Gleichheit von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Do 31.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe | | z.z. [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(2k-1)^2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2} [/mm] |
Hey,
meine Ansätze zur Aufgabe: Ich weiß, laut meiner Vorlesung, dass die Reihe [mm] \summe \bruch{1}{k^2} [/mm] gegen [mm] \bruch{\pi^2}{6} [/mm] konvergiert, somit konvergiert [mm] \bruch{3}{4} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2} [/mm] gegen [mm] \bruch{\pi^2}{8} [/mm]
Ich kann den Grenzwert der ersten Reihe mit meinem Wissensstand leider nicht berechnen. Müsste ich hier eine kleinere Folge finden, die als Reihe gegen [mm] \bruch{\pi^2}{8} [/mm] konvergiert und so das Einschließungslemma benutzen, oder gibts einen besseren Ansatz an die Aufgabe heranzutreten? Danke für jeden Tipp!
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Hallo,
> z.z. [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(2k-1)^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{4} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2}[/mm]
> Hey,
>
> meine Ansätze zur Aufgabe: Ich weiß, laut meiner
> Vorlesung, dass die Reihe [mm]\summe \bruch{1}{k^2}[/mm] gegen
> [mm]\bruch{\pi^2}{6}[/mm] konvergiert, somit konvergiert
> [mm]\bruch{3}{4} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2}[/mm] gegen
> [mm]\bruch{\pi^2}{8}[/mm]
>
> Ich kann den Grenzwert der ersten Reihe mit meinem
> Wissensstand leider nicht berechnen. Müsste ich hier eine
> kleinere Folge finden, die als Reihe gegen [mm]\bruch{\pi^2}{8}[/mm]
> konvergiert und so das Einschließungslemma benutzen, oder
> gibts einen besseren Ansatz an die Aufgabe heranzutreten?
> Danke für jeden Tipp!
Die gute Nachricht ist: das geht alles sehr viel einfacher. Berechne mal die Differenz der beiden Reihen, und zwar nicht die Differenz der Grenzwerte, sondern die Differenz der Reihen als Summe ausgeschrieben. Dann löst sich die Aufgabe sehr schnell in Luft auf. 
Betrachte dazu doch einfach mal, welche Zahlen denn im Nenner der ersten Reihe auftreten, und welche nicht. Klar ist ja, dass jeder Summand der ersten Reihe in der zweiten auch drinstecken muss...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Do 31.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Bei der ersten Summe wären die Nenner immer ungerade (4k² - 4k +1) wobei [mm] 4k^2 [/mm] - 4k eine gerade Zahl ist und +1 die Zahl ungerade macht.
[mm] \summe \bruch{1}{4k^2-4k+2} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{9} [/mm] + [mm] \bruch{1}{35} [/mm] + [mm] \bruch{1}{49} [/mm] + [mm] \bruch{1}{81} [/mm] + ...
Und bei der zweiten Summe ist der Nenner immer gerade.
[mm] \summe \bruch{3}{4k^2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{3}{16} [/mm] + [mm] \bruch{3}{36} [/mm] + [mm] \bruch{3}{64} [/mm] + [mm] \bruch{3}{100} [/mm] + ...
Ich sehe jetzt nicht auf Anhieb gleiche Summanden, muss ich abschätzen, bevor ich die Differenz bilde?
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Hallo,
ich habe es wohl heute nachmittag etwas kryptisch formuliert. Betrachte die Differenz
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k-1)^2}-\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2}
[/mm]
Diese Differenz lässt sich als Vielfaches der zweiten Reihe (mit Summand [mm] 1/k^2) [/mm] darstellen, und wenn du das machst, dann ist die Aufgabe praktisch gelöst.
Man muss da auch nichts ausmultiplizieren...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Do 31.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k-1)^2}-\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2}[/mm]
>
> Diese Differenz lässt sich als Vielfaches der zweiten
> Reihe (mit Summand [mm]1/k^2)[/mm] darstellen, und wenn du das
> machst, dann ist die Aufgabe praktisch gelöst.
>
> Man muss da auch nichts ausmultiplizieren...
>
Was ist mit der [mm] \bruch{3}{4} [/mm] vor der zweiten Summe? Und wie soll ich die Differenz bilden, ohne auszumultiplizieren und den Nenner zu erweitern? (Sorry, aber ich versteh grad nicht allzu viel, auch das was Marcel eben schrieb, von wegen Cauchyscher Verdichtungssatz ... hat ich alles noch nicht ... bin grad leicht überfordert :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Do 31.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Aus der Vorlesung ist bestimmt bekannt, daß die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty \bruch [/mm] 1 [mm] {k^2}$ [/mm] absolut konvergiert.
Diese Reihe ist Majorante der beiden Reihen [mm] $\sum_{k=1}^\infty \bruch [/mm] 1 [mm] {(2k)^2}$ [/mm] und [mm] $\sum_{k=1}^\infty \bruch [/mm] 1 [mm] {(2k-1)^2}$, [/mm] so daß diese auch absolut konvergieren.
Weiter benutzen wir, daß bei absolut konvergenten Reihen die Reihenfolge der Summanden keinen Einfluß auf den Reihenwert hat. Das heißt, es gilt bei solchen Reihen das Kommutativgesetz der Addition.
Es ist demnach
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \bruch [/mm] 1 [mm] {k^2}$ [/mm] die Summe der Quadrate der Kehrwerte aller natürlichen Zahlen,
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \bruch [/mm] 1 [mm] {(2k)^2}$ [/mm] die Summe der Quadrate der Kehrwerte aller geraden natürlichen Zahlen,
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \bruch [/mm] 1 [mm] {(2k-1)^2}$ [/mm] die Summe der Quadrate der Kehrwerte aller ungeraden natürlichen Zahlen.
Damit gilt: (Ich erspare Dir und mir jetzt mal die Beschreibung der Summen auf deutsch)
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \bruch [/mm] 1 [mm] {k^2} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^\infty \bruch [/mm] 1 [mm] {(2k)^2} +\sum_{k=1}^\infty \bruch [/mm] 1 [mm] {(2k-1)^2}$.
[/mm]
Mit [mm] $\sum_{k=1}^\infty \bruch [/mm] 1 [mm] {(2k)^2} [/mm] = [mm] \bruch [/mm] 1 4 * [mm] \sum_{k=1}^\infty \bruch [/mm] 1 [mm] {k^2} [/mm] $ folgt die Behauptung.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:56 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Weiter benutzen wir, daß bei absolut konvergenten Reihen
> die Reihenfolge der Summanden keinen Einfluß auf den
> Reihenwert hat. Das heißt, es gilt bei solchen Reihen das
> Kommutativgesetz der Addition.
ich formuliere das mal genauer:
Ist etwa [mm] $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ [/mm] eine in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Reihe mit Gliedern in [mm] $\IR$ [/mm] (ich lasse es hier auch zu, dass man allgemein solche Folgen [mm] $(a_k)_{k \in \IZ \text{ und }k \ge n_0}^\infty$ [/mm] benutzen darf) so meint letzteres von Dir erwähntes folgendes:
Falls für jedes bijektive [mm] $\phi: \{z \in \IZ: z \ge n_0\} \to \{z \in \IZ: z \ge n_0\}$ [/mm] gilt, dass [mm] $\sum_{k=n_0}^\infty a_k=\sum_{\ell=n_0}^\infty a_{\phi(\ell)}\,,$ [/mm] so sagt man, dass die Reihe [mm] $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ [/mm] das Kommutativgesetz der Addition für Reihen erfülle. (In diesem Sinne sollte diese Sprechweise jedenfalls, denke ich, definiert werden.)
@ Anna: Definiere Dir mal eine Bijektion [mm] $\IN \to \IN\,,$ [/mm] und zwar nicht gerade die Identität und schreibe Dir dann dafür mal für eine konkrete Reihe die ersten Glieder der Folge der Teilsummen auf. Dann wird klar, dass hier das Kommutativgesetz der Addition etwa ziemlich starkes ist! Einfach ist das ganze, wenn man nur endlich viele Indizes vertauscht... denn dann benutzt man eigentlich irgendwann nur noch das gewöhnliche Kommutativgesetz der Addition (für endliche Summen).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
Alles geklärt, danke! Kann nur die Frage leider nicht mehr entfernen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Alles geklärt, danke! Kann nur die Frage leider nicht mehr
> entfernen
wieso entfernen?? Passt doch, wenn der Status auf "beantwortet" steht und es ist super, dass Du uns in einer Mitteilung nochmal bestätigst, dass sie für Dich auch wirklich beantwortet ist ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:45 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana,
> >
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k-1)^2}-\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2}[/mm]
> >
> > Diese Differenz lässt sich als Vielfaches der zweiten
> > Reihe (mit Summand [mm]1/k^2)[/mm] darstellen, und wenn du das
> > machst, dann ist die Aufgabe praktisch gelöst.
> >
> > Man muss da auch nichts ausmultiplizieren...
> >
>
> Was ist mit der [mm]\bruch{3}{4}[/mm] vor der zweiten Summe? Und wie
> soll ich die Differenz bilden, ohne auszumultiplizieren und
> den Nenner zu erweitern? (Sorry, aber ich versteh grad
> nicht allzu viel, auch das was Marcel eben schrieb, von
> wegen Cauchyscher Verdichtungssatz ... hat ich alles noch
> nicht ... bin grad leicht überfordert :/
Du brauchst auch eigentlich im Wesentlichen nur die Konvergenz (und damit die absolute Konvergenz) der Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty 1/k^2\,.$ [/mm] (Denn dann kann man auch die der Reihe über die Quadrate der Reziproken der ungeraden Glieder herleiten - analog mit der über die der geraden.) Die kann man auch ganz leicht anders zeigen:
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty 1/k^2 \le 1+\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k(k-1)}\,.$$
[/mm]
Und letztstehende Reihe ist Ziehharmonikareihe! (Kennst Du das? Falls nicht: Das ist eine gern gestellte Prüfungsfrage. Wenn Du selbst weiter dran arbeiten willst: [mm] $\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$ [/mm] hilft hier enorm! Solch' eine Methodik kennt man auch aus der Partialbruchzerlegung...)
Aber jetzt gehe ich einfach mal davon aus, dass Dir die (absolute) Konvergenz jeder der auftretenden Reihen bekannt ist oder Du Dir diese klar machen kannst. Dann mach' Dir mal klar, dass dann folgende Beziehungen zwischen deren Grenzwerten besteht:
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty 1/k^2=\sum_{p=1}^\infty \frac{1}{(2p-1)^2}+\sum_{\ell=1}^\infty \frac{1}{(2\ell)^2}\,.$$
[/mm]
Warum? Das kannst Du Dir sicher klarmachen, aber wichtig: Beachte, dass beide Reihen rechterhand konvergieren... Wenn Du's genauer wissen willst:
Definiere [mm] $s_n:=\sum_{k=1}^n 1/k^2\,,$ $^g{s_n}:=\sum_{k=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor}1/(2k)^2$ [/mm] und [mm] $^u{s_n}:=\sum_{k=1}^{\lfloor(n+1)/2\rfloor}1/(2k-1)^2\,.$ [/mm] Damit kannst Du auch gut arbeiten, und es hilft Dir eventuell mehr beim Verständnis (denn man erinnere sich: [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] steht erstmal für nichts anderes als die Folge [mm] $\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)_{n \in \IN}$ [/mm] der entsprechenden Teilsummen und nur im Falle der Konvergenz erhält das gleiche Symbol auch die Bedeutung des Grenzwertes der Teilsummenfolge).
Ich denke, alles andere wurde eben erklärt (ich wollte die absolute Konvergenz, weil die Reihe der Summation dann egal ist und man dann einfach das ganze auch mit geraden und ungeraden Indizes schreiben kann, die nicht notwendigerweise dann sortiert sein müssten - es sieht dann einfach nur ein wenig eleganter aus).
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Do 31.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> z.z. [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(2k-1)^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{4} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2}[/mm]
ich würde es so machen:
Offensichtlich sind beide Reihen konvergent (etwa Cauchyscher Verdichtungssatz). Nun gilt (da Konvergenz hier gleichbedeutend mit absoluter Konvergenz ist)
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}=\sum_{\substack{g \in \IN\\g\text{ gerade}}}1/g^2+\sum_{\substack{u \in \IN\\u \text{ ungerade}}}1/u^2\,.$$
[/mm]
Nun kann man jedes gerade $g [mm] \in \IN$ [/mm] schreiben als [mm] $g=2\ell$ [/mm] mit einem [mm] $\ell \in \IN$... [/mm] Etc. pp..
Benutz' das mal und forme obige Gleichheit um nach [mm] $\sum_{\substack{u \in \IN\\u \text{ ungerade}}}1/u^2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Fr 01.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Für [mm] a_k:=\bruch{1}{k^2} [/mm] und [mm] s:=\summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] gilt wegen
[mm] a_{2k}= \bruch{1}{4}a_k:
[/mm]
$s= [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k}+ \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}= \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4}a_k+ \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}=\bruch{1}{4}s+\summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}$
[/mm]
Also: [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}=\bruch{3}{4}s
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Für [mm]a_k:=\bruch{1}{k^2}[/mm] und [mm]s:=\summe_{k=1}^{\infty}a_k[/mm]
> gilt wegen
>
> [mm]a_{2k}= \bruch{1}{4}a_k:[/mm]
>
> [mm]s= \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k}+ \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}= \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4}a_k+ \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}=\bruch{1}{4}s+\summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}[/mm]
>
> Also: [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}=\bruch{3}{4}s[/mm]
>
> FRED
Das ist ja genial, kann ich das so formal als Beweis ansehen?
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Hallo,
da FRED grad nicht da ist:
> Das ist ja genial, kann ich das so formal als Beweis
> ansehen?
Ja sicher. Und es ist genau das, worauf ich dich mit meinem ersten Tipp auch hinweisen wollte, nur das FRED es andersherum aufzieht und erst am Ende subtrahiert (was ich zu Beginn getan habe).
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
Alles klar, ich danke euch! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo FRED,
> [mm]s= \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k}+ \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}= \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4}a_k+ \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}=\bruch{1}{4}s+\summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wie läßt sich das erste Gleichheitszeichen oben einfach begründen? Bzw. warum gilt:
$\sum_{k=1}^\infty {a_k} = \sum_{k=1}^\infty (a_{2k} + {a_{2k-1})$ ?
Übrigens, auch in meinem Lösungsvorschlag habe ich diese Formel verwendet, aber nur anschaulich begründet.
Grüße
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo Wolfgang,
> > [mm]s= \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k}+ \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}= \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4}a_k+ \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}=\bruch{1}{4}s+\summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}[/mm]
>
> Wie läßt sich das erste Gleichheitszeichen oben einfach
> begründen? Bzw. warum gilt:
>
> [mm]\sum_{k=1}^\infty {a_k} = \sum_{k=1}^\infty (a_{2k} + {a_{2k-1})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ?
Wenn du die einzelnen Summanden der Reihe aufschreibst, siehst du es (ich vertausche die Reihenfolge):
$=\sum_{k=1}^\infty (a_{2k-1} + {a_{2k})$
$=(a_1+a_2)+(a_3+a_4)+(a_5+a_6)+\ldots$
$=\sum_{k=1}^\infty a_k$
$=s$
> Übrigens, auch in meinem Lösungsvorschlag habe ich diese
> Formel verwendet, aber nur anschaulich begründet.
Hmm, evtl. habe ich auch deine Frage falsch verstanden, weil, was ich oben geschrieben habe, müsste dir dann doch klar sein ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") . Ich lasse die Frage mal auf teilweise beantwortet.
Viele Grüße
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marc,
Dein Hinweis bringt mich auf die Begründung für
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k =\sum_{k=1}^\infty (a_{2k-1}+a_{2k})$.
[/mm]
Sei [mm] $s_n=\sum_{k=1}^n a_k$ [/mm] und [mm] $p_n=\sum_{k=1}^n (a_{2k-1}+a_{2k})$. [/mm] Dann ist [mm] $s_{2n}=p_n$, [/mm] so daß [mm] $(p_n)$ [/mm] als Teilfolge der konvergenten Folge [mm] $(s_n)$ [/mm] gegen denselben Grenzwert konvergiert.
In dieses Argument fließt weder die absolute Konvergenz der Reihen noch sowas wie das "Kommutativgesetz" absolut konvergierender Reihen. Allein aus der Konvergenz von [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] folgt die Konvergenz von [mm] $\sum_{k=1}^\infty (a_{2k}+a_{2k-1})$. [/mm] Man "darf" also bei konvergenten Reihen aufeinanderfolgende Glieder einklammern.
Grüße
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo FRED,
>
> > [mm]s= \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k}+ \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}= \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4}a_k+ \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}=\bruch{1}{4}s+\summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}[/mm]
>
> Wie läßt sich das erste Gleichheitszeichen oben einfach
> begründen? Bzw. warum gilt:
>
> [mm]\sum_{k=1}^\infty {a_k} = \sum_{k=1}^\infty (a_{2k} + {a_{2k-1})[/mm]
neben Marc's Erklärung: Man sollte aber dennoch die Konvergenz der einzelnen Reihen beachten (was natürlich nicht schwer zu begründen ist).
Mein Hinweis an Ana war ähnlich:
[mm] $$a_1+a_2+...+a_n=(a_1+a_3+...+a_\ell)+(a_2+a_4+...+a_p)\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $\ell$ [/mm] die größte ungerade Zahl [mm] $\le [/mm] n$ und [mm] $p\,$ [/mm] die größte gerade Zahl [mm] $\le [/mm] n$ ist.
Danach macht man sowas bei geradem [mm] $n\,$
[/mm]
[mm] $$(a_1+a_3+...+a_\ell)=(a_1+0+a_3+0+...+a_\ell+0)$$ [/mm]
und findet da [mm] ${^u}s_n$ [/mm] wieder - analog mit [mm] ${^g}s_n$...
[/mm]
P.S.
Wenn man ganz streng arbeitet, sollte man beachten, dass die Formel [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k=\sum_{k=1}^\infty (a_{2k}+a_{2k-1})$ [/mm] nicht immer (bzw. nicht ohne weiteres!) gilt. Setze ich nämlich [mm] $a_k:=(-1)^k\,,$ [/mm] so steht rechterhand [mm] $\sum_{k=1}^\infty 0=0\,,$ [/mm] linkerhand aber eine divergente Reihe.
Daher immer bedenken, womit man gerade arbeitet. Denn nach wie vor steht [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] erstmal für die Folge der Teilsummen. Also bei der Formel sollte man sich schon Gedanken machen, wann und warum man sie dann verwenden darf. Wenn die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] absolut konvergiert, sollte es keine Probleme geben. Über schwächere Voraussetzungen habe ich mir keine Gedanken gemacht - da wir hier sowieso mit dem Argument der absoluten Kgz. gut zum Ziel kommen! (Ich denke aber, dass es reicht, wenn zwei der drei Reihen konvergieren. Bin nur zu faul, um's gerade auf's Papier zu schreiben und durchzudenken. Kann ja jemand nachtragen!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
Zum Nachweis von [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k= \sum_{k=1}^\infty (a_{2k-1}+a_{2k})$ [/mm] reicht die Konvergenz der linken Reihe, da die rechte Partialsummenfolge eine Teilfolge der linken Partialsummenfolge ist. Insbesondere konvergiert die rechte Reihe.
Zum Nachweis von [mm] $\sum_{k=1}^\infty (a_{2k-1}+a_{2k})=\sum_{k=1}^\infty a_{2k-1}+\sum_{k=1}^\infty a_{2k}$ [/mm] braucht man die Konvergenz einer der beiden rechten Reihen, da die linke Reihe ja schon als konvergent erkannt wurde.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Marcel,
>
> Zum Nachweis von [mm]\sum_{k=1}^\infty a_k= \sum_{k=1}^\infty (a_{2k-1}+a_{2k})[/mm]
> reicht die Konvergenz der linken Reihe, da die rechte
> Partialsummenfolge eine Teilfolge der linken
> Partialsummenfolge ist.
hier stand eben Quatsch: Natürlich hast Du recht!!
> Insbesondere konvergiert die rechte
> Reihe.
>
> Zum Nachweis von [mm]\sum_{k=1}^\infty (a_{2k-1}+a_{2k})=\sum_{k=1}^\infty a_{2k-1}+\sum_{k=1}^\infty a_{2k}[/mm]
> braucht man die Konvergenz einer der beiden rechten Reihen,
> da die linke Reihe ja schon als konvergent erkannt wurde.
Ich meinte das allgemein. Du kannst nämlich auch die Konvergenz einer Reihe [mm] $\sum a_k$ [/mm] beweisen, indem Du die der beiden Reihen [mm] $\sum a_{2k}$ [/mm] und [mm] $\sum a_{2k-1}$ [/mm] zeigst.
Aber ich denke, wir wissen das hier alle eigentlich. Manchmal ist's nur gut, wenn man nochmal strikt nach Definition arbeitet, weil sich manche "Rechenregel" schon so verinnerlicht hat, dass man manches automatisiert hat. Und an anderer Stelle wundert man sich mal und verwirrt sich selber, weil man einen Schritt automatisiert hat, ohne daran gedacht zu haben, dass der gewissen Voraussetzungen bedarf. Und dann ist's gut, wenn man selbst nochmal weiß, was das eigentlich alles bedeutet, was man da macht oder machen will 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Für [mm]a_k:=\bruch{1}{k^2}[/mm] und [mm]s:=\summe_{k=1}^{\infty}a_k[/mm]
> gilt wegen
>
> [mm]a_{2k}= \bruch{1}{4}a_k:[/mm]
>
> [mm]s= \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k}+ \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}= \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4}a_k+ \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}=\bruch{1}{4}s+\summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}[/mm]
>
> Also: [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}=\bruch{3}{4}s[/mm]
>
> FRED
ich darf aber ein Argument ergänzen: Mindestens zwei der Reihen [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k\,,$ $\sum_{k=1}^\infty a_{2k}$ [/mm] und [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_{2k-1}$ [/mm] sollte man hierbei schon als konvergent erkannt haben.
Das ist hier natürlich kein großes Problem, weil [mm] $\sum a_k$ [/mm] bereits als konvergent erkannt ist (jedenfalls ist das nicht schwer zu sehen) und [mm] $\sum a_{2k}$ [/mm] konvergiert hier wegen [mm] $a_{2k}=1/4\;a_k$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $\sum a_k$ [/mm] dies tut. Ist also auch konvergent!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 So 03.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> ich darf aber ein Argument ergänzen: Mindestens zwei der
> Reihen [mm]\sum_{k=1}^\infty a_k\,,[/mm] [mm]\sum_{k=1}^\infty a_{2k}[/mm]
> und [mm]\sum_{k=1}^\infty a_{2k-1}[/mm] sollte man hierbei schon als
> konvergent erkannt haben.
Wieso mindestens 2? Gibts da einen Satz oder eine Definition zu, damit ich deine Behauptung besser verstehen kann, oder gibts da eine triviale Erklärung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 So 03.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana,
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> > ich darf aber ein Argument ergänzen: Mindestens zwei der
> > Reihen [mm]\sum_{k=1}^\infty a_k\,,[/mm] [mm]\sum_{k=1}^\infty a_{2k}[/mm]
> > und [mm]\sum_{k=1}^\infty a_{2k-1}[/mm] sollte man hierbei schon als
> > konvergent erkannt haben.
>
> Wieso mindestens 2? Gibts da einen Satz oder eine
> Definition zu, damit ich deine Behauptung besser verstehen
> kann, oder gibts da eine triviale Erklärung?
es ist fast trivial: Dass [mm] $\sum a_k$ [/mm] konvergiert, falls beide Reihen [mm] $\sum a_{2k}$ [/mm] und [mm] $\sum a_{2k-1}$ [/mm] konvergieren, ist klar - falls nicht: Schreib' Dir das ganze halt mit der Partialsummenfolge jeweils auf. Dann siehst Du eigentlich, dass man auf den altbekannten Satz, dass eine Folge, die Summe zweier konvergenten Folgen ist, konvergiert, und zwar gegen die Summe der beiden Grenzwerte.
Die anderen Behauptungen erkennt man auf ähnlichem Wege. Wie gesagt:
Wenn man etwas nicht direkt erkennt, dann arbeite man etwa so:
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] steht erstmal für die Folge [mm] $(s_n)_{n \in \IN}:\equiv(\sum_{k=1}^n a_k)_{n \in \IN}\,.$
[/mm]
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_{2k}$ [/mm] steht erstmal für die Folge [mm] $({sg_{n}})_{n \in \IN}:\equiv(\sum_{k=1}^n a_{2k})_{n \in \IN}\,.$ [/mm]
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_{2k-1}$ [/mm] steht erstmal für die Folge [mm] $({su_{n}})_{n \in \IN}:\equiv(\sum_{k=1}^n a_{2k})_{n \in \IN}\,.$ [/mm]
(Ich hatte oben immer sowas wie [mm] $^g{s_n}$ [/mm] anstatt [mm] $sg_n$ [/mm] geschrieben - aber irgendwie gefällt's mir nicht, dass [mm] $^g{s_n}$ [/mm] immer "nach unten verschoben erscheint".)
Erstmal zur Erinnerung: Falls [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] konvergiert, so existiert ja für [mm] $(s_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ein Grenzwert. Wenn Du diesen [mm] $s\,$ [/mm] nennst, so ist [mm] $s:=\lim_{n \to \infty}s_n=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n a_k\,,$ [/mm] und dann bekommt das Symbol [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] eine zusätzliche Interpretationsmöglichkeit: Man schreibt dann auch [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k:=s\,.$
[/mm]
Und nun:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt doch, dass [mm] $s_n=sg_{\lfloor n/2\rfloor}+su_{\lfloor (n+1)/2\rfloor}\,.$ [/mm] Wenn Du Dich nun erinnerst, dass eine Folge, die Summe/Differenz zweier konvergenter Folgen ist, konvergiert, bist Du fertig.
Aber wie gesagt: Man macht logisch nichts verkehrt, wenn man alles genau durchdenkt - was das immer im einzelnen bedeutet, anstatt irgendwie ein Schema auswendig zu lernen. Denn Wolfgang hat auch recht:
Erst die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] erlaubt es, auch zu schreiben
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty a_k=\sum_{k=1}^\infty (a_{2k}+a_{2k-1})\,,$$
[/mm]
wobei "die letztstehende Gleichheit eine Grenzwertgleichheit ist".
Denn für die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k=\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)_{n \in \IN}$ [/mm] ist die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty (a_{2k}+a_{2k-1})=\left(\sum_{k=1}^{2n}a_k\right)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Teilfolge - und während aus der Konvergenz einer Folge folgt, dass jede Teilfolge konvergiert und zwar gegen den Grenzwert der Ausgangsfolge, so folgt alleine aus der Konvergenz EINER TEILFOLGE noch lange nicht, dass die Ausgangsfolge überhaupt konvergiert!
Gruß,
Marcel
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