Gleichseitiges Dreieck < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:40 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Ferma |
Hallo Forum,
in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seite s, befindet sich ein Punkt(x,y), der von den jeweiligen Ecken a,b und c entfernt ist. Wie groß ist s?
Die 3 Gleichungen der Kreise mit dem Mittelpunkt in den jeweiligen Ecken:
[mm] x^2+y^2=a^2
[/mm]
[mm] (x-s)^2+y^2=b^2
[/mm]
[mm] (x-0,5s)^2+(y-sin(60°)*s)^2=c^2
[/mm]
Kann mir jemand weiterhelfen?
Gruß, Ferma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:35 Mo 13.12.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seite s, befindet
> sich ein Punkt(x,y), der von den jeweiligen Ecken a,b und c
> entfernt ist. Wie groß ist s?
> Die 3 Gleichungen der Kreise mit dem Mittelpunkt in den
> jeweiligen Ecken:
> [mm]x^2+y^2=a^2[/mm]
> [mm](x-s)^2+y^2=b^2[/mm]
> [mm](x-0,5s)^2+(y-sin(60°)*s)^2=c^2[/mm]
> Kann mir jemand weiterhelfen?
Der Sinus von 60° ist bekannt, du kannst ihn z. B. mit dem Pythagoras ausrechnen. Dann hast du 3 Gleichungen mit den 3 Unbekannten x, y und s. Da müßtest du mit den üblichen Verfahren durchkommen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:57 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Ferma |
Gerade an der Lösung dieser Gleichungen bin ich gescheitert. Es sind 3 Gleichungen für 3 Unbekannte. Leider sind die Gleichungen 2. Grades! Und da weiß ich nicht weiter!
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Hallo Ferma,
Dein Punkt ist ja überbestimmt. Es genügen doch eigentlich zwei der Abstände, da man ja auch weiß, dass der Punkt im Dreieck liegen soll.
Nehmen wir also einfach die ersten beiden Deiner Gleichungen:
I) [mm] x^2+y^2=a^2
[/mm]
II) [mm] (x-s)^2+y^2=b^2
[/mm]
Wenn Du die zweite Gleichung mal ausmultiplizierst, stehen unter anderem [mm] x^2 [/mm] und [mm] y^2 [/mm] auf der linken Seite. Die kannst Du mit Hilfe der ersten Gleichung ersetzen und hast direkt eine lineare Gleichung in x.
Das erhaltene x setzt Du in die erste Gleichung ein und hast direkt eine Gleichung der Form [mm] y^2=\cdots. [/mm] Die kannst Du doch lösen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Ferma |
Hallo reverend,
es sind 3 Unbekannte. x,y,s. Die wichtigste ist s. Die anderen werden nicht gebraucht, doch sind sie nun einmal da. Ich erhalte zwar die lineare Gleichung in x, doch mit [mm] s^2. [/mm] Also [mm] 2sx-s^2=9. [/mm] Oder sehe ich da etwas falsch?
Gruß, Ferma
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Hallo nochmal,
Ah, Du hast Recht, s war ja gesucht. Ich habe die Aufgabe falsch gelesen.
Das verändert die Sache erheblich.
Die Lage des Dreiecks ist ja nicht vorgegeben. Stell Dir die Aufgabe mal konstruktiv vor. Du hast irgendwo einen Punkt, um den Du drei Kreise mit den Radien a,b,c ziehst. Nun gibt es ein gleichseitiges Dreieck, so dass jede Ecke auf einem der drei Kreise liegt.
Man kann sich nun leicht überlegen, dass man ein gefundenes Dreieck um den Punkt (x,y) drehen kann. Die Annahme, dass eine Seite parallel zur x-Achse liegt, darf also getroffen werden.
Die Annahme, dass eine Ecke im Ursprung liegt, ist dagegen nicht hilfreich, weil sie nicht zutreffen muss!
Besser ist es, das Koordinatensystem so zu verschieben, dass der gegebene Punkt zum neuen Ursprung wird.
Nun gibt es die drei Ecken zu bestimmen, insgesamt also 6 Koordinaten.
Dazu hast du drei Kreisgleichungen und zwei Gleichungen, die aus der gleichen Länge der Seiten folgen.
Die fehlende sechste Gleichung bekommst Du durch die Annahme, dass eine Seite parallel zur x-Achse liegt.
Das sieht nach einem ziemlichen Rechenwust aus, scheint aber bei geeignetem a,b,c lösbar zu sein.
s wäre erst danach zu bestimmen, oder tritt noch als siebte Gleichung hinzu; die Seitenlänge kommt ja als Abstand zweier Ecken schon vor.
Um ehrlich zu sein, habe ich aber keine Lust, gerade so viel zu rechnen.
Nur dies ist deutlich: Dein bisheriger Ansatz trifft eine Annahme zu viel. In Deinen Gleichungen ist ja alles gegeben außer s. Da solltest Du nicht drei verschiedene Gleichungen aufstellen können.
Viel Erfolg!
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Mo 13.12.2010 | | Autor: | reverend |
Man kann sich das Leben noch etwas einfacher machen.
Du kannst auf einem der Kreise eine Ecke des Dreiecks fest wählen und dann nur noch die beiden anderen bestimmen.
Auch dazu ist es am leichtesten, den Ursprung in den Punkt zu verlegen, und dann z.B. im neuen Koordinatensystem (0;c) als Ecke festzulegen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Mo 13.12.2010 | | Autor: | weduwe |
hallo reverend, ein weiteres interessantes phänomen zu deinen NÄCHSTEN beitrag:
ich kann dazu nicht stellung nehmen, da
dein link "hier" nicht funktioniert nicht - daher hier:
mist, s habe ich versehentlich 2mal verwendet
[mm] s=\frac{(a+b+c)}{2} [/mm] sollte eine abkürzung sein in der formel für F (wie bei heron), ich werde es "oben" - das ist nun direkt unterhalb" umbenennen in t
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Mo 13.12.2010 | | Autor: | weduwe |
um dir das leben zu erleichtern und zur kontrolle, schreibe ich dir das bzw. die ergebnis(se) her, es existieren (in der regel) 2 lösungen:
edit: ich habe versehentlich wieder s verwendet, danke an reverend s [mm] \to [/mm] t
[mm] t=\frac{a+b+c}{2}
[/mm]
[mm] F=\sqrt{t(t-a)(t-b)(t-c)}
[/mm]
damit gilt für die seite s des gleichseitigen dreiecks
[mm] s=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{a^2+b^2+c^2\pm4\sqrt{3}\cdot F}
[/mm]
die rechnung geht so, wie von reverend vorgeschlagen  , also mit
A(0/0), B(s/0) und [mm] C(\frac{s}{2}/\frac{s}{2}\sqrt{3})
[/mm]
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:36 Mo 13.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo weduwe,
> um dir das leben zu erleichtern und zur kontrolle, schreibe
> ich dir das bzw. die ergebnis(se) her, es existieren (in
> der regel) 2 lösungen:
>
> [mm] $s=\frac{a+b+c}{2}$
[/mm]
Das ist aber nicht allgemeingültig.
Wenn der betreffende Punkt z.B. im Mittelpunkt des gleichseitigen Dreiecks liegt (also zugleich Umkreis- und Inkreismittelpunkt sowie Höhenschnittpunkt ist), betragen a,b,c jeweils [mm] \tfrac{1}{3}\wurzel{3}s.
[/mm]
Dann stimmt Deine Formel nicht.
Für jeden Punkt im Innern des Dreiecks gilt aber:
[mm] \bruch{a+b+c}{2}
Die linke Relation ist durch [mm] \le [/mm] zu ersetzen, wenn der gegebene Punkt auch mit einer der Ecken zusammenfallen darf.
Leider gilt die Umkehrung nicht, bloß weil s also beide Relationen erfüllt, muss der Punkt noch nicht im Innern liegen.
> die rechnung geht so, wie von reverend vorgeschlagen ,
> also mit
>
> A(0/0), B(s/0) und [mm]C(\frac{s}{2}/\frac{s}{2}\sqrt{3})[/mm]
Das meine ich inzwischen nicht mehr. Begründung hier.
Liebe Grüße
reverend
edit: interessantes Phänomen. Da war ich sicher, einen Term geschrieben zu haben. Dann war er weg. Da habe ich ihn eben nochmal geschrieben. Zur Belohnung steht er dann gleich viermal im Text, an drei verschiedenen Stellen. Das ist doch mal ergiebig. (2. edit: fünfmal an vier Stellen; auch im einzigen Link des Beitrags. wow!) 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Di 14.12.2010 | | Autor: | Ferma |
So, nun danke ich allen Teilnehmern, habe das Problem größtenteils selber lösen können. Die 3 Gleichungen, von mir anfangs angegeben sind voll zum Einsatz gekommen.
Viele Grüße
Ferma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Di 14.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Ferma,
> So, nun danke ich allen Teilnehmern, habe das Problem
> größtenteils selber lösen können.
Wie schön. Glückwunsch!
> Die 3 Gleichungen,
> von mir anfangs angegeben sind voll zum Einsatz gekommen.
Hm. Dann war die Aufgabe nicht vollständig wiedergegeben.
Wie lautete sie denn?
So, wie sie dasteht, ist nicht von einer Ecke in (0;0) auszugehen.
> Viele Grüße
> Ferma
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 Di 14.12.2010 | | Autor: | Ferma |
Hallo reverend,
das war die Aufgabe:
in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seite s, befindet sich ein Punkt(x,y), der von den jeweiligen Ecken a,b und c entfernt ist. Wie groß ist s? Also: Die Unbekannte ist s.
Das mit den Kreisen gehörte zu meiner Lösung. Vielleicht kann man das auch anderswie lösen. Mein Koordinatensystem steht in der linken Ecke des (noch virtuellen) gleichseitigen Dreieckes; a,b und c sind unterschiedlich. Angenommen a=6,b=8,c=10. Dann könnte man konkret rechnen. Ich würde die kleinste Distanz (6) von (0,0) wählen.
Viele Grüße, Ferma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Di 14.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Ferma,
> in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seite s, befindet
> sich ein Punkt(x,y), der von den jeweiligen Ecken a,b und c
> entfernt ist. Wie groß ist s?
wenn das die vollständige Aufgabe ist, ist Deine Lösung falsch.
> Also: Die Unbekannte ist s.
> Das mit den Kreisen gehörte zu meiner Lösung. Vielleicht
> kann man das auch anderswie lösen.
Mag sein. Ich würde aber auch über die Kreise vorgehen.
> Mein Koordinatensystem
> steht in der linken Ecke des (noch virtuellen)
> gleichseitigen Dreieckes; a,b und c sind unterschiedlich.
> Angenommen a=6,b=8,c=10. Dann könnte man konkret rechnen.
> Ich würde die kleinste Distanz (6) von (0,0) wählen.
> Viele Grüße, Ferma
Und woher weißt Du, dass der Abstand des Punkts (x,y) von Deinem Ursprung gerade eine der drei Entfernungen beträgt.
Wo steht denn, dass [mm] \wurzel{x^2+y^2}=d [/mm] mit [mm] d\in\{a,b,c\} [/mm] ist?
Nimm mal die drei vorgeschlagenen Werte a=6, b=8, c=10. Der Punkt, den ich Dir dazu gebe, ist (5;3). Und nun?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:55 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Ferma |
Hallo reverend,
wenn die jeweiligen Abstände(z.B. 6,8,10) von einem Punkt INNERHALB eines gleichseitigen Dreieckes gegeben sind, ist es m.E. möglich, die Seite des Dreieckes zu ermitteln. Natürlich klappt das nicht mit allen Werten. Ich kann mir vorstellen, dass es mit den Werten 3,7,15 keine Lösung gibt. Das bedeutet, die Kreise haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt. Mein Problem war, das Lösen des Gleichungssystems. Das sind 3 Gleichungen zweiten Grades, eigentlich gar nicht so kompliziert, nachdem mir die Lösung gelang!
Gruß, Ferma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:23 Mi 15.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Ferma,
> wenn die jeweiligen Abstände(z.B. 6,8,10) von einem
> Punkt INNERHALB eines gleichseitigen Dreieckes gegeben
> sind, ist es m.E. möglich, die Seite des Dreieckes zu
> ermitteln. Natürlich klappt das nicht mit allen Werten.
> Ich kann mir vorstellen, dass es mit den Werten 3,7,15
> keine Lösung gibt. Das bedeutet, die Kreise haben keinen
> gemeinsamen Schnittpunkt.
Gut, das muss man natürlich voraussetzen. So kann (1,1,5) keine Lösung haben, weil die ersten beiden Abstände ja nur für [mm] s\le{2} [/mm] erfüllt sein können, dann aber der dritte nicht mehr möglich ist.
Trotzdem bleibe ich dabei, dass die Lage des Dreiecks durch die Angaben nicht festgelegt ist, wohl aber seine Größe.
> Mein Problem war, das Lösen des
> Gleichungssystems. Das sind 3 Gleichungen zweiten Grades,
> eigentlich gar nicht so kompliziert, nachdem mir die
> Lösung gelang!
Ja, das verstehe ich.
Es lohnt auch nicht, hier weiter darum zu streiten.
Warten wir die Musterlösung ab.
Für eine Rückmeldung wäre ich dann dankbar, egal wie sie ausfällt.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 15.12.2010 | | Autor: | weduwe |
wie oben angegeben mit a = 6, b = 8 und c = 10
hier gibt es 2 lösungen, eine innerhalb des gleichseitigen 3ecks, die andere außerhalb des (2.) dreiecks
[mm] s_1 \approx [/mm] 13.533
[mm] s_2 \approx [/mm] 4.106
natürlich kann man das ganze nun beliebig drehen und verschieben
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Mi 15.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo weduwe,
danke für die Skizze, die Berechnung, die 2. Lösung und überhaupt den ganzen Aufwand.
Wenn der gegebene Punkt x,y also nun bei (1,2) oder (1000,1007) läge, wäre wohl keine Ecke im Ursprung anzusiedeln...
Nur darum ging es mir noch.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mi 15.12.2010 | | Autor: | weduwe |
> Hallo weduwe,
>
> danke für die Skizze, die Berechnung, die 2. Lösung und
> überhaupt den ganzen Aufwand.
>
> Wenn der gegebene Punkt x,y also nun bei (1,2) oder
> (1000,1007) läge, wäre wohl keine Ecke im Ursprung
> anzusiedeln...
>
> Nur darum ging es mir noch.
>
> Grüße
> reverend
>
das verstehe ich nicht ganz.
gegeben sind doch lediglich die 3 abstände von den 3 ecken.
daraus soll die länge der seite des gls. 3ecks bestimmt werden - so möglich
oder verstehe ich da etwas falsch?
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Hallo weduwe,
im Eröffnungspost heißt es doch:
> in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seite s, befindet sich ein
> Punkt(x,y), der von den jeweiligen Ecken a,b und c entfernt ist. Wie
> groß ist s?
Es wird nur nach s gefragt; ich gehe daher davon aus, dass x und y gegeben sind.
Diese beiden Koordinaten sind eigentlich völlig unerheblich, um s zu bestimmen, werden aber von Ferma als Parameter eingesetzt, aus denen letztlich die Lösung hervorgeht.
Meines Erachtens ist das nicht richtig. Der Punkt, von dem aus die Abstände zu den Ecken gegeben sind, ist vorgegeben. Eine der Ecken kann man sich auf einem der drei Kreise mit den Radien a,b,c um den Punkt aussuchen. In den meisten Fällen gibt es dann nur noch zwei spiegelbildliche Lösungen.
Deine Illustration macht aber auch deutlich, dass es Fälle gibt, in denen das noch nicht die vollständige Lösungsmenge ist.
Natürlich würde die Aufgabe auch funktionieren, wenn s,x,y bestimmt werden sollten, aber dann müsste eine Ecke (z.B. im Ursprung) und eine von dieser Ecke ausgehende Seitenrichtung (z.B. die x-Achse) festgelegt werden, und auch dann wäre die Lösung nicht eindeutig.
Oder wie verstehst Du die ursprüngliche Aufgabe? Ich habe sie gewiss oft genug gelesen...
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Mi 15.12.2010 | | Autor: | weduwe |
> Hallo weduwe,
>
> im Eröffnungspost heißt
> es doch:
>
> > in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seite s, befindet
> sich ein
> > Punkt(x,y), der von den jeweiligen Ecken a,b und c
> entfernt ist. Wie
> > groß ist s?
>
> Es wird nur nach s gefragt; ich gehe daher davon aus, dass
> x und y gegeben sind.
> Diese beiden Koordinaten sind eigentlich völlig
> unerheblich, um s zu bestimmen, werden aber von Ferma als
> Parameter eingesetzt, aus denen letztlich die Lösung
> hervorgeht.
>
> Meines Erachtens ist das nicht richtig. Der Punkt, von dem
> aus die Abstände zu den Ecken gegeben sind, ist
> vorgegeben. Eine der Ecken kann man sich auf einem der drei
> Kreise mit den Radien a,b,c um den Punkt aussuchen. In den
> meisten Fällen gibt es dann nur noch zwei spiegelbildliche
> Lösungen.
>
> Deine Illustration macht aber auch deutlich, dass es Fälle
> gibt, in denen das noch nicht die vollständige
> Lösungsmenge ist.
>
> Natürlich würde die Aufgabe auch funktionieren, wenn
> s,x,y bestimmt werden sollten, aber dann müsste eine Ecke
> (z.B. im Ursprung) und eine von dieser Ecke ausgehende
> Seitenrichtung (z.B. die x-Achse) festgelegt werden, und
> auch dann wäre die Lösung nicht eindeutig.
>
> Oder wie verstehst Du die ursprüngliche Aufgabe? Ich habe
> sie gewiss oft genug gelesen...
>
> Grüße
> reverend
>
ich stimme mit dir überein, dass die koordinaten des punktes P(x/y) völlig unerheblich sind.
ich habe die aufgabe (daher) auch so verstanden, dass diese NICHT gegeben sind sondern nur die abstände des unbekannten punktes P von den eckpunkten des gleichseitigen 3ecks. ich habe sie daher auch nicht benutzt - wie auch , um zu der angegebenen lösung zu kommen.
ich meine daher, dass es der einfachste weg zur lösung ist, die koordinaten so festzulegen wie oben.
das läßt sich allerdings erst entscheiden, wenn eine durchgerechnete alternative zu sehen ist.
so lebensnotwendig ist´s allerdings auch nicht (für mich)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Do 16.12.2010 | | Autor: | Ferma |
Hallo reverend,
tatsächlich sind die Koordinaten x,y nicht gegeben, so wie weduve das auch sieht. Meine allgemeine Lösung ist hier:
[mm] x^2+y^2=a^2…………………………(1)
[/mm]
[mm] (s-x)^2+y^2=b^2……………………..(2)
[/mm]
[mm] (0,5s-x)^2+(s*sqrt(3)/2-y)^2=c^2……(3) [/mm]
[mm] s^2-2*x*s+x^2+y^2=b^2
[/mm]
[mm] s^2-2*x*s+a^2=b^2
[/mm]
[mm] s^2-2*s*x=b^2-a^2 [/mm] Notation [mm] b^2-a^2=k [/mm]
[mm] s^2-2*s*x=k
[/mm]
[mm] x=(s^2-k)/2s….(4)
[/mm]
[mm] 0,25*s^2-s*x+x^2+y^2+0,75*s^2-sqrt(3)*s*y=c^2
[/mm]
[mm] s^2-s*x-sqrt(3)*s*y=c^2-a^2 [/mm] Notation: [mm] c^2-a^2=q
[/mm]
[mm] s^2-s*x-sqrt(3)*s*y=q….(5)
[/mm]
aus (1) [mm] y=sqrt(a^2-x^2) [/mm] in (5)
[mm] s^2-s*x-sqrt(3)*s*sqrt(a^2-x^2)=q….(6)
[/mm]
jetzt (4) in (6) einsetzen
[mm] s^2-s*( s^2-k)/2s-sqrt(3)*s*sqrt(a^2-(( s^2-k)/2s)^2)=q……(7)
[/mm]
[mm] s^2-s*( s^2-k)/2s=(s^2+k)/2
[/mm]
[mm] sqrt(a^2-(( s^2-k)/2s)^2)=(1/2*s)* sqrt(s^2*(4*a^2+2*k)-s^4-k^2)
[/mm]
zurück zu (7)
[mm] (s^2+k)/2-sqrt(3)*(1/2)*sqrt(s^2*(4*a^2+2*k)-s^4-k^2)=2*q/2
[/mm]
[mm] s^2+k-sqrt(3)*sqrt(s^2*(4*a^2+2*k)-s^4-k^2)=2*q [/mm]
ordnen:
[mm] s^2+k-2*q=sqrt(3)*sqrt(s^2*(4*a^2+2*k)-s^4-k^2) [/mm] Notation: k-2*q=p
[mm] s^2+p=sqrt(3)*sqrt(s^2*(4*a^2+2*k)-s^4-k^2) [/mm]
quadrieren
[mm] s^4+2*s^2*p+p^2=3*( s^2*(4*a^2+2*k)-s^4-k^2)
[/mm]
[mm] s^4+2*s^2*p+p^2=3*s^2*(4*a^2+2*k)-3*s^4-3*k^2
[/mm]
[mm] 4*s^4+s^2*(2*p-3*(4*a^2+2*k))+p^2+3*k^2=0 [/mm]
Substitution [mm] s^4=z^2
[/mm]
[mm] 4*z^2+z*(2*p-3*(4*a^2+2*k))+p^2+3*k^2=0 [/mm]
Diese Gleichung 2. Grades wird konventionell gelöst.
s=sqrt(z)
Viele Grüße,
Frma
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