Gleichmächtigkeit zweier Meng. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Matheraum, ich bin mal wieder an einer Übungsaufgabe angelangt, die ich nicht ganz verstehen will.
Zeigen Sie: [mm] \IZ [/mm] und die Menge P aller Primzahlen sind gleichmächtig.
Ich muss also versuchen, eine bijektikve Abbildung zu finden, die jede ganze Zahl auf eine Primzahl abbildet. Doch ich komme einfach nicht weiter, vielleicht ist es auch ein Denkfehler, aber es gibt doch für Primzahlen keine solche Abbildung, ansonsten wären ja alle Primzahlen vorschriftsmäßig bekannt, aber das ist doch nicht der fall.
In meinem Buch ist die Teilaufgabe davor, beweisen sie dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dafür ist im Lösungsteil, der Beweis von Euklid angegeben, der ja auch sehr verständlich ist, und als Lösung für die Frage oben, steht klar nach dem Beweis von Euklid. Ich komme einfach nicht drauf, wahrscheinlich ist es nur eine kleine Denkblockade, wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
mfg. info-tronic
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Do 08.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
der Beweis davor ist der springende Punkt !
Du kannst doch alle Primzahlen der Größe nach ordnen und weil es nach Euklid unendlich viele sind, sind die Menge der Primzahlen und die Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig.
(du kannst die Abbildung nicht angeben, aber dennoch gibt es offenbar eine Abzählung)
nun ist deine Aufgabe noch zu zeigen, dass auch [mm] $\IZ$ [/mm] gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen ist, denn dann wärest du ja fertig, ist dir das klar?
(wie gesagt : ohne zu wissen, wie denn tatsächlich eine bijektive Abbildung zw. [mm] $\IN$ [/mm] und P aussieht)
nun kannst du dir ja mal ein bijektive Abbildung zw. [mm] $\IZ$ [/mm] und [mm] $\IN$ [/mm] überlegen...
wenn du einen keinen Tipp willst, dann lies nicht weiter !!!!111
viele Grüße
DaMenge
Tipp : versuche die geraden Zahlen auf alle positive Zahlen abzubilden und alle ungeraden Zahlen auf alle negativen Zahlen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Do 08.09.2005 | | Autor: | mathedman |
> Du kannst doch alle Primzahlen der Größe nach ordnen und
> weil es nach Euklid unendlich viele sind, sind die Menge
> der Primzahlen und die Menge der natürlichen Zahlen
> gleichmächtig.
> (du kannst die Abbildung nicht angeben, aber dennoch gibt
> es offenbar eine Abzählung)
Man kann sowas schon angeben:
[mm]f\colon \mathbb{N} \to \mathbb{P}[/mm]
[mm]f(0) := 2[/mm]
[mm]f(n+1) := \min\{x \in \mathbb{P} \mid x > f(n) \}[/mm]
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Ich würde sagen, eine solche Abbildung würde wie folgt aussehen.
f(x)=2x , für [mm] x\ge{0}
[/mm]
f(x)=-2x-1 , für x<0
Das ist auf jedenfall eine bijektive Abbildung und somit sind beide Mengen gleichmächtig.
Trotzdem verstehe ich deine herangehensweise noch nicht, es ist doch nicht trivial, dass alle unendlichen Mengen gleichmächtig sind, weil du es am Anfang deines Post einfach so hingeschrieben hast, ohne einen Beweis. Warum ich Z und N nun zeigen musste ist mir klar, du sagtest erst sei N gleichmächtig mit P (wie kommst du drauf), dann ist nur noch zu zeigen N und Z sind gleichmächtig und schon hat man die GLeichmächtigkeit von Z und P.
mfg.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Do 08.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
es sind doch nicht alle unendlichen Mengen gleichmächtig !
Aber ich habe doch schon ein Abzählung der Primzahlen durch ihre Größe angegeben - nichts anderes ist doch eine bijektive Abbildung auf N.
(Für jede natürliche Zahl n gibt es eine Primzahl - nämlich die an n-ter Stelle und umgekehrt auch, dennl P ist eine Teilmenge von N und kann natürlich nicht mächtiger sein als N)
viele Grüße
DaMenge
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