvergieren, dann ist auch $f$ stetig; in letzter Zeit wurde bei dem Zitat dieses Satzes oft gerne mal die Stetigkeit der [mm] $f_n$ [/mm] unterschlagen, was allerdings eine wichtige Voraussetzung ist). Bei der Frage der glm. Konvergenz geht es ja allgemein um [mm] $\sup\{|f_n(x)-f(x)|: x \in D_f\}$, [/mm] wenn die [mm] $f_n$ [/mm] punktweise gegen $f$ konvergieren. Und wenn $f=0$ ist und [mm] $|f_n|$ [/mm] ein globales Maximum an [mm] $x_M=x_M(n)$ [/mm] hat, dann ist sicherlich [mm] $\sup\{|f_n(x)-f(x)|:x \in D_f\}=|f_n(x_M)|$. [/mm] Und wenn man mittels der Ableitung(en) der [mm] $f_n$ [/mm] (oder, wenn es mach'bar ist: der [mm] $|f_n|$) [/mm] zu einem solchen Maximum gelangt, vereinfacht das in einem gewissen Sinne natürlich die Arbeit. Sind die [mm] $f_n$ [/mm] allerdings schon gar nicht diff'bar, dann kann ich natürlich nicht mit deren Ableitungen arbeiten, denn was nicht da ist, ist nicht da.
Also zu c):
Ich bin mir gerade, ohne jegliche Rechnung gemacht zu haben, sehr sicher, dass die [mm] $h_n$ [/mm] punktweise gegen $h(x):=0$ (auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert) konvergieren.
Zu d):
Mach' Dir ruhig mal wieder Gedanken zu den Extremstellen der [mm] $h_n$. [/mm] Damit kannst Du Dir überlegen:
Auf keinem abgeschlossenem Intervall $I [mm] \subset \IR$ [/mm] mit [mm] $\blue{0 \in I}$ [/mm] konvergieren die [mm] $h_n$ [/mm] glm. gegen die entsprechende Nullfunktion.
Auf welchen abg. Intervallen wird dann wohl die glm. Konvergenz nachzuweisen sein? Erst die Vermutung dazu formulieren, und danach solltest Du den Beweis liefern...
(Tipp:
Beachte, dass eine jede Funktion [mm] $h_n$ [/mm] ungerade ist (d.h. [mm] $h_n(-x)=-h_n(x)$ [/mm] gilt für alle $x$). Und dann schau' Dir an, "wohin" die Maximalstellen der [mm] $h_n$ [/mm] mit wachsendem $n$ wandern, und überlege Dir vll. auch, wenn man die [mm] $h_n$ [/mm] mal zunächst auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] betrachtet, wie das Monotonieverhalten der [mm] $h_n$ [/mm] *links von der Maximalstelle* ist, und wie es *rechts von der Maximalstelle* ist).
P.S.:
Um den Tipp noch besser verstehen zu können:
Lasse Dir vll. mal [mm] $h_1$, $h_5$, $h_{10}$ [/mm] und [mm] $h_{20}$ [/mm] plotten... Das, was man da "zu erkennen glaubt", muss sich natürlich noch formal und mathematisch aufschreiben lassen, aber für eine *Beweisskizze* bzw. zum besseren Verständnis der *Beweisidee* hilft Dir das sicherlich.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 So 25.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hey!
Ich hab leider totale Probleme zu zeigen, dass [mm] nx(1-x)^n [/mm] gegen 0 geht.
Wenn ich [mm] (1-x)^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(-x)^k [/mm]
benutze, komme ich nur auf einen dicken Term, dessen Grenzwert plump ausgedrückt wieder [mm] \infty*0+\infty*0+... [/mm] ergibt.
Vielleicht kann mir an dieser Stelle noch jemand helfen!
Bin dankbar für jeden Tipp!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:58 So 25.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey!
>
> Ich hab leider totale Probleme zu zeigen, dass [mm]nx(1-x)^n[/mm]
> gegen 0 geht.
> Wenn ich [mm](1-x)^n[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(-x)^k[/mm]
> benutze, komme ich nur auf einen dicken Term, dessen
> Grenzwert plump ausgedrückt wieder [mm]\infty*0+\infty*0+...[/mm]
> ergibt.
> Vielleicht kann mir an dieser Stelle noch jemand helfen!
> Bin dankbar für jeden Tipp!
okay, mein Tipp war an dieser Stelle zu wenig durchdacht bzw. ich hätte die "Strategie" besser vorgeben müssen. Im Prinzip folgt das nicht durch die bin. Formel angewendet auf [mm] $(1-x)^n$, [/mm] sondern man müsste [mm] $\left(\frac{1}{1-x}\right)^n$ [/mm] entwickeln, wenn man beachtet, dass dann [mm] $\frac{1}{1-x} [/mm] > 1$. Das ist mir aber selbst erst jetzt aufgefallen, also mache ich es vll. mal gleich vollst.:
Wir zeigen zunächst folgendes:
[mm] $(\star)$ [/mm] Für alle $0 < y < 1$ gilt [mm] $n*y^n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$. [/mm] Denn:
$0 < y < 1$ liefert [mm] $q:=\frac{1}{y} [/mm] > 1$, d.h. es gilt $q=1+r$ mit einem $r > 0$. Dann folgt aber:
[mm] $n*y^n=n*\left(\frac{1}{q}\right)^n=\frac{n}{\sum\limits_{k=0}^n {n \choose k}r^k}$.
[/mm]
Wegen $r > 0$ folgt für jedes $n [mm] \in \IN_{\ge 3}$, [/mm] dass
[mm] $\sum\limits_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose k}r^k [/mm] > {n [mm] \choose [/mm] 0}+{n [mm] \choose [/mm] 1}r+{n [mm] \choose 2}r^2 [/mm] > [mm] \frac{n(n-1)}{2}r^2$ [/mm] und damit:
$0 [mm] \le n*y^n [/mm] < [mm] \frac{n}{\frac{n(n-1)}{2}r^2}=\underbrace{\frac{1}{r^2}}_{ > 0}\frac{2}{n-1} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Damit ist dann klar:
Für alle $0 < x < 1$ gilt [mm] $nx(1-x)^n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] da wegen $0 < x < 1$ hier auch $0 < y:=1-x < 1$ gilt und daher
[mm] $x*n(1-x)^n=x*n*y^n \to [/mm] x*0=0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] folgt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 So 25.05.2008 | | Autor: | Mathek |
Erst einmal vielen dank das du dir die Zeit nimmst jeden Schritt so ausführlich zu erklären.
Konnte deinen Weg für die b) nachvollziehen, nur hab ich mich gefragt ob das nicht auch gehen würde wenn man folgendes schreiben würde...
zz.: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} nx(1-x)^{n} [/mm] = 0
also [mm] nx(1-x)^{n} [/mm] = ( [mm] \wurzel[n]{n} \wurzel[n]{x} [/mm] (1-x) [mm] )^{n}
[/mm]
und dann könnte man sagen:
( [mm] \underbrace{\wurzel[n]{n}}_{\to 1} \underbrace{\wurzel[n]{x}}_{\to 1} \underbrace{(1-x)}_{=:y<1})^{n} [/mm] für n [mm] \to \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow 1*1*y^{n}=0 [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] weil y<1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mathek,
> Erst einmal vielen dank das du dir die Zeit nimmst jeden
> Schritt so ausführlich zu erklären.
>
> Konnte deinen Weg für die b) nachvollziehen, nur hab ich
> mich gefragt ob das nicht auch gehen würde wenn man
> folgendes schreiben würde...
>
> zz.: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} nx(1-x)^{n}[/mm] = 0
>
> also [mm]nx(1-x)^{n}[/mm] = ( [mm]\wurzel[n]{n} \wurzel[n]{x}[/mm] (1-x)
> [mm])^{n}[/mm]
>
> und dann könnte man sagen:
>
> ( [mm]\underbrace{\wurzel[n]{n}}_{\to 1} \underbrace{\wurzel[n]{x}}_{\to 1} \underbrace{(1-x)}_{=:y<1})^{n}[/mm]
> für n [mm]\to \infty[/mm]
>
> [mm]\red{\Rightarrow 1*1*y^{n}=0}[/mm]
> für n [mm]\to \infty[/mm] weil y<1
das rotmarkierte ist formal äußerst fatal. Bitte achte auch drauf, dass das, was Du meinst, auch so da steht, wie Du es meinst und wie man es mathematisch auch korrekt ausdrückt. Ich meine, man schreibt ja auch [mm] $\frac{1}{n} \blue{\to} [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] und nicht [mm] $\frac{1}{n}=0$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$. [/mm] Letzteres macht auch keinen Sinn, denn es ist [mm] $\frac{1}{n} [/mm] > 0$ für alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Allerdings:
Dein Gedankengang ist schon interessant, aber ich hoffe, Du siehst selbst, dass es ganz so einfach nicht gehen kann:
So gilt z.B. [mm] $n=(\sqrt[n]{n})^n$, [/mm] und nach *Deiner Logik* würde wegen [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ dann bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] folgen, dass [mm] $n=(\sqrt[n]{n})^n \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$. [/mm] Und das ist sicherlich falsch, bzw. widerspricht sich selber, da dann ja bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gelten müsste, dass $n [mm] \to [/mm] 1$...
Korrigieren wir mal den Gedankengang bzw. ergänzen wir ein paar wichtige Überlegungen dazu:
Du kannst Dir für $0 < x < 1$ folgendes überlegen:
Sei [mm] $q:=1-\frac{x}{2}$. [/mm] Dann gilt $0 < 1-x < [mm] 1-\frac{x}{2}=q [/mm] < 1$. Aus [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ und [mm] $\sqrt[n]{x} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] folgt (und das, was nun folgt, sollte man sich mal genau mit einem geeigneten [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ etc. überlegen):
Es gibt ein [mm] $N_0 \in \IN$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge N_0$ [/mm] gilt:
[mm] $(\star)$ [/mm] $0 [mm] \le \sqrt[n]{n}*\sqrt[n]{x}*(1-x) \le 1-\frac{x}{2}=q$. [/mm] Weil für jedes feste $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Funktion [mm] $p_n: \IR_{\ge 0} \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $p_n(z):=z^n$ [/mm] streng monoton wachsend ist, folgt daher aus [mm] $(\star)$:
[/mm]
[mm] $(\star_2)$ [/mm] $0 [mm] \le n*x*(1-x)^n=\left(\sqrt[n]{n}*\sqrt[n]{x}*(1-x)\right)^n \le q^n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge N_0$.
[/mm]
Da $0 < q < 1$ folgt [mm] $q^n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] so dass [mm] $(\star_2)$ [/mm] dann $0 [mm] \le n*x*(1-x)^n \le q^n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] (wobei man dann o.E. $n [mm] \ge N_0$ [/mm] annehmen darf) liefert. Das Sandwichkriterium liefert dann [mm] $n*x*(1-x)^n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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