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| Aufgabe | Die Funktionenfolge [mm] (f_{n}) [/mm] sei erklärt durch
[mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+x^{2n}} [/mm] , [mm] n\in\IN [/mm] , [mm] x\in\IR [/mm] .
a.) Bestimmen Sie die Grenzfunktion f(x).
b.) Untersuchen Sie, ob auf den Intervallen I = [0,1] und J = [mm] [\bruch{-1}{2},\bruch{1}{2}] [/mm] gleichmäßige Konvergenz vorilegt. |
Hallo zusammen,
mir ist leider nicht ganz klar, ob ich diese Aufgabe richtig gelöst habe, da mir mein Ergebnis zu simpel vorkommt. Vielleicht könnt Ihr mir weiterhelfen. Ich habe also folgendes gerechnet:
a.) f(x) = 1, für |x| < 1 , f(x) = [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] für |x| = 1 , f(x) = 0, für |x| > 1
b.) I = [0,1] :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [ [mm] sup(x\inI) |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| ] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |f_{n}(1) [/mm] - f(1)| = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = 0
J = [mm] [\bruch{-1}{2},\bruch{1}{2}] [/mm] :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [ [mm] sup(x\inJ) |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| ] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |f_{n}(\bruch{1}{2}) [/mm] - [mm] f(\bruch{1}{2})| [/mm] =
1 - 1 = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] gleichmäßige Konvergenz
Es wäre toll, wenn Ihr mir helfen könntet.
Danke schonmal im Voraus.
Gruß Michael
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Hey,
die Grenzfunktion hast du richtig gebildet.
Gucke sie dir nochmal genau an, und überlege dann, dass [mm] f_n [/mm] auf dem abgeschlossenen Intervall [0,1] gar nicht gleichmäßig konvergieren kann.
Grüße Patrick
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Achso, aber wie erkenne ich das denn? Sorry, hab das noch nicht so ganz verstanden, denn ich hab doch einfach nur die Formel für gleichmäßige Konvergenz verwendet, deshalb weiß ich nicht was ich anders machen soll...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Sa 04.10.2008 | | Autor: | thane |
Hallo,
wenn es um glm. Konvergenz geht und du den Verdacht hast, dass die Funktionen-Folge nicht glm. konvergiert solltest du dir eine Folge in deinem Intervall suchen (meist in Abhängigkeit von n) und schaun ob die Funktion auch damit gegen die Grenzfunktion läuft.
Als Beispiel [mm] \bruch{1}{n} \in [/mm] $ [0,1] $. Also [mm] |f_{n}(\bruch{1}{n}) [/mm] - [mm] f(\bruch{1}{n})| [/mm] nur als Idee.
Oder du nimmst den abstrakteren Weg, vorausgesetzt ihr habt schon ein paar Sätze, dann könnte es sehr nützlich sein sich die Grenzfunktion genauer anzuschaun im Bezug auf Stetigkeit.
Gruß,
Thane
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Hi,
ich glaube aber du hast die Formel nicht richtig angewendet. Woher weißt du genau, dass bei 1 bzw. 1/2 das Supremum liegt? Du musst ja das Supremum der Differenz [mm] f_n-f [/mm] finden und nicht von den einzelnen Funktionen.
In [0,1] kann die Fkt. nicht glm. stetig sein, weil sich dann die Stetigkeit von [mm] f_n [/mm] auf f übertragen würde, dass ist aber hier nicht der Fall.
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Hi nochmal,
die gleichmäßige Konvergenz auf dem Intervall [mm] [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] [/mm] kann man m.E. am besten so zeigen:
[mm] ||f_n-f||=||\frac{1}{1+x^{2n}}-1||=||\frac{-x^{2n}}{1+x^{2n}}|| \to [/mm] 0, für [mm] n\to \infty, [/mm] da |x|<1.
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