Gleichmäßige Stetigkeit: exp < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe gelesen, dass exp(x) nicht gleichmäßig stetig auf [mm] \IR [/mm] ist, jedoch gleichmäßig stetig auf [mm] ]\infty,0]
[/mm]
Erstmal eine allgemeine Frage:
Der Unterschied zwischen der gewöhnlichen Stetigkeit und gleichmäßiger Stetigkeit ist, dass bei der gewöhnlichen Stetigkeit delta nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt und nicht zusätzlich von xo.
Heißt das, dass ich einfach die Epsilon-Delta-Definition zur Stetigkeit auf f(x)=exp(x) anwende und wenn bei der Abschätzung das xo weggeschätz wird , dann ist die funktion gleichmäßig stetig und wenn nicht, dann normal(falls was rauskommt)?
Auf die Aufgabe bezogen:
für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] \partial>0 [/mm] für das gilt:
|f(x) [mm] -f(xo)|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] |x-xo|<\partial
[/mm]
also:
[mm] \partial<|x-xo|\ge [/mm] |x|-|xo| [mm] \gdw |x|<\partial [/mm] +|xo|
für:
[mm] |e^{x} [/mm] - [mm] e^{xo}|<|e^{\partial +|xo|}-e^{xo} [/mm] | [mm] =|e^{\partial} *e^{xo} -e^{xo} |\le |e^{\partial} *e^{xo}| +|e^{xo}|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw e^{\partial} [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{|e^{xo}|} [/mm] -1
da exp(x)>0 für alle x gilt:
[mm] e^{\partial} [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{e^{xo}} [/mm] -1 |ln()
[mm] \partial
[mm] \partial
und weil [mm] \partial [/mm] sowohl von [mm] \partial [/mm] als auch von xo abhängt, ist exp(x) in [mm] \partial [/mm] stetig aber nicht gleichmäßig stetig.
wo sind hier die fehler?
und wie beweist man die gleichmäßige Stetigkeit in [mm] ]\infty,0]?
[/mm]
so vielliecht?
[mm] |e^{-x} -e^{xo}|=|\bruch{1}{e^{x}} -\bruch{1}{e^{xo}}|
[/mm]
[mm] =|\bruch{e^{xo}-e^{x}}{e^{x+xo}}|
[/mm]
mit: [mm] |x|<\partial [/mm] +|xo| gilt:
[mm] |\bruch{e^{xo}-e^{x}}{e^{x+xo}}| [/mm] < [mm] |\bruch{e^{xo}-e^{\partial +|xo|}}{e^{\partial}}| [/mm] ......
und weiter weiß ich grad nicht...
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Hallo Roxas_Roxas,
> Hallo,
> ich habe gelesen, dass exp(x) nicht gleichmäßig stetig
> auf [mm]\IR[/mm] ist, jedoch gleichmäßig stetig auf [mm]]\infty,0][/mm]
> Erstmal eine allgemeine Frage:
> Der Unterschied zwischen der gewöhnlichen Stetigkeit und
> gleichmäßiger Stetigkeit ist, dass bei der gewöhnlichen
> Stetigkeit delta nur von [mm]\varepsilon[/mm] abhängt und nicht
> zusätzlich von xo.
Genau umgekehrt.
Gleichmäßige Stetigkeit ist eine strengere Eigenschaft, die ist restriktiver.
Hier darf das [mm] $\delta$ [/mm] nur von [mm] $\varepsilon$, [/mm] nicht aber von der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] abhängen.!
> Heißt das, dass ich einfach die Epsilon-Delta-Definition
> zur Stetigkeit auf f(x)=exp(x) anwende und wenn bei der
> Abschätzung das xo weggeschätz wird , dann ist die
> funktion gleichmäßig stetig und wenn nicht, dann
> normal(falls was rauskommt)?
>
> Auf die Aufgabe bezogen:
> für alle [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es ein [mm]\partial>0[/mm] für das
> gilt:
> |f(x) [mm]-f(xo)|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]|x-xo|<\partial[/mm]
> also:
> [mm]\partial\red{<}|x-xo|\ge[/mm] |x|-|xo| [mm]\gdw |x|<\partial[/mm] +|xo|
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Dreher? Und geht die umgekehrte Dreiecksungleichung nicht so:
[mm] $|x-y|\ge [/mm] ||x|-|y||$ ?
> für:
> [mm]|e^{x}[/mm] - [mm]e^{xo}|<|e^{\partial +|xo|}-e^{xo}[/mm] |
Wieso gilt das?
> [mm]=|e^{\partial} *e^{xo} -e^{xo} |\le |e^{\partial} *e^{xo}| +|e^{xo}|<\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\gdw e^{\partial}[/mm] < [mm]\bruch{\varepsilon}{|e^{xo}|}[/mm] -1
> da exp(x)>0 für alle x gilt:
> [mm]e^{\partial}[/mm] < [mm]\bruch{\varepsilon}{e^{xo}}[/mm] -1 |ln()
> [mm]\partial
> [mm]\partial
>
> und weil [mm]\partial[/mm] sowohl von [mm]\partial[/mm] als auch von xo
> abhängt, ist exp(x) in [mm]\partial[/mm] stetig aber nicht
> gleichmäßig stetig.
> wo sind hier die fehler?
>
> und wie beweist man die gleichmäßige Stetigkeit in
> [mm]]\infty,0]?[/mm]
> so vielliecht?
> [mm]|e^{-x} -e^{xo}|=|\bruch{1}{e^{x}} -\bruch{1}{e^{xo}}|[/mm]
>
> [mm]=|\bruch{e^{xo}-e^{x}}{e^{x+xo}}|[/mm]
> mit: [mm]|x|<\partial[/mm] +|xo| gilt:
> [mm]|\bruch{e^{xo}-e^{x}}{e^{x+xo}}|[/mm] <
> [mm]|\bruch{e^{xo}-e^{\partial +|xo|}}{e^{\partial}}|[/mm] ......
> und weiter weiß ich grad nicht...
Das ist schwer zu lesen und noch schwerer nachzuvollziehen ...
M.E. ist ein Beweis der Stetigkeit der Exponentialfunktion mit dem [mm] $\varepsilon-\delta$-Kriterium [/mm] schwierig.
Benutze lieber das Folgenkriterium der Stetigkeit.
Zeige dazu zunächst die Stetigkeit der Exponentialfunktion an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] (Folgenkrit. und Reihendarst.) und benutze weiterhin die Funktionalgleichung [mm] $e^{a+b}=e^{a}\cdot{}e^b$
[/mm]
LG
schachuzipus
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hey
ach ja, genau. das gilt für gleichmäßige Stetigkeit, dass delta nur von epsilon abhängt.ok
Stimmt mit dem Dreher bei [mm] \partial\red{<}|x-xo|
[/mm]
es sollte [mm] sein:\partial\>|x-xo|\ge|x|-|xo| [/mm] und daher:
[mm] \partial\+|xo|>|x|
[/mm]
zu: [mm] =|e^{\partial} \cdot{}e^{xo} -e^{xo} |\le |e^{\partial} \cdot{}e^{xo}| +|e^{xo}|<\varepsilon [/mm]
es gilt ja : exp(x+y)=exp(x)*exp(y) und dann hab ich einfach aufgelöst und vereinfacht, dann die Dreiecksungleichung benutzt um es auf
[mm] e^{\partial} [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{|e^{xo}|} [/mm] -1 zu vereinfachen.
Wie würdest du die epsilon-delta-definition für exp(x) anwenden?
Also wie ist sie richtig und was ich an meiner falsch?
ok stetigkeit im xo=0 für exp(x):
also:
[mm] \limes_{x\rightarrow xo}(f(x))=f(xo) [/mm] muss gelten.
[mm] \limes_{x\rightarrow o}(exp(x))=exp(\limes_{x\rightarrow\0}(x))=exp(0)=1=exp(0), [/mm] also stetig in diesem Punkt.
Ist das richitg mathematisch formuliert?
und wie macht man das für gleichmäßige Stetigkeit für [mm] ]\infty,0]
[/mm]
danke schonmal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Di 09.02.2010 | | Autor: | gfm |
Mal angenommen, Du dürftes [mm] \lim_{x\to0}e^x=1 [/mm] benutzen, dann bedeutet das
[mm] \forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta'(\epsilon')>0}\forall_{|x|<\delta'(\epsilon')}|1-e^x|<\epsilon'
[/mm]
Nun gewinnt mann aus
[mm] |e^u-e^v|=e^{u-v}e^v|1-e^{v-u}|<(1+\epsilon') e^v\epsilon'=:\epsilon
[/mm]
Folgende Argumentation:
Die Auflösung von [mm] (1+\epsilon') e^v\epsilon'=:\epsilon [/mm] nach [mm] \epsilon' [/mm] ergibt ein [mm] \epsilon'=f(v,\epsilon), [/mm] so daß für jedes [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] \epsilon' [/mm] existiert derart, das hierzu ein [mm] \delta' [/mm] existiert, so daß für [mm] |u-v|<\delta:=\delta'(f(v,\epsilon)) [/mm] gilt
[mm] |e^u-e^v|=e^{u-v}e^v|1-e^{v-u}|<(1+\epsilon') e^v\epsilon'=\epsilon
[/mm]
LG
gfm
Ach so, gleichmäßige Stetigkeit. Mir ist die Notation [mm] ]\infty,0] [/mm] nicht geläufig. Ich nehme an Du meinst [mm] (-\infty,0] [/mm]
[mm] \delta=\delta'(f(v,\epsilon))
[/mm]
enthält ja noch das v und auf ganz [mm] \IR [/mm] ist die e-Funktion ja nicht beschränkt. Nach [mm] -\infty [/mm] oder nach rechts bis null (oder auch weiter bis zu einem endlichen positiven Wert mit oder ohne Rand) ist die e-Funktion beschränkt. Deswegen wird man die Abhängigkeit von v los, indem man in [mm] (1+\epsilon') e^v\epsilon'=\epsilon [/mm] zum Supremum übergeht und dadurch ausreichend nach oben abschätzt.
Es sollte aber einen Satz geben, dass die Einschränkung stetiger Funktionen auf eine beschränkten Teildefinitionsbereich gleichm. stetig sind, oder so... :)
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hey
ah ja stimmt.
Satz:
Falls eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall [a,b] stetig ist, so folgt draus, dass die Funktion dort auch gleichmäßig stetig ist.
Dazu habe ich aber eine Frage:
für exp(x) für [mm] x\in (-\infty,0].
[/mm]
Dieser Intervall ist ja halb offen und somit nicht kompakt.
Kann man aber einfach sagen, dass [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}(exp(x))=0 [/mm] ist, und somit das halboffene Intervall auch als geschlossenes Intervall für diese Funktion gilt?
Denn dann hätte man ja einfach mit dem Satz bewiesen, dass eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall[a,b] somit gleichmäßig stetig ist.
In Wikipedia steht ja, dass die Funktion [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] im Intervall [mm] [0,\infty) [/mm] gleichmäßig stetig ist.
f(x) ist in ihrem Definitionsbereich gewöhnlich stetig.
Wie kann man hier mit dem Satz argumentieren, dass f(x) gleichmäßig stetig ist? Der Intervall ist ja nicht kompakt.
Danke schonmal
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Mi 10.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in jedem Intervall [a,b] b beliebig, fest, ist eine stetige fkt auch glm stetig, weil du immer das [mm] min\delta [/mm] in diesem Intervall als neues [mm] \delta [/mm] wählen kannst.
wenn [mm] e^x [/mm] aber in jedem endlichen intervall glm stetig ist, unabh. von b, dann ist es eben in [mm] [a,\infty) [/mm] glm stetig.
mit deinen Überlegungen bist du noch nicht sauber÷
[mm] |x-x_0|<\delta, [/mm] heisst [mm] -\delta
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Mi 10.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> hey
> ah ja stimmt.
>
> Satz:
> Falls eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall
> [a,b] stetig ist, so folgt draus, dass die Funktion dort
> auch gleichmäßig stetig ist.
>
> Dazu habe ich aber eine Frage:
> für exp(x) für [mm]x\in (-\infty,0].[/mm]
> Dieser Intervall ist
> ja halb offen und somit nicht kompakt.
> Kann man aber einfach sagen, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}(exp(x))=0[/mm] ist, und somit das
> halboffene Intervall auch als geschlossenes Intervall für
> diese Funktion gilt?
Das ist doch Unfug !!
> Denn dann hätte man ja einfach mit dem Satz bewiesen,
> dass eine stetige Funktion auf einem kompakten
> Intervall[a,b] somit gleichmäßig stetig ist.
Nein so kannst Du das nicht machen !
Eine Möglichkeit: sei $I:= [mm] (-\infty,0]$ [/mm] und f(x) [mm] =e^x [/mm] für x [mm] \in [/mm] I
Für t [mm] \in [/mm] I ist $f'(t) [mm] \le [/mm] 1$,
Sind nun x und y aus I, so gibt es nach dem Mittelwertsatz ein [mm] \xi [/mm] zwischen x und y mit
$|f(x)-f(y)| = [mm] f'(\xi)|x-y| \le [/mm] |x-y|$
Damit ist f auf I sogar Lipschitzstetig, also auch glm, stetig
FRED
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> In Wikipedia steht ja, dass die Funktion [mm]f(x)=\wurzel{x}[/mm] im
> Intervall [mm][0,\infty)[/mm] gleichmäßig stetig ist.
> f(x) ist in ihrem Definitionsbereich gewöhnlich stetig.
> Wie kann man hier mit dem Satz argumentieren, dass f(x)
> gleichmäßig stetig ist? Der Intervall ist ja nicht
> kompakt.
> Danke schonmal
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hey mhm
also das mit Lipschitzstetig habe ich verstanden.
Jedoch verstehe ich den Satz:
eine stetige Funktion ist in einem kompakten Intervall gleichmäßig stetig
noch nicht richitg.
Komme mit leduarts Beschreibung noch nicht zurecht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 12.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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