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| Aufgabe | Untersuchen sie die folgende Funktion auf gleichmäßige Stetigkeit:
f : [mm] \IR^{n} \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] \underbrace{inf}_{a \in A} [/mm] |x - a|, A [mm] \subset IR^{n}, [/mm] A [mm] \not= \emptyset [/mm] |
Ich habe diese Frage bereits in einem anderen Forum gestellt, und zwar unter http://www.matheplanet.com.
Hallo! Wir sollen die o.g. Funktion auf gleichmäßige Stetigkeit untersuchen, wissen aber absolut nicht, wie wir x bzw [mm] x_{0} [/mm] festlegen sollen, damit unsere Gleichmäßige-Stetigkeits-Bedingung
[mm] \forall_{\varepsilon>0} \exists_{\delta>0} \forall_{x_{0}} \forall_{x\inD} [/mm] (| x - [mm] x_{0} [/mm] | < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] | f(x) - [mm] f(x_{0}) [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] )
erfüllt wird.
Vielen Dank im Voraus!
Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Wir verallgemeinern:
Sei $(X,d)$ metrischer Raum und [mm] $A\subset [/mm] X$, so ist die Funktion [mm] $d_A(x):X\to\IR$ [/mm] mit [mm] $x\mapsto \inf\{d(x,a)|a\in A\}$ [/mm] gleichmäßig stetig.
Zum Beweis:
Sei ein [mm] $\epsilon>0$ [/mm] beliebig gewählt. Betrachte nun zwei [mm] $x,y\in [/mm] X$ mit [mm] $d(x,y)<\epsilon$. [/mm] Für ein [mm] $a\in [/mm] A$ ist dann nach der Dreiecksungleichung [mm] $d(a,x)
Liebe Grüße,
Hanno
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