Gleichmäßige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Ledi |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{kx} [/mm]
auf gleichmäßige Konvergenz in (0,1]. |
Hallo!
Ich hätte da eine Frage zu dieser Aufgabe. Ich bin wie folgt an die Aufgabe rangegangen:
[mm] |f_{n}-f| [/mm] = [mm] |\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{kx} [/mm] - $ln(2)$| [mm] \le |\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{kx}| \le |\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{kx}| \le |\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}|=|\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}|=\infty.
[/mm]
Daraus folgt, dass die Reihe nicht gleichmäßig konvergent ist.
Ist das so richtig?
Gruß Ledi!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Fr 18.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{kx}[/mm]
> auf gleichmäßige Konvergenz in (0,1].
> Hallo!
>
> Ich hätte da eine Frage zu dieser Aufgabe. Ich bin wie
> folgt an die Aufgabe rangegangen:
> [mm]|f_{n}-f|[/mm] = [mm]|\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{kx}[/mm] -
> [mm]ln(2)[/mm]| [mm]\le |\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{kx}| \le |\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{kx}| \le |\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}|=|\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}|=\infty.[/mm]
>
> Daraus folgt, dass die Reihe nicht gleichmäßig konvergent
> ist.
>
> Ist das so richtig?
Nein.
https://matheraum.de/read?t=1016877
FRED
>
> Gruß Ledi!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Ledi |
Okay, danke.
Allerdings hilft mir das nicht weiter, was da auf der anderen Seite steht.
Und was habe ich nun falsch gemacht?
Vielleicht kann mir das ja jemand erklären?
Gruß Ledi!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Fr 18.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Okay, danke.
> Allerdings hilft mir das nicht weiter, was da auf der
> anderen Seite steht.
Da steht doch genau DEine obige Aufgabe !
> Und was habe ich nun falsch gemacht?
>
> Vielleicht kann mir das ja jemand erklären?
Du hattest:
$ [mm] |f_{n}-f| [/mm] $ = $ [mm] |\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{kx} [/mm] $ - $ ln(2) $| $ [mm] \le |\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{kx}| \le |\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{kx}| \le |\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}|=|\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}|=\infty. [/mm] $
Mit f meinst Du wohl die (punktweise) Summenfunktion der Reihe. Die ist aber nicht ln(2), sondern ?
Das erste [mm] \le [/mm] ist völlig falsch und Deine Folgerung ebenso.
FRED
>
> Gruß Ledi!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Ledi |
Erstmal danke.
Es muss natürlich [mm] \bruch{ln(2)}{x} [/mm] heißen und nicht nur $ln(2)$ und f soll in der Tat die punktweise Summenfunktion der Reihe sein.
Ich glaube, ich habe jetzt verstanden, dass die erste Abschätzung falsch ist.
Allerdings stehe ich gerade völlig auf dem Schlauch. Wie kann ich denn sonst abschätzen?
Gruß Ledi!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Fr 18.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal danke.
>
> Es muss natürlich [mm]\bruch{ln(2)}{x}[/mm] heißen und nicht nur
> [mm]ln(2)[/mm] und f soll in der Tat die punktweise Summenfunktion
> der Reihe sein.
> Ich glaube, ich habe jetzt verstanden, dass die erste
> Abschätzung falsch ist.
> Allerdings stehe ich gerade völlig auf dem Schlauch. Wie
> kann ich denn sonst abschätzen?
Nochmal
https://matheraum.de/read?t=1016877
FRED
>
> Gruß Ledi!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Ledi |
Hi!
Ist das so gemeint?
$ [mm] s_n(x):=\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^{k-1}}{xk} [/mm] $ für x $ [mm] \in [/mm] $ (0,1] und wenn ich mir nun die Folge $ [mm] (s_n(1/n)) [/mm] $ anschaue, müsste ich mir doch Folgendes anschauen und auf gleichmäßige Konvergenz untersuchen: $ [mm] s_n(\bruch{1}{n}):=\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^{k-1}*n}{k} [/mm] $ für n $ [mm] \in [/mm] $ (0,1]. Also für [mm] x=\bruch{1}{n} [/mm] ist.
Sorry, dass ich es nicht so ganz verstehe!
Gruß Ledi!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Sa 19.04.2014 | | Autor: | Ledi |
Hi!
Ist das so gemeint?
$ [mm] s_n(x):=\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^{k-1}}{xk} [/mm] $ für x $ [mm] \in [/mm] $ (0,1] und wenn ich mir nun die Folge $ [mm] (s_n(1/n)) [/mm] $ anschaue, müsste ich mir doch Folgendes anschauen und auf gleichmäßige Konvergenz untersuchen: $ [mm] s_n(\bruch{1}{n}):=\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^{k-1}\cdot{}n}{k} [/mm] $ für n $ [mm] \in [/mm] $ (0,1]. Also für $ [mm] x=\bruch{1}{n} [/mm] $ ist.
Sorry, dass ich es nicht so ganz verstehe!
Naja, ich versuch's nochmal. Ich komme einfach nicht weiter mit dieser Aufgabe. Bin ein wenig am Verzweifeln.
Gruß Ledi!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Sa 19.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn x=1/n in (0,1] liegt liegt doch n nicht in (0,1]
nimm x=1/10000000. was ist jetzt n
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Sa 19.04.2014 | | Autor: | Ledi |
Hi!
Erstmal danke für die Hilfe.
Also, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe ist mein [mm] n\in\IN [/mm] und für $n=1$ ist mein $x=1$ geht mein $n$ jetzt gegen unendlich so geht mein $x$ gegen $0$.
Da mein [mm] $n\in\IN$ [/mm] gegen unendlich geht, divergiert die Reihe und somit herrscht keine gleichmäßige Konvergenz.
Oder warum sonst betrachtet man überhaupt [mm] $x=\bruch{1}{n}$?
[/mm]
Gruß Ledi!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Mo 21.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
> Erstmal danke für die Hilfe.
>
> Also, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe ist mein
> [mm]n\in\IN[/mm] und für [mm]n=1[/mm] ist mein [mm]x=1[/mm] geht mein [mm]n[/mm] jetzt gegen
> unendlich so geht mein [mm]x[/mm] gegen [mm]0[/mm].
> Da mein [mm]n\in\IN[/mm] gegen unendlich geht, divergiert die Reihe
> und somit herrscht keine gleichmäßige Konvergenz.
> Oder warum sonst betrachtet man überhaupt
> [mm]x=\bruch{1}{n}[/mm]?
O.k., machen wirs so:
Sei $ [mm] s_n=\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] $ und
$ [mm] f_n(x):=\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^{k-1}}{xk} [/mm] $
1. [mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf (0,1] punktweise gegen f(x):=ln(2)/x
2. [mm] (s_n) [/mm] kovergiert gegen ln(2)
Setzen wir [mm] b_n:=|s_n-ln(2)| [/mm] , so ist [mm] (b_n) [/mm] eine Nullfolge und [mm] b_n \ne [/mm] 0.
Damit ex. ein [mm] N_1 \in \IN [/mm] mit
[mm] b_n \in [/mm] (0,1) für alle [mm] n>N_1.
[/mm]
Weiter ist
(*) [mm] |f_n(x)-f(x)|=\bruch{b_n}{x} [/mm] für alle n [mm] \in \INund [/mm] alle x [mm] \in [/mm] (0,1].
Nun nehmen wir an, dass [mm] (f_n) [/mm] auf (0,1] gleichmäßig gegen f konvergiert.
Zu [mm] \varepsilon=1 [/mm] ex. dann ein [mm] N_2 \in \IN [/mm] mit:
[mm] |f_n(x)-f(x)|<1 [/mm] für alle n> [mm] N_2 [/mm] und alle x [mm] \in [/mm] (0,1].
Ist nun [mm] n>N_1 [/mm] und [mm] n>N_2, [/mm] so folgt aus (*):
[mm] 1=|f_n(b_n)-f(b_n)|<1
[/mm]
Widerspruch.
FRED
>
> Gruß Ledi!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Mo 21.04.2014 | | Autor: | Petrit |
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:40 Mo 21.04.2014 | | Autor: | Ledi |
Vielen lieben Dank!
Gruß Ledi!
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