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Hi!
Ich möchte folgende Gleichung nach a auflösen:
[mm] 90°-cot(2ax)=cot(\bruch{ax+\bruch{1}{4ax}}{2a^2x^2+\bruch{1}{2}})
[/mm]
Nun habe ich überlegt, von beiden Seiten den Tangens zu "ziehen", und mithilfe folgender Formel tan(90°-cot(2ax)) zu berechnen:
[mm] tan(\alpha-\beta)=\bruch{tan(\alpha)-tan(\beta)}{1+tan(\alpha)*tan(\beta)}
[/mm]
Leider enthält meine Gleichung dann aber tan(90°). Ich hätte aber gerne eine Lösung in [mm] \IR
[/mm]
Wie würdet ihr vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bit2_Gosu!
Du kannst ja zunächst [mm] $\cot(2ax)$ [/mm] auf die rechte Seite der Gleichung bringen und dann die Formel für [mm] $\cot(x)+\cot(y) [/mm] \ = \ ...$ verwenden (siehe ![[]](/images/popup.gif) hier!).
Aber bist Du sicher, dass Deine Ausgangsgleichung richtig ist bzw. wie kommst Du auf diese Gleichung?
Mich macht dieser alleinstehende Wert mit $90°_$ stutzig.
Denn die Summer zweier [mm] $\cot(...)$-Werte [/mm] ergibt i.d.R. keine Gradzahl.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:58 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bit2_Gosu!
Und vor jeglicher anderen Rechnung würde ich den Doppelbruch auf der rechten Seite zusammenfassen und vereinfachen. Da verbleibt nämlich lediglich übrig: [mm] $\bruch{1}{2ax}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:38 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Hallo Loddar!
Das sich der rechte Bruch so kürzen lässt, hab ich nicht gleich gesehen ;)
Aber ich erklär dir mal, wie ich auf die Gleichung gekommen bin.
Ich wollte die Gleichung eines Parabolspiegels bestimmen (senkrecht einfallende Strahlen werden auf einen Brennpunkt reflektiert).
Ich bin davon ausgegangen, dass ein Parabolspiegel die Gleichung [mm] f(x)=ax^2 [/mm] hat.
Erst habe ich berechnet, dass ein Brennpunkt bei [mm] (0|\bruch{1}{4a}) [/mm] liegen muss.
Nun weiß ich, Einfallwinkel [mm] \alpha [/mm] eines senkrecht auf die Stelle [mm] x_{p} [/mm] auftreffenden Strahls muss genauso sein, wie der Winkel zwischen f(x) und einer Geraden, die durch den Punkt [mm] (x_{p}|f(x_{p})) [/mm] und den Brennpunkt geht - das wäre dann der Ausfallwinkel [mm] \beta
[/mm]
Ich habe berechnet, dass gilt:
[mm] \alpha=90°-cotan(2ax_{p})
[/mm]
Die Gleichung eines Ausfallstrahls (von einem Punkt [mm] x_{p} [/mm] weg) lautete:
g(x) = [mm] (ax_{p}-\bruch{1}{4ax_{p}})x+\bruch{1}{4a}
[/mm]
Um den Winkel zwischen g(x) und der Tangente an [mm] x_{p} [/mm] von f(x) zu berechnen (also [mm] \beta), [/mm] habe ich folgende Formel benutzt:
[mm] tan(\beta)=|\bruch{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}|
[/mm]
wenn man alles kürzt (:D)kommt man auf [mm] \beta=cot(\bruch{1}{2ax_{p}})
[/mm]
es muss gelten [mm] \alpha=\beta
[/mm]
so komme ich auf die besagte Gleichung! Ist doch richtig, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bit2_Gosu!
Kann es sein, dass Du hier [mm] $\cot(...) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\tan(...)}$ [/mm] und [mm] $\arctan(...)$ [/mm] (als Umkehrfunktion des [mm] $\tan(...)$ [/mm] ) verwechselst?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bit2_Gosu!
Mir ist Deine Vorgehensweise unklar ... denn Deine o.g. Gleichung (allerdings mit jeweils [mm] $\arctan(...)$ [/mm] !) lässt sich nicht eindeutig nach $a \ = \ ...$ umstellen, da dies eine allgemeingültige Gleichung ist.
Gruß
Loddar
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Ahhhhhhh!!!
Da hast du echt recht.... Mit cot meinte ich immer arctan ! Sorry dafür!
Wenn die Gleichung wirklich allgemeingültig ist, hieße das (wenn ich alles richtig gemacht habe), dass alle [mm] f(x)=ax^2 [/mm] einen Parabolspiegel beschreiben. Ich komme aber irgendwie nicht darauf, dass die Gleichung allgemeingültig ist:
[mm] 90°-arctan(2ax)=arctan(\bruch{1}{2ax})
[/mm]
[mm] 90°=arctan(\bruch{2ax+\bruch{1}{2ax}}{1-1}) [/mm]
mithilfe des Additionstheorems [mm] arctan(x)+arctan(y)=arctan(\bruch{x+y}{1-xy})
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bit2_Gosu!
Du hast hier mit [mm] $\bruch{2ax+\bruch{1}{2ax}}{1-1}$ [/mm] einen (undefinierten) Bruch der Art [mm] $\bruch{k}{0}$ [/mm] .
Und wo ist der [mm] $\tan(...)$ [/mm] nicht definiert? Genau ...
Gruß
Loddar
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Ah Mensch, da hab ich nicht nachgedacht.
So haben wir glaube ich aber den Beweis erbracht, dass alle [mm] f(x)=ax^2 [/mm] einen Parabolspiegel beschreiben.
Ich weiß es zwar nicht, aber ich habe die Befürchtung, dass dem so ist und lediglich der Brennpunkt mit unterschiedlichen a variiert (klar Brennpunkt liegt bei [mm] (0|\bruch{1}{4a})
[/mm]
Könnte das vielleicht sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bit2_Gosu!
Ja, dem ist so ... siehe hier!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Mi 06.08.2008 | | Autor: | fred97 |
Sei f(x) = arctanx + arctan(1/x) ( x [mm] \in [/mm] R \ {0})
Die Ableitung dieser Funktion ist = 0 (nachrechnen!)
Damit gilt für positve x: f(x) = f(1) = 2arctan1 = [mm] \pi/2 [/mm] (=90°)
Für negative x: f(x) = f(-1) = 2arctan(-1) = - [mm] \pi/2
[/mm]
Das
$ [mm] 90°-arctan(2ax)=arctan(\bruch{1}{2ax}) [/mm] $
gilt also immer, wenn a und x positiv (oder a und x negativ)
FRED
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Danke euch beiden, für eure Hilfe, nur das würde ich noch gerne klären:
> Die Ableitung dieser Funktion ist = 0
Hab ich auch so raus!
> Damit gilt für positve x: f(x) = f(1)
Das verstehe ich nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Mi 06.08.2008 | | Autor: | fred97 |
Da die Ableitung = 0 ist, ist f auf (0, [mm] \infty) [/mm] konstant und zwar = f(1) = [mm] \pi/2
[/mm]
FRED
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> Damit gilt für positve x: f(x) = f(1)
dass f(x) konstant sein muss, verstehe ich, warum aber f(x) immer = f(1)?
f(2) ist doch zum Beispiel nicht = f(1)
also gilt f(x)=f(1) doch nur für x=1 !?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Mi 06.08.2008 | | Autor: | fred97 |
Nimm an, I ist ein Intervall in [mm] \IR [/mm] und g:I--> [mm] \IR [/mm] eine Funktion.
Was heißt denn nun "g ist auf I konstant" ?
Antwort: g(x) = g(y) für jedes x und y in I.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Wahnsinn, ich glaube das war einer der größten Gehirnausfälle meines Lebens.
Meine Güte... Respekt, dass du nicht angefangen hast, mich zu beleidigen!
Nochmals danke an euch beide!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Mi 06.08.2008 | | Autor: | fred97 |
> Wahnsinn, ich glaube das war einer der größten
> Gehirnausfälle meines Lebens.
>
> Meine Güte... Respekt, dass du nicht angefangen hast, mich
> zu beleidigen!
Na, na. Soweit wollen wir es nicht kommen lassen
FRED
>
> Nochmals danke an euch beide!
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