Gleichung lösen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
ich soll diese Gleichung lösen,komm aber irgednwie nicht weiter:
[mm] cos^{2}x=\bruch{1}{2}, x\in [-2\pi;\pi]
[/mm]
[mm] 2cos^{2}x=sin^{2}x+cos^{2}x
[/mm]
[mm] cos^{2}x=sin^{2}x
[/mm]
Und ab hier weiß ich nicht mehr wie ich weiterrechnen soll.Substitution hilft mir hier ja auch nicht.
Kann mir jemand helfen?
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Adamantin |
Ich verstehe überhaupt nicht dein Vorgehen, bzw die Schritte von Gleichung 1 zu 2???
> Hallo,
>
> ich soll diese Gleichung lösen,komm aber irgednwie nicht
> weiter:
>
> [mm]cos^{2}x=\bruch{1}{2}, x\in [-2\pi;\pi][/mm]
Das soll die Ausgangsgleichung sein? Wie kommst du dann auf?
> [mm]2cos^{2}x=sin^{2}x+cos^{2}x[/mm]
Habs verstanden, ok kann man machen, aber ich verstehe nicht, wieso dus nicht so machst:
[mm]cos x=\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]?
Oder bin ich blöd? ^^
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Hallo,
> Hallo,
>
> ich soll diese Gleichung lösen,komm aber irgednwie nicht
> weiter:
>
> [mm]cos^{2}x=\bruch{1}{2}, x\in [-2\pi;\pi][/mm]
>
> [mm]2cos^{2}x=sin^{2}x+cos^{2}x[/mm]
> [mm]cos^{2}x=sin^{2}x[/mm]
>
> Und ab hier weiß ich nicht mehr wie ich weiterrechnen
> soll.Substitution hilft mir hier ja auch nicht.
> Kann mir jemand helfen?
>
> danke
[mm]cos^{2}x=\bruch{1}{2}, x\in [-2\pi;\pi][/mm]
[mm] $cos(x)=\pm\wurzel{\bruch{1}{2}}$
[/mm]
Gesucht sind also die Schnittpunkte der Funktion y=cos(x) mit den beiden Geraden [mm] y=\wurzel{0,5} [/mm] und [mm] y=-\wurzel{0,5} [/mm] im Intervall [mm] [-2\pi;\pi].
[/mm]
Mache die am besten eine Skizze dazu.
Rechnerisch erhält man 2 Schnittpunkte:
[mm] $x=arccos\left(\pm \wurzel{0,5}\right)$
[/mm]
[mm] $x_1 =\bruch{\pi}{4}$ [/mm] ; [mm] $x_2 [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}\pi$
[/mm]
Wegen der Achsensymmetrie des cos werden 4 daraus:
[mm] $x_3 [/mm] = [mm] -\bruch{\pi}{4}$ [/mm] ; [mm] $x_4 [/mm] = [mm] -\bruch{3}{4}\pi$
[/mm]
Dann noch nachschauen, welche Punkte sich im gegebenen Intervall wiederholen:
[mm] $x_5 =\bruch{\pi}{4} -2\pi$ [/mm] ; [mm] $x_6 [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}\pi-2\pi$
[/mm]
LG, Martinius
Edit: hatte mich verrechnet. Sorry. Ist korrigiert.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:54 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Adamantin |
> Hallo,
>
> > Hallo,
> >
> > ich soll diese Gleichung lösen,komm aber irgednwie nicht
> > weiter:
> >
> > [mm]cos^{2}x=\bruch{1}{2}, x\in [-2\pi;\pi][/mm]
> >
> > [mm]2cos^{2}x=sin^{2}x+cos^{2}x[/mm]
> > [mm]cos^{2}x=sin^{2}x[/mm]
> >
> > Und ab hier weiß ich nicht mehr wie ich weiterrechnen
> > soll.Substitution hilft mir hier ja auch nicht.
> > Kann mir jemand helfen?
> >
> > danke
>
>
> [mm]cos^{2}x=\bruch{1}{2}, x\in [-2\pi;\pi][/mm]
>
>
> [mm]cos(x)=\pm\wurzel{\bruch{1}{2}}=\pm \bruch{1}{4}[/mm]
Falls du die Lösung dieser Gleichung meinst, müsste sie [mm] \pm1/4 \pi [/mm] lauten, ansonsten ist 1/4 ganz falsch.
Entschuldige, du hast nur ein Pi vergessen, stand etwas auf dem Schlauch, war nicht so bös gemeint ^^
> Gesucht sind also die Schnittpunkte der Funktion y=cos(x)
> mit den beiden Geraden y=0,25 und y=-0,25 im Intervall
> [mm][-2\pi;\pi].[/mm]
>
> Mache die am besten eine Skizze dazu.
>
> Rechnerisch erhält man 2 Schnittpunkte:
>
> [mm]x=arccos\left(\pm \bruch{1}{4}\right)[/mm]
Ebenso hier, hier müsste stehen [mm] arccos(\wurzel{0,5})=\pm1/4 \pi
[/mm]
>
> [mm]x_1 = 1,3181[/mm] ; [mm]x_2 = 1,8235[/mm]
>
> Wegen der Achsensymmetrie des cos werden 4 daraus:
>
> [mm]x_3 = -1,3181[/mm] ; [mm]x_4 = -1,8235[/mm]
>
> Dann noch nachschauen, welche Punkte sich im gegebenen
> Intervall wiederholen:
>
> [mm]x_5 = 1,8235-2\pi[/mm] ; [mm]x_6 = 1,3181-2\pi[/mm]
>
>
> LG, Martinius
>
>
>
>
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:23 Fr 30.05.2008 | | Autor: | nikito |
Hmmm da fehlt so eigentlich kein PI oder doch?
[mm] cos^2 [/mm] (x) = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
cos(x) = [mm] \pm \wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \pm \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] x = [mm] \pm \bruch{1}{4} \pi
[/mm]
Somit hattet ihr beider fast recht
Lg Nikito
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(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 20:27 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Adamantin |
Na wir haben es ja jetzt, und meine Korrektur war nicht falsch, ich meinte ja, dass [mm] \pm [/mm] 1/4 pi rauskommen müssen :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo Adamantin,
Du hattest schon recht mit deiner Kritik. Ich hatte mich ganz vergallopiert. Besten Dank für deinen Hinweis!
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:43 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
danke für eure Hilfe.Ich glaub ich denk manchmal einfach zu kompliziert,auf die Idee einfach nur die Wurzel zu ziehen,bin ich nicht gekommen^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
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> Dann noch nachschauen, welche Punkte sich im gegebenen
> Intervall wiederholen:
>
> [mm]x_5 =\bruch{\pi}{4} -2\pi[/mm] ; [mm]x_6 = \bruch{3}{4}\pi-2\pi[/mm]
>
Das versteh ich nicht so ganz,warum rechnest du [mm] x_5 =\bruch{\pi}{4}-2\pi? [/mm]
Aber die Punkte die du ausgerechnet hast,liegen gar nicht in den angegebenen Intervall,es muss ja größer als [mm] \pi [/mm] sein ???
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Hallo Mandy,
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> >
> > Dann noch nachschauen, welche Punkte sich im gegebenen
> > Intervall wiederholen:
> >
> > [mm]x_5 =\bruch{\pi}{4} -2\pi[/mm] ; [mm]x_6 = \bruch{3}{4}\pi-2\pi[/mm]
>
> >
> Das versteh ich nicht so ganz,warum rechnest du [mm]x_5 =\bruch{\pi}{4}-2\pi?[/mm]
> Aber die Punkte die du ausgerechnet hast,liegen gar nicht
> in den angegebenen Intervall,es muss ja größer als [mm]\pi[/mm] sein
> ???
Deine Funktion und das von dir angegebene Intervall waren doch:
$ [mm] cos^{2}x=\bruch{1}{2}$ [/mm] ; [mm] x\in [-2\pi;\pi] [/mm]
Das Intervall bedeutet: [mm] $-2*\pi \le [/mm] x [mm] \le \pi$
[/mm]
Beide Werte liegen innerhalb des von dir angegebenen Intervalls und erfüllen die Gleichung (nachrechnen!).
Hast Du dir denn auch eine Skizze gemacht? Dann sieht man es gleich.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ja,stimmt,die Punkte liegen schon im Intervall,aber erst wenn man [mm] -2\pi [/mm] rechnet.Und genau das versteh ich nicht,warum zieht man nochmal [mm] 2\pi [/mm] ab?
Muss man dann immer den "Intervall" von den Punkten abziehn???
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Hallo Mandy,
> Ja,stimmt,die Punkte liegen schon im Intervall,aber erst
> wenn man [mm]-2\pi[/mm] rechnet.
Die beiden Punkte ohne den Term [mm] -2\pi [/mm] liegen auch im Intervall!
>Und genau das versteh ich
> nicht,warum zieht man nochmal [mm]2\pi[/mm] ab?
Die Periode der cos-Funktion ist doch [mm] 2\pi. [/mm] D. h., alle [mm] 2\pi [/mm] wiederholen sich die Punkte, welche die angegebene Gleichung erfüllen.
Mache dir bitte eine Skizze der Kosinusfunktion und der beiden Geraden!
> Muss man dann immer den "Intervall" von den Punkten
> abziehn???
Nein, mit dem Intervall hat das nichts zu tun. Es ist in dieser Aufgabe nur reiner Zufall, das der Betrag der linken Intervallgrenze mit der Periode der Kosinusfunktion übereinstimmt.
LG, Martinius
P.S.
Hier noch eine Graphik:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: WMF) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Aaaaah,jetzt hab ichs endlich verstanden,vielen dank,dass du mir das mit Geduld erklärst hast^^Hab noch ne kurze Frage:Kann man dann auch [mm] +2\pi [/mm] nehmen oder geht das nicht?
lg
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Hallo Mandy,
> Aaaaah,jetzt hab ichs endlich verstanden,vielen dank,dass
> du mir das mit Geduld erklärst hast^^Hab noch ne kurze
> Frage:Kann man dann auch [mm]+2\pi[/mm] nehmen oder geht das nicht?
>
> lg
Wie Du auf dem Graphen siehst, liegen in dem Intervall [mm] [-2\pi;\pi] [/mm] genau 6 Schnittpunkte deiner beiden Geraden [mm] y=\pm\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] mit der Kosinusfunktion.
(Das Intervall habe ich durch 2 andere Geraden [mm] x=-2\pi [/mm] und [mm] x=\pi [/mm] verdeutlicht, zwischen welchen es liegt.)
Du kannst zu den beiden linken [mm] x_6 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] sicher wieder [mm] 2\pi [/mm] addieren - aber was würde es dir bringen? Du erhieltest wieder [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2.
[/mm]
Wenn Du hingegen zu [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] oder [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] jeweils [mm] 2\pi [/mm] addieren würdest, so lägen diese Punkte außerhalb des Intervalles [mm] [-2\pi;\pi].
[/mm]
LG, Martinius
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