Gleichung : Abhängigkeit von k < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 So 05.11.2006 | | Autor: | kimnhi |
Kann mir vielleichtjemand bei der folgenden Aufgabe helfen?
Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichungen in Abhängigkeit von k [mm] \varepsilon \IR
[/mm]
[mm] kx^2+x-3k^2x-3k=0
[/mm]
Ich habe versucht die Aufgabe selbst zu rechnen, bin jedoch nicht gerade weit gekommen;(
[mm] kx^2+x-3k^2x-3k=0
[/mm]
[mm] kx^2+x(1-3k^2)-3k [/mm] =0
Anschließend habe ich die pq-Formel angewendet.
Aber was muss ich dann als nächstes machen?
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen;(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 So 05.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi kimnhi,
> Kann mir vielleichtjemand bei der folgenden Aufgabe
> helfen?
>
> Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichungen in Abhängigkeit
> von k [mm]\varepsilon \IR[/mm]
>
> [mm]kx^2+x-3k^2x-3k=0[/mm]
>
> Ich habe versucht die Aufgabe selbst zu rechnen, bin jedoch
> nicht gerade weit gekommen;(
>
> [mm]kx^2+x-3k^2x-3k=0[/mm]
>
> [mm]kx^2+x(1-3k^2)-3k[/mm] =0
> Anschließend habe ich die pq-Formel angewendet.
> Aber was muss ich dann als nächstes machen?
So weit so gut. Aber hier kannst du noch keine p,q-Formel anwenden,weil dafür das k beim [mm] x^2 [/mm] noch weg muss. Wenn man aber durch k teilt, muss man beachten, dass k unlgeich 0 sein muss (man darf ja nicht durch 0 teilen). Das heisst für uns, dass wir im Anschluss noch die Lösung der Gleichung betrachten müssen für den Fall k=0. Aber erstmal [mm] k\not=0. [/mm] Das nennt man eine Fallunterscheidung (ich nehme an du hast das schonmal gehört).
[mm] kx^2+x(1-3k^2)-3k=0 |:k(\not=0)
[/mm]
[mm] x^2+x\bruch{1-3k^2}{k}-3=0
[/mm]
Jetzt die p,q-Formel:
[mm] x_{1,2}=-\bruch{1-3k^2}{2k}\pm\wurzel{\bruch{(1-3k^2)^2}{4k^2}+3}
[/mm]
Diese Formel kann keine, eine oder zwei Lösungen haben, je nachdem ob der Term unter der Wurzel negativ, 0 oder positiv ist. Wir müssen uns im weiteren den Term unter der Wurzel betrachten:
[mm] \bruch{(1-3k^2)^2}{4k^2}+3=\bruch{(1-3k^2)^2+12k^2}{4k^2} [/mm] (ich habe einfach erweitert)
Der Nenner ist immer positiv,d.h der gesamte Bruch wird neg, falls der Zähler negativ ist, positiv, falls der Zähler positiv ist oder 0, falls der Zähler 0 ist. Wir brauchen also im weiteren nur den Zähler zu betrachten:
[mm] (1-3k^2)^2+12k^2
[/mm]
[mm] =1-6k^2+9k^4+12k^2
[/mm]
[mm] =1+6k^2+9k^4
[/mm]
[mm] =(1+3k^2)^2
[/mm]
Das ist immer echt grösser Null. Wir haben also für alle [mm] k\not=0 [/mm] (das hatten wir am Anfang ausgeschlossen) 2 Lösungen der (Ausgangs-)gleichung und zwar:
[mm] x_{1,2}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1-3k^2}{2k}\pm\wurzel{\bruch{(1-3k^2)^2}{4k^2}+3}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1-3k^2}{2k}\pm\wurzel{\bruch{(1+3k^2)^2}{4k^2}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1-3k^2}{2k}\pm\bruch{(1+3k^2)}{2k}
[/mm]
[mm] x_1=-\bruch{1-3k^2}{2k}+\bruch{(1+3k^2)}{2k}=3k
[/mm]
[mm] x_2=-\bruch{1-3k^2}{2k}-\bruch{(1+3k^2)}{2k}=-\bruch{1}{k}
[/mm]
Jetzt müssen wir noch den Fall k=0 untersuchen:
In diesem Fall vereinfacht sich die Gleichung zu:
x=0
Na, das nenn ich mal einfach  Für den Fall k=0 hat die (Ausgangs-)gleichung die Lösung x=0.
Alles klar?
L G walde
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