Gleichseitiges Dreieck < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:46 Fr 31.12.2010 | | Autor: | Ferma |
Hallo Forum,
in einem gleichseitigen Dreieck werden 3 Geraden gleicher Länge aus den jeweiligen Ecken auf die entsprechenden Seiten gezogen. Es entstehen 3 Dreiecke, 3 Vierecke und in der Mitte ein gleichseitiges Dreieck. Wenn die Linien die Seiten 1/3 teilen und die Summe der Flächen (die 3 Dreiecke und 3 Vierecke) ist 90, ergibt das eine Fläche von 15 für das mittlere Dreieck. Viereck=>25, Dreieck=>5. Also 3*(5+25)=90
Wie kann man die Fläche des Dreieckes in der Mitte bestimmen, wenn die Linien die Seiten in einem andern Verhältnis(nicht 1/3) teilen?
Danke im Voraus
Ferma
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> Hallo Forum,
> in einem gleichseitigen Dreieck werden 3 Geraden gleicher
> Länge aus den jeweiligen Ecken auf die entsprechenden
> Seiten gezogen. Es entstehen 3 Dreiecke, 3 Vierecke und in
> der Mitte ein gleichseitiges Dreieck. Wenn die Linien die
> Seiten 1/3 teilen und die Summe der Flächen (die 3
> Dreiecke und 3 Vierecke) ist 90, ergibt das eine Fläche
> von 15 für das mittlere Dreieck. Viereck=>25, Dreieck=>5.
> Also 3*(5+25)=90
> Wie kann man die Fläche des Dreieckes in der Mitte
> bestimmen, wenn die Linien die Seiten in einem andern
> Verhältnis(nicht 1/3) teilen?
> Danke im Voraus
> Ferma
Guten Tag Ferma,
das vorliegende gleichseitige Dreieck hat offenbar den
Flächeninhalt A=105 . Vielleicht könnte man nun - um
sich z.B. Trigonometrie zu ersparen - so vorgehen:
Bezeichnen wir den Flächeninhalt eines Vierecks mit V,
den eines der kleinen Dreiecke mit D und den des
mittleren Dreiecks mit M. Dann lassen sich lineare
Gleichungen aufstellen, z.B.
$\ [mm] V+2\,D\ [/mm] =\ k*A$
Dabei ist k der Faktor, der an die Stelle des im Beispiel
vorgegebenen Wertes [mm] k=\frac{1}{3} [/mm] tritt.
Wenn man genügend viele solche Gleichungen aufstellen
kann, so lassen sich die Teilflächen berechnen.
LG Al-Chw.
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Hallo Ferma,
mit meinem vorher angegebenen Ansatz mit den linearen
Gleichungen bin ich doch nicht durchgekommen. Für eine
Lösung musste ich doch zum Cosinussatz greifen, allerdings
stets nur für den Fall eines 60° - Winkels. Ich bezeichne
die Länge einer der Linien von einem Eckpunkt bis zum
Teilpunkt auf der gegenüberliegenden Dreiecksseite mit $\ e$
und die darauf liegenden Abschnitte der Reihe nach mit $\ [mm] a,\, b,\, [/mm] c$ .
Die Seiten des ursprünglichen Dreiecks sollen die Länge $\ s$
haben und durch die Teilpunkte in Abschnitte der Länge $\ k*s$
und $\ (1-k)*s$ geteilt werden.
Dann gelten z.B. die Gleichungen:
$\ a+b+c\ =\ e$
$\ c\ =\ a*k$ (ähnliche stumpfwinklige Dreiecke beachten !)
$\ e\ =\ [mm] s*\sqrt{1-k+k^2}$ [/mm] (aus Cosinussatz)
Schließlich bin ich für den Flächeninhalt $\ M$ des inneren gleich-
seitigen Dreiecks auf folgende Formel gekommen:
$\ M\ =\ [mm] A*\frac{(1-2\,k)^2}{1-k+k^2}$
[/mm]
$\ A$ ist dabei der Flächeninhalt des gegebenen gleichseitigen
Dreiecks.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:44 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Ferma |
Guten Morgen Al-Chwarizmi,
damit finde ich die Fläche des mittleren gleichseitigen Dreieckes, wenn man k und die Seite s (und damit die Fläche) des ursprünglichen gleichseitigen Dreieckes kennt. Angenommen man kennt nur die Fläche des stumpfwinkligen, kleinen Dreieckes und die Fläche des Viereckes. Wie kann dann die Fläche des kleinen gleichseitigen Dreieckes(M) ermittelt werden? Z.B. ist die Fläche des stumpfwinkligen, kleinen Dreieckes 7 und die Fläche des Viereckes 23. Dann ist die Fläche außer dem zentralen Dreieck von Neuem 3*(7+23)=90. Das große gleichseitige Dreieck mit der Fläche A muss in diesem Falle ermittelt werden.
Gruß und ein gutes Primzahljahr 2011, Ferma
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> Guten Morgen Al-Chwarizmi,
> damit finde ich die Fläche des mittleren gleichseitigen
> Dreieckes, wenn man k und die Seite s (und damit die
> Fläche) des ursprünglichen gleichseitigen Dreieckes
> kennt. Angenommen man kennt nur die Fläche des
> stumpfwinkligen, kleinen Dreieckes und die Fläche des
> Viereckes. Wie kann dann die Fläche des kleinen
> gleichseitigen Dreieckes(M) ermittelt werden?
Ich habe angenommen, dass man bei der ursprünglichen
Aufgabe von gegebenem $\ s$ (bzw. $\ A$) ausgeht.
Doch das neue Jahr ist ja noch ganz offen für neue
Herausforderungen ... 
> Z.B. ist die
> Fläche des stumpfwinkligen, kleinen Dreieckes 7 und die
> Fläche des Viereckes 23. Dann ist die Fläche außer dem
> zentralen Dreieck von Neuem 3*(7+23)=90. Das große
> gleichseitige Dreieck mit der Fläche A muss in diesem
> Falle ermittelt werden.
Ich habe mir mal überlegt, wie man den Faktor $\ k$ heraus-
bekommen kann, wenn man nur $\ D$ und $\ V$ kennt. Wieder
benützte ich dazu die Ähnlichkeit der stumpfwinkligen
Dreiecke (D) und (G) mit $\ G\ =\ [mm] 2\,D+V$ [/mm] . Ich führte dazu noch
die Bezeichnung $\ q\ :=\ [mm] \frac{D}{G}$ [/mm] ein. Damit erhalte ich für $\ k$ die
quadratische Gleichung
$\ [mm] (k^2-k+1)*q\ [/mm] =\ [mm] k^2$
[/mm]
(zuerst kam ich auf eine unhandliche Gleichung 4. Grades)
Hat man einmal den Faktor $\ k$ , so kann man über die Gleichungen
$\ A\ =\ [mm] \frac{G}{k}$ [/mm] und $\ M\ =\ A-3*(V+D)$
auch $\ M$ berechnen. Möglicherweise lässt sich der ganze
Vorgang noch vereinfachen ...
Mit deinen Zahlenwerten $\ D=7$ und $\ V=23$ bin ich auf
folgende Ergebnisse gekommen:
$\ k\ =\ [mm] \frac{\sqrt{889}-7}{60}\ \approx\ [/mm] 0.38027$
$\ A\ [mm] \approx\ [/mm] 97.300$ $\ M\ [mm] \approx\ [/mm] 7.300$
> Gruß und ein gutes Primzahljahr 2011, Ferma
Ebenso ! Alles Gute !
Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Ferma |
Die Formeln passen perfekt. Habe einige Beispiele graphisch geprüft.
Auch alles kapiert, bis auf Deine quadratische Gleichung [mm] (k^2-k+1)*q=k^2.
[/mm]
Bitte zeige mir, wie die entstanden ist. Auf www.Mathematische Basteleien
gibt es auch etwas in dieser Richtung. Ich meine die Formel dort ist fehlerhaft.
Gruß, Ferma
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> Die Formeln passen perfekt. Habe einige Beispiele graphisch
> geprüft.
> Auch alles kapiert, bis auf Deine quadratische Gleichung
> [mm](k^2-k+1)*q=k^2.[/mm]
> Bitte zeige mir, wie die entstanden ist. Auf
> www.Mathematische Basteleien
> gibt es auch etwas in dieser Richtung. Ich meine die
> Formel dort ist fehlerhaft.
> Gruß, Ferma
Guten Abend Ferma,
mit meinen bisherigen Bezeichnungen und mit der Abkürzung
[mm] t:=\frac{\sqrt{3}}{4} [/mm] gelten die Gleichungen:
$\ D\ =\ t*a*c\ =\ [mm] t*k*a^2$
[/mm]
$\ G\ =\ t*s*(k*s)\ =\ [mm] t*k*s^2$
[/mm]
$\ q\ =\ [mm] \frac{D}{G}\ [/mm] =\ [mm] \left(\frac{a}{s}\right)^2\ [/mm] =\ [mm] \frac{k^2}{1-k+k^2}$
[/mm]
Aus letzterer Gleichung erhält man die obige quadratische
Gleichung für k .
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 So 02.01.2011 | | Autor: | Ferma |
Hallo Al,
der Kern der Lösung lag in der Ähnlichkeit der Dreiecke (D) und (G). Das Quadrat des Verhältnisses der Seiten s*k und [mm] s*sqrt(k^2-k+1) [/mm] ist gleich mit dem bekannten Verhältnis der Flächen(D/(V+2*D)
Danke für die Hilfe!
Ferma
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> Hallo Al,
> der Kern der Lösung lag in der Ähnlichkeit der Dreiecke
> (D) und (G). Das Quadrat des Verhältnisses der Seiten s*k
> und [mm]s*sqrt(k^2-k+1)[/mm] ist gleich mit dem bekannten
> Verhältnis der Flächen(D/(V+2*D)
> Danke für die Hilfe!
> Ferma
Genau. Das war auch meine Überlegung.
LG Al
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