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| Aufgabe | Löse folgende Gleichung:
[mm] exp(y^2)-8y^2=0 [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe leider noch keinen richtigen Ansatz gefunden, wie man diese Gleichung lösen kann.
Meine Idee war folgende:
[mm] exp(y^2)-8y^2 [/mm] = 0
[mm] exp(y^2) [/mm] = [mm] 8y^2
[/mm]
[mm] y^2 [/mm] = [mm] ln(8y^2)
[/mm]
[mm] y^2 [/mm] = ln(8) + [mm] ln(y^2)
[/mm]
[mm] y^2 [/mm] = ln(8) + 2 * ln(y)
Ist mein Ansatz richtig? Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich weiter machen muss?
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Hallo MissParker,
bitte gib doch mal an, woher diese Aufgabe stammt.
edit: Fred hat Recht, das folgende ist falsch.
Ich habe Deine richtige Umformung falsch bei Wolfram eingegeben. Offenbar eine Störung des Kurzzeitgedächtnisses... :(
> Löse folgende Gleichung:
> [mm]exp(y^2)-8y^2=0[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe leider noch keinen richtigen Ansatz gefunden, wie
> man diese Gleichung lösen kann.
>
> Meine Idee war folgende:
> [mm]exp(y^2)-8y^2[/mm] = 0
> [mm]exp(y^2)[/mm] = [mm]8y^2[/mm]
> [mm]y^2[/mm] = [mm]ln(8y^2)[/mm]
> [mm]y^2[/mm] = ln(8) + [mm]ln(y^2)[/mm]
> [mm]y^2[/mm] = ln(8) + 2 * ln(y)
Soweit ok.
> Ist mein Ansatz richtig? Kann mir jemand einen Tipp geben,
> wie ich weiter machen muss?
Es gibt keine analytische Lösung, sondern nur numerische Lösungsverfahren.
Außerdem gibt es keine reelle Lösung, schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Dafür gibt es vier komplexe Lösungen.
Mit anderen Worten: das ist keine Schulmathematik.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Mo 08.06.2015 | | Autor: | fred97 |
reverend hat sich geirrt: es geht nicht um die Gleichung
[mm] e^{8y^2}-y^2=0,
[/mm]
sondern um
(*) $ [mm] e^{y^2}-8y^2=0 [/mm] $.
(*) lääst sich nicht "von Hand" nach y aulösen. Man kann aber zeigen, dass (*) genau 4 reelle Lösungen hat:
Füt t [mm] \ge [/mm] 0 setzen wir [mm] f(t)=e^t-8t. [/mm] Man sieht leicht:
f ist im Intervall [0,ln(8)] streng monoton fallen, im Intervall [ln(8), [mm] \infty) [/mm] streng monoton wachsend, f(0)=1>0, f(ln(8))<0 und f(t) [mm] \to \infty [/mm] für t [mm] \to \infty.
[/mm]
Damit hat f genau 2 Nullstellen:
[mm] t_1 \in [/mm] (0,ln(8) und [mm] t_2 \in [/mm] (ln(8), [mm] \infty).
[/mm]
Die Lösungen von (*) sind also
[mm] \pm \wurzel{t_1} [/mm] und [mm] \pm \wurzel{t_2}.
[/mm]
FRED
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