Gleichung einer Ebenenschar < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass jede Ebene der Schar
[mm] E_2: \vektor{1 \\ r \\1}\*\vec [/mm] x=2r+4, r [mm] \in \IR [/mm] die Gerade RS enthält. |
Dazu noch: [mm] R=\vektor{0 \\ 2 \\4} S=\vektor{4 \\ 2 \\0}
[/mm]
Mein Problem besteht jetzt darin, dass ich mit der Form der Ebenengleichung, bzw. der Form der Gleichung der Ebenenschar nicht so ganz klar komme.
Sehe ich das richtig, dass es sich bei [mm] \vektor{1 \\ r \\1} [/mm] um den Normalenvektor der Ebene handelt?
Logisch wäre es, denn bei einer "orthogonalitätsprüfung" [mm] (\vec [/mm] n [mm] \*\vec [/mm] RS) geht dies bei einem beliebigen Wert für "r" auf:
[mm] \vektor{1 \\ r \\1}\*\vektor{4\\0\\-4} [/mm] = 4+0r-4=0!
Damit wäre bewiesen, das die Gerade RS in jeder dieser Ebenen liegt, also gleichzeitig ihre Schnittgerade darstellt.
Als nächsten Schritt soll ich nun bei einer bestimmten Ebene zeigen, dass diese in der Schar liegt. Alles soweit, denke ich, kein Problem.
Wozu aber steht die "2r+4" hinter dem Gleichheitszeichen und hat es etwas damit zu tun, dass es eine Ebene gibt, die zwar die Gerade RS enthält, aber nicht zur Schar gehört? Ist es dann die, bei der hinter dem Gleicheitszeichen 0 heraus kommt, also die für "r=-2"? Und wie könnte ich das begründen? Vor allem, warum gibt es gerade nur eine?
Ist das quasi eine Art Koordinatenform??? -> [mm] x_1+rx_2+x_3=2r+4 [/mm] ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. und hoffe hier Antworten/Anregungen zu bekommen.
Vielen Dank schon einmal im Voraus
Baumschuelerin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Di 11.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Baumschülerin!
> Mein Problem besteht jetzt darin, dass ich mit der Form der
> Ebenengleichung, bzw. der Form der Gleichung der
> Ebenenschar nicht so ganz klar komme.
>
> Sehe ich das richtig, dass es sich bei [mm]\vektor{1 \\ r \\1}[/mm]
> um den Normalenvektor der Ebene handelt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
> Logisch wäre es, denn bei einer "orthogonalitätsprüfung"
> [mm](\vec[/mm] n [mm]\*\vec[/mm] RS) geht dies bei einem beliebigen Wert für
> "r" auf:
>
> [mm]\vektor{1 \\ r \\1}\*\vektor{4\\0\\-4}[/mm] = 4+0r-4=0!
>
> Damit wäre bewiesen, das die Gerade RS in jeder dieser
> Ebenen liegt, also gleichzeitig ihre Schnittgerade darstellt.
Nein, damit hast Du lediglich gezeigt, dass die Gerade [mm] $g_{RS}$ [/mm] parallel zur Ebene [mm] $E_r$ [/mm] verläuft.
Aber setzte doch nun z.B. mal die Punktkoordinaten von $R_$ in die Ebenengleichung ein. Wenn damit die Ebenengleichung erfüllt wird, folgt daraus auch, dass die Gerade [mm] $g_{RS}$ [/mm] in der Ebene [mm] $E_r$ [/mm] liegt.
> Als nächsten Schritt soll ich nun bei einer bestimmten
> Ebene zeigen, dass diese in der Schar liegt. Alles soweit,
> denke ich, kein Problem.
>
> Wozu aber steht die "2r+4" hinter dem Gleichheitszeichen
> und hat es etwas damit zu tun, dass es eine Ebene gibt, die
> zwar die Gerade RS enthält, aber nicht zur Schar gehört?
> Ist es dann die, bei der hinter dem Gleicheitszeichen 0
> heraus kommt, also die für "r=-2"?
Genau!
> Ist das quasi eine Art Koordinatenform??? ->
> [mm]x_1+rx_2+x_3=2r+4[/mm] ?
Sozusagen ...
Gruß
Loddar
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