Gleichheit von zwei Reihen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Di 25.04.2017 | | Autor: | Paivren |
Hallo Leute,
in einem Beweis kann ich die Gleichheit von zwei Reihen nicht nachvollziehen. Sieht jemand, warum die Reihen gleich sind?
Es soll die Gleichheit von exp(z)exp(w)=exp(z+w) gezeigt werden. Aus dem linken Term folgt dann die linke Summe, und von da soll man auf die rechte Summe kommen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{\nu=0}^{n}\bruch{z^{\nu}w^{n-\nu}}{\nu!(n-\nu)!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(z+w)^{n}}{n!}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 Di 25.04.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Paivren 
es wird der binomische Lehrsatz benutzt, der wie folgt lautet:
Seien z,w reelle Zahlen und n [mm] \in \IN. [/mm] Dann gilt:
[mm] \summe_{\nu=0}^{n} \vektor{n\\\nu} z^{\nu}w^{n-\nu} [/mm] = [mm] (z+w)^{n}
[/mm]
Wegen [mm] \vektor{n\\\nu} [/mm] = [mm] \frac{n!}{\nu!(n-\nu)!} [/mm] ergibt sich:
[mm] \summe_{\nu=0}^{n}\bruch{z^{\nu}w^{n-\nu}}{\nu!(n-\nu)!} [/mm] = [mm] \frac{1}{n!} \summe_{\nu=0}^{n}\bruch{n! z^{\nu}w^{n-\nu}}{\nu!(n-\nu)!} [/mm] = [mm] \frac{1}{n!} \summe_{\nu=0}^{n} \bruch{n!}{\nu!(n-\nu)!} [/mm] * [mm] z^{\nu}w^{n-\nu} [/mm] = [mm] \frac{1}{n!} \summe_{\nu=0}^{n} \vektor{n\\\nu} [/mm] * [mm] z^{\nu}w^{n-\nu} [/mm] = [mm] \frac{(z+w)^{n}}{n!}
[/mm]
Und daraus die Gleichheit
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{\nu=0}^{n}\bruch{z^{\nu}w^{n-\nu}}{\nu!(n-\nu)!} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(z+w)^{n}}{n!} [/mm] $
Viele Grüße,
X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 Mi 26.04.2017 | | Autor: | Paivren |
Hallo X3nion,
vielen Dank für die Antwort.
Respekt, dass du das gleich gesehen hast, ohne das Stichwort "Bin. Lehrsatz" wäre ich nie drauf gekommen.
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