Gleichmäßige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Fr 03.06.2011 | | Autor: | snikch |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2(1-x^2)}{(k^4+x^4)} [/mm] soll auf [0,c] mit c>0 und auf [mm] [0,\infty) [/mm] auf Konvergenz untersucht werden. |
Bisher habe ich gleichmäßige Konvergenz auf [0,c] festgestellt, denn für [mm] f_{k}=\bruch{k^2(1-x^2)}{(k^4+x^4)} [/mm] gilt:
[mm] \begin{Vmatrix}
f_{k} \\
\end{Vmatrix}_{\infty} [/mm] = [mm] \begin{Vmatrix}
\bruch{k^2(1-x^2)}{(k^4+x^4)}\\
\end{Vmatrix}_{\infty} \le \begin{Vmatrix}
\bruch{k^2(1-x^2)}{k^4}\\
\end{Vmatrix}_{\infty} =\begin{Vmatrix}
\bruch{1-x^2}{k^2}\\
\end{Vmatrix}_{\infty} [/mm] = [mm] \bruch{c^2-1}{k^2} [/mm] für alle x [mm] \le [/mm] c
Nun ist [mm] (c^2-1)\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2} [/mm] konvergent, so dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2(1-x^2)}{(k^4+x^4)} [/mm] glm. auf [0,c] konvergiert (Maj.krit.)
Nun habe ich die Vermutung, dass die Reihe auf [mm] [0,\infty) [/mm] nicht glm. konvergiert. Demnach müsste ich ja zeigen, dass:
[mm] \begin{Vmatrix}
\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2(1-x^2)}{(k^4+x^4)} - \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^2(1-x^2)}{(k^4+x^4)}\\
\end{Vmatrix}_{\infty} \ge \varepsilon [/mm] für ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
Jedoch habe ich damit ein paar Probleme. Ich hoffe ihr könnt mir einen Hinweis dazu geben, wie ich hier weiter vorzugehen habe. Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Sa 04.06.2011 | | Autor: | snikch |
So ich hab jetzt nochmal etwas probiert:
Bei glm Konvergenz muss gelten [mm] \begin{Vmatrix} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2(1-x^2)}{(k^4+x^4)} - \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^2(1-x^2)}{(k^4+x^4)}\\ \end{Vmatrix}_{\infty} \le \varepsilon [/mm] für [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [0,\infty).
[/mm]
Da x [mm] \in [0,\infty) [/mm] könnte ich ja x=k wählen, so dass folgt:
[mm] \begin{Vmatrix} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2(1-k^2)}{(k^4+k^4)} - \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^2(1-k^2)}{(k^4+k^4)}\\ \end{Vmatrix}_{\infty}=\begin{Vmatrix} \summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{k^2(1-k^2)}{(k^4+k^4)} \\ \end{Vmatrix}_{\infty}= \begin{Vmatrix} \summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{k^2-k^4}{2k^4}\\ \end{Vmatrix}_{\infty}
[/mm]
Kann ich dann über die Divergenz von [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{1}{2} [/mm] begründen, dass die Reihe auf [mm] [0,\infty) [/mm] nicht glm konvergiert? Oder bin ich total auf dem Holzweg?
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Moin snikch,
> So ich hab jetzt nochmal etwas probiert:
> Bei glm Konvergenz muss gelten [mm]\begin{Vmatrix} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2(1-x^2)}{(k^4+x^4)} - \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^2(1-x^2)}{(k^4+x^4)}\\ \end{Vmatrix}_{\infty} \le \varepsilon[/mm]
> für [mm]\varepsilon[/mm] > 0 und [mm]\forall[/mm] x [mm]\in [0,\infty).[/mm]
> Da x
> [mm]\in [0,\infty)[/mm] könnte ich ja x=k wählen, so dass folgt:
> [mm]\begin{Vmatrix} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2(1-k^2)}{(k^4+k^4)} - \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^2(1-k^2)}{(k^4+k^4)}\\ \end{Vmatrix}_{\infty}=\begin{Vmatrix} \summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{k^2(1-k^2)}{(k^4+k^4)} \\ \end{Vmatrix}_{\infty}= \begin{Vmatrix} \summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{k^2-k^4}{2k^4}\\ \end{Vmatrix}_{\infty}[/mm]
Achtung, hier sollte eigentlich eine Abschätzung [mm] (\geq) [/mm] stehen, da du nur einen Wert (x=k) einsetzt:
[mm] =\begin{Vmatrix} \summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{k^2(1-x^2)}{(k^4+x^4)} \\ \end{Vmatrix}_{\infty}\geq\summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{k^2(1-k^2)}{(k^4+k^4)}=\summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{1-k^2}{2k^2}
[/mm]
>
>
> Kann ich dann über die Divergenz von
> [mm]\summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{1}{2}[/mm] begründen, dass die
> Reihe auf [mm][0,\infty)[/mm] nicht glm konvergiert?
Jo.
> Oder bin ich total auf dem Holzweg?
Nein, das sieht doch schon nach einem sehr guten Widerspruchsbeweis aus.
LG
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2(1-x^2)}{(k^4+x^4)}[/mm] soll
> auf [0,c] mit c>0 und auf [mm][0,\infty)[/mm] auf Konvergenz
> untersucht werden.
>
>
> Bisher habe ich gleichmäßige Konvergenz auf [0,c]
> festgestellt, denn für
> [mm]f_{k}=\bruch{k^2(1-x^2)}{(k^4+x^4)}[/mm] gilt:
> [mm]\begin{Vmatrix}
f_{k} \\
\end{Vmatrix}_{\infty}[/mm] = [mm]\begin{Vmatrix}
\bruch{k^2(1-x^2)}{(k^4+x^4)}\\
\end{Vmatrix}_{\infty} \le \begin{Vmatrix}
\bruch{k^2(1-x^2)}{k^4}\\
\end{Vmatrix}_{\infty} =\begin{Vmatrix}
\bruch{1-x^2}{k^2}\\
\end{Vmatrix}_{\infty}[/mm] = [mm]\bruch{c^2-1}{k^2}[/mm] für alle x [mm]\le[/mm] c
Das [mm] c^2-1 [/mm] stimmt nicht. Es ist [mm] \sup_{x\in[0,c]}|1-x^2|=\max\{1, |c^2-1|\}
[/mm]
Das tut dem Beweis aber nichts, denn es bleibt konstant/ beschränkt.
>
> Nun ist [mm](c^2-1)\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2}[/mm]
> konvergent, so dass [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2(1-x^2)}{(k^4+x^4)}[/mm]
> glm. auf [0,c] konvergiert (Maj.krit.)
LG
>
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